專題強(qiáng)化四數(shù)列求和?？挤椒w納-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)題型技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019選擇性）

專題強(qiáng)化四：數(shù)列求和常考方法歸納【考點(diǎn)梳理】數(shù)列求和的幾種常用方法1．公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))2．分組求和法與并項(xiàng)求和法(1)若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)形如an＝(－1)n·f(n)類型，常采用兩項(xiàng)合并求解．3．裂項(xiàng)相消法(1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．(2)常見的裂項(xiàng)技巧①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝loga(n＋1)－logan(n>0)．4．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．【題型精練】題型一、分組（并項(xiàng)）法求和1．已知數(shù)列的首項(xiàng).(1)求；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.2．在公差不為的等差數(shù)列中，成公比為的等比數(shù)列，又?jǐn)?shù)列滿足（）．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，若數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)的和.題型二、倒序相加法求和4．已知為等比數(shù)列，且，若，求的值．5．已知為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)若，，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，，求證：．6．設(shè)函數(shù)，設(shè)，．（1）計(jì)算的值．（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對一切成立，求的取值范圍．題型三、錯(cuò)位相減法求和7．?dāng)?shù)列滿足，且.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．已知等比數(shù)列公比為，前項(xiàng)和為，并且滿足，是和的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若是遞增數(shù)列，且，，求．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.在數(shù)列中,,.(1)求,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.題型四、裂項(xiàng)相消法求和10．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和為11．設(shè)數(shù)列均為正項(xiàng)數(shù)列，其中，且滿足成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．(1)（i）證明數(shù)列{}是等差數(shù)列；（ii）求通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，證明：．12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.題型五：數(shù)列求和的其他方法13．已知數(shù)列滿足：，．(1)求，；(2)設(shè)，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(3)求數(shù)列前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和．14．設(shè)各項(xiàng)非零的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，記，且滿足．(1)求的值，證明數(shù)列為等差數(shù)列并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．15．在①，；②公差為1，且成等比數(shù)列；③，，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.問題：已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足___________(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，其中表示不超過的最大整數(shù)，求.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.專題訓(xùn)練一、單選題16．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B．C． D．17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，對任意的都有，則（

）A． B． C． D．18．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則滿足的正整數(shù)的最大值為（

）A．5 B．6 C．7 D．820．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．21．設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前19項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．22．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，、、構(gòu)成公比不為的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和．若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．23．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若前項(xiàng)和為9，則項(xiàng)數(shù)為（

）A．99 B．100 C．101 D．10224．?dāng)?shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于年提出了以下猜想：是質(zhì)數(shù)．直到年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)，的前項(xiàng)和為，則使不等式成立的正整數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題25．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．B．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列C．若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為D．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為26．已知數(shù)列滿足，，則（

）A．是遞減數(shù)列 B．C． D．27．已知數(shù)列滿足，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列B．C．D．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則28．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列B．C．對于一切正整數(shù)都有與3互質(zhì)D．?dāng)?shù)列中按從小到大的順序選出能被5整除的項(xiàng)組成新的數(shù)列，則29．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．， D．，30．如圖，用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，且只有1個(gè)球；第2堆有2層，第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球；…；第堆有n層，第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球，第3層有6個(gè)球，……，第n層有個(gè)球.記第n堆的球的總數(shù)為，則（參考公式：）（

）A． B．C． D．三、填空題31．在數(shù)列{an}中，，若的前n項(xiàng)和為，則項(xiàng)數(shù)n＝________.32．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則__________．33．已知，則______.34．若數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則__________．35．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為______．四、解答題(共0分)36．?dāng)?shù)列滿足，且(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．37．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及;(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立?若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在，請說明理由.38．已知數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，，．(1)求及數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．39．在數(shù)列{an}中，，對任意的，都有成立．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；并求滿足時(shí)n的最大值．40．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．41．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為．若對任意且恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．42．已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱;(2)若，求；43．已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.44．已知數(shù)列滿足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．45．已知二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和構(gòu)成數(shù)列，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為（），且當(dāng)時(shí)，有（）(1)求證：為等差數(shù)列；并求和；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）由可得數(shù)列等比，利用的通項(xiàng)公式即可得到；（2）利用錯(cuò)位相減和分組求和求解即可.【詳解】（1）由題意可得，，，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，故.（2）由（1）得，所以令①，則，因?yàn)棰冢佗诘?，所以，所?2．(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而解方程得，再求通項(xiàng)公式即可；（2）由題知（），再分組求和即可.（1）解：公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為的等比數(shù)列，所以，，所以，，解得：，所以，；（2）解：由（1）可得（）；所以，前項(xiàng)和．3．(1)，，(2)【分析】（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，利用化簡式子，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式來求.求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，直接借助等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式來求.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩個(gè)方面，借助裂項(xiàng)相消法和分組求和法來求出數(shù)列的前項(xiàng)的和.【詳解】（1）由

