第二章直線和圓的方程（A卷知識通關練）

班級姓名學號分數(shù)第二章直線和圓的方程（A卷·知識通關練）核心知識1直線的傾斜角與斜率1．（2022·天津天津·高二期末）若直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點，則l的斜率取值范圍為_________________；其傾斜角的取值范圍為_________________.【答案】

【解析】因為直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點，所以l的斜率為，所以l的斜率取值范圍為，設其傾斜角為，，則，所以其傾斜角的取值范圍為，故答案為：，2．（2022·上海市控江中學高二期中）設，若直線l經(jīng)過點?，則直線l的斜率是___________.【答案】1【解析】因為直線l經(jīng)過點?，所以直線l的斜率是，故答案為：13．（2022·上海虹口·高二期末）直線與的夾角為________．【答案】【解析】直線的斜率，即傾斜角滿足，直線的斜率，即傾斜角滿足，所以，所以，又兩直線夾角的范圍為，所以兩直線夾角為，故答案為：.4．（2022·重慶·高二期末）經(jīng)過點作直線，直線與連接兩點的線段總有公共點，則直線的斜率的取值范圍是________．【答案】【解析】，，而，因此，故答案為：．5．（2022·北京十五中高二期中）如圖，直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由斜率的定義知，.故選：D.6．（2022·全國·高二期中）已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，直線的傾斜角為，則，因為，即，結合正切函數(shù)的性質(zhì)，可得．故選：B．7．（2022·廣東·華中師范大學海豐附屬學校高二期中）設點，，若直線ax+y+2=0與線段AB有交點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵直線過定點，且，，由圖可知直線與線段有交點時，斜率滿足或，解得，故選：D8．（2022·重慶長壽·高二期末）直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解析】將直線一般式方程化為斜截式方程得：，所以直線的斜率為，所以根據(jù)直線傾斜角與斜率的關系得直線的傾斜角為.故選：C9．（2022·福建·廈門外國語學校高二期末）已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.故選：C.核心知識2直線方程的五種形式10．（2022·全國·高二期末）直線過點、，則直線的方程為______．【答案】【解析】由題設，，則直線的方程為，整理得.故答案為：11．（2022·江西·南昌市第八中學高二期中（理））直線過點，且在兩坐標軸上截距相等，則直線的一般式方程為___________.【答案】，【解析】顯然直線的斜率存在且不為，設：令，則；令，則依題意，解之得或當時，：當時，：故答案為：，12．（2022·浙江省諸暨市第二高級中學高二期中）已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)（

）A．1 B． C．或1 D．2或1【答案】D【解析】