①，得：當(dāng)時(shí)，，即，解得或（負(fù)值舍去），.當(dāng)時(shí)，

②，得：，即所以，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.所以.因?yàn)閿?shù)列滿足所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比，所以.故：，.（2）因?yàn)椋运?，其中為奇?shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，因此.故：.4．2021【分析】利用函數(shù)解析式和等比數(shù)列的性質(zhì)求得，繼而求出答案【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，因?yàn)?，所以，同理可得，所?．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.（2）首先根據(jù)題意得到，再利用倒序相加求解即可.（3）當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，利用縮放法證明即可.(1)因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，所?當(dāng)時(shí)，故是奇函數(shù)．綜上．(2)，.令，則，兩式相加得：，所以.故.(3)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以不等式成立.當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗跃C上，當(dāng)，恒成立．6．（1）2；（2）；（3）．【分析】（1）代入函數(shù)式直接計(jì)算；（2）用倒序相加法計(jì)算；（3）由裂項(xiàng)相消法求得，注意分類，，時(shí)可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)（數(shù)列）的最大值．【詳解】（1）.（2）由題知，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相加得，所以.又不符合，所以.（3）由（2）知，，因?yàn)?，所以，，由，得，，?dāng)時(shí)，，，，，由，得，因?yàn)閷春瘮?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，，所以綜上，由，得.所以的取值范圍為.7．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先求出，再證明即得證；（2）求出，再利用分組求和與錯(cuò)位相減法求和得解.【詳解】（1）.所以所以.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得.所以.設(shè)前項(xiàng)和為，前項(xiàng)和為，所以，，兩式錯(cuò)位相減得，所以，所以.所以.8．(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1）解：由已知可得，，所以，，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，或.（2）解：因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，則，，，則，上式下式可得，因此，.9．(1),,(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù),將代入即可求出通項(xiàng)公式,根據(jù),將兩邊同時(shí)加1,構(gòu)造為等比數(shù)列,求首項(xiàng),求出的通項(xiàng)公式即可求出的通項(xiàng)公式;(2)由(1)結(jié)論,得出通項(xiàng)公式,用乘公比錯(cuò)位相減可得到的通項(xiàng)公式,根據(jù)通項(xiàng)公式及單調(diào)性即可判斷范圍.【詳解】（1）解:由題知,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,;,,,是以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,,,綜上:,,（2）由(1)知,,,的前項(xiàng)和①②②①得,,故.10．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式設(shè)出首項(xiàng)和公比，代入題中式子計(jì)算即可；（2）用裂項(xiàng)相消法簡化再計(jì)算.（1）設(shè)數(shù)列為q，，化簡可得，解得將代入可得故的通項(xiàng)公式為：（2）由（1）可知11．(1)（i）證明見解析；（ii），(2)證明見解析【分析】（1）(i）根據(jù)題意可列出，,變形整理可得，即可證明結(jié)論；（ii）數(shù)列{}是等差數(shù)列，結(jié)合條件可求得其公差，即可求得其通項(xiàng)公式，即可求得；（2）結(jié)合（1）寫出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消的方法求出，即可證明結(jié)論.（1）(i）證明：∵數(shù)列均為正項(xiàng)數(shù)列，其中，且滿足成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，∴，,∴，,∴，，即，∴，，∴{}是等差數(shù)列．（ii）∵，，∴，∴，∴．．（2）證明：∵，∴，∴．12．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）分，與兩種情況分析，當(dāng)是，構(gòu)造證明即可；（2）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)求和求解，進(jìn)而證明即可（1）證明：當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，，∴∴數(shù)列是以2為公比，首項(xiàng)的等比數(shù)列（2）由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴綜上所述13．(1)(2)證明詳見解析，(3)【分析】（1）根據(jù)題目所給已知條件求得.（2）結(jié)合已知條件以及等比數(shù)列的定義證得數(shù)列是等比數(shù)列，并求得其通項(xiàng)公式.（3）求得，從而求得正確答案.【詳解】（1）依題意，數(shù)列滿足：，，所以.（2），.所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（3），，所以，所以.14．(1)；證明見解析；(2)【分析】（1）依據(jù)題意列出關(guān)于的方程即可求得的值，依據(jù)等差數(shù)列的定義去證明數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式；（2）先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分類討論去求數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)由題意可知，，且，解得：或（舍去）又當(dāng)時(shí)，，所以有化簡得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列所以(2)由(1)可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，綜上所述：15．(1)(2)【分析】（1）選①，設(shè)等差數(shù)列中，公差為，進(jìn)而得，解方程得，再求通項(xiàng)公式即可；選②，由題知，進(jìn)而解得，再求通項(xiàng)公式即可；選③，由題知，即，解得，再求通項(xiàng)公式即可；（2）由題知，再結(jié)合，，，求解即可.(1)解：選①設(shè)等差數(shù)列中，公差為，因?yàn)?，，所以，解得，所以，選②因?yàn)榈炔顢?shù)列中，公差為1，且成等比數(shù)列，所以，即，解得所以.選③因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，所以，即，解得所以(2)解：由（1）知，因?yàn)?，，，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以16．A【分析】求出數(shù)列、數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，利用錯(cuò)位相減法求得其前項(xiàng)和．【詳解】解：數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，，，．①．②①②得，故選：A．17．D【分析】由，可得，數(shù)列為常數(shù)列，令，可得，進(jìn)而可得，利用裂項(xiàng)求和即可求解.【詳解】數(shù)列滿足，對任意的都有，則有，可得數(shù)列為常數(shù)列，有，得，得，又由，所以．故選：D18．D【分析】由并項(xiàng)求和法求解，【詳解】當(dāng)或，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，．，．故選：D19．B【分析】先利用得到結(jié)合題意可得到，然后用錯(cuò)位相減法得到，根據(jù)是單調(diào)遞增的，即可求解【詳解】由可得，所以，當(dāng)時(shí)，滿足故所以是所有的正偶數(shù)，因?yàn)閿?shù)列中，除了第一項(xiàng)以外，其余的數(shù)都為正的偶數(shù)，所以，所以，所以，，兩式相減得：，所以，易得是單調(diào)遞增的，且，，所以的正整數(shù)的最大值為6，故選：B20．B【分析】化簡通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的核心是裂項(xiàng)求和，使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．21．D【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推式采用累加法求得，可得的通項(xiàng)公式，采用裂項(xiàng)求和法，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，則，故數(shù)列數(shù)列的前19項(xiàng)和為：，故選：D22．A【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則且，根據(jù)已知條件可得出與的關(guān)系式，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出，根據(jù)題意可得出關(guān)于，解之即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則且，由已知可得，即，可得，所以，，，所以，，，，則，可得，因此，的最小值為.故選：A.23．A【分析】化簡，利用裂項(xiàng)相消求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可得到答案【詳解】假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)前項(xiàng)和為9，故，解得，故選：A24．D【分析】結(jié)合已知條件求出的通項(xiàng)公式，并求出，然后利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】由題意知，，故，則，故，解得，故滿足條件的正整數(shù)的最大值為.故選：D.25．ABD【分析】應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式求基本量可得，進(jìn)而判斷A，再由及等比數(shù)列的定義判斷B，應(yīng)用分組求和、裂項(xiàng)求和判斷C、D.【詳解】對A，由題設(shè)，，則，若等差數(shù)列的公差為，故，而，所以，則，，A正確；對B，，易知是公比為28的等比數(shù)列，B正確；對C，，則前2023項(xiàng)和為，C錯(cuò)誤；，則前n項(xiàng)和為，D正確.故選：ABD26．BD【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的判斷方法，累加法，累乘法以及裂項(xiàng)求和法，結(jié)合已知條件，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：，又當(dāng)時(shí)，與矛盾，故，即，故該數(shù)列遞增數(shù)列，A錯(cuò)誤；對B：，根據(jù)A知：，即，，故B正確；對C：，由可得，故（當(dāng)或時(shí)取得等號），故，C錯(cuò)誤；對D：由可得，即，故，又，故，故，D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的單調(diào)性，累加法，累乘法以及裂項(xiàng)求和法，處理問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)常見的地推關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓瑢倮щy題.27．BD【分析】由題意可知，，化簡得出，即，可判斷A的正誤，根據(jù)遞推公式可以求出前四項(xiàng)的值，即可判斷B選項(xiàng)，通過，可以利用累加法，并放縮求出即可判斷C選項(xiàng)，根據(jù)C選項(xiàng)的結(jié)論，再次使用放縮法，，裂項(xiàng)相消求出可判斷D選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A，根據(jù)題意，因?yàn)?，且，所?/p>

，則，所以，所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.故A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B，，故B選項(xiàng)正確.選項(xiàng)C，由，得，所以有，，將這個(gè)等式相加，得：，因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞減的數(shù)列，且所以，即，，即，故C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D，由C選項(xiàng)的得：，所以，所以當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的前項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本題多次采用數(shù)列中的放縮法，以及求通項(xiàng)的累加法，求和的裂項(xiàng)相消，是一道數(shù)列的綜合題目.28．BCD【分析】由題意可得，進(jìn)而，即可判斷A；求出，可得，由裂項(xiàng)相消法可判斷B;由結(jié)合互質(zhì)的概念可判斷C；由求出能被5整除的項(xiàng)，結(jié)合周期性可判斷D【詳解】對于A：由得，即，所以，所以，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對于B：由A可知，所以，，所以，故B正確；對于C：由得不是整數(shù)，故與3得公因數(shù)只有1，所以與3互質(zhì)，故C正確；對于D：被5整除的項(xiàng)為，，，又，所以，故D正確；故選：BCD29．CD【分析】由遞推關(guān)系取，可證明數(shù)列等比數(shù)列，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此判斷C，D，再由分組求和法求，判斷A，根據(jù)與的關(guān)系判斷D.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以，又，所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，，C正確，由，所以，，D正確，所以，，，，，A錯(cuò)，，B錯(cuò)，故選：CD.30．ACD【分析】根據(jù)題意可得從第2層起，第層的球的個(gè)數(shù)比第層的球的個(gè)數(shù)多，即可判斷A；利用累加法即可判斷B；根據(jù)結(jié)合B選項(xiàng)即可判斷C；利用分組求和法結(jié)合題中所給公式即可判斷D.【詳解】解：在第堆中，從第2層起，第層的球的個(gè)數(shù)比第層的球的個(gè)數(shù)多，所以，故選項(xiàng)A正確；由，得，其中也適合上式，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔬x項(xiàng)C正確；在第堆中，，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.31．2022【分析】利用裂項(xiàng)求和法求得的前n項(xiàng)和的表達(dá)式，由題意列出方程，求得答案.【詳解】由題意得，＝＝，∴n＝2022,故答案為：202232．【分析】先求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可；【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以故答案為?3．4042【分析】先判斷函數(shù)的對稱性，然后用倒序相加法求和..【詳解】由，令可得，，且，則，所以，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，即由已知，，又兩式相加可得，所以，.故答案為：4042.34．【分析】利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，，，所?故答案為：35．【分析】利用求得，再結(jié)合裂項(xiàng)求和法，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又滿足，故，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和.故答案為：.36．(1)見詳解(2)【分析】（1）利用定義法即可證明等比數(shù)列.（2）利用等比數(shù)列求和公式化簡即可.【詳解】（1）由已知，，所以故，又因?yàn)?，所以所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）知，令，所以所以故37．(1)，；(2)存在，.【分析】（1）根據(jù)已知條件及等差數(shù)列的性質(zhì)求基本量，即可寫出的通項(xiàng)公式及；（2）由（1）得，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求得，再由不等式恒成立，討論的奇偶性求的范圍，最后取交集.【詳解】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為，首項(xiàng)為，由，解得，由，又，則，，所以，．（2）由（1）知：，所以，所以，易知為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，又，所以，所以．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，即，解得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，即，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．38．(1)；(2)．【分析】（1）先根據(jù)得到，再結(jié)合，求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）在第一問的基礎(chǔ)上利用分組求和進(jìn)行求解.（1）在中，當(dāng)n＝1時(shí)，b1﹣a1＝0，當(dāng)n?2時(shí)，，顯然b1﹣a1＝0適合上式，所以，，又，所以兩式相減得，兩式相加得且a1＝1，b1＝1；（2）因?yàn)椋Y(jié)合（1）中所求，，故39．(1)(2)14【分析】（1）合理變形構(gòu)造等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；（2）先將通項(xiàng)變形為，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求和，進(jìn)而通過解不等式進(jìn)行求解.（1）因?yàn)?，且對任意的，都有成立，所以，即?shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1，所以，即．（2）因?yàn)?，所以，由，得，解得，所以滿足時(shí)n的最大值為14．40．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）先利用題設(shè)條件求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由題可得，利用裂項(xiàng)相消法可得，然后結(jié)合條件及不等式的性質(zhì)即得.（1）數(shù)列中，，由，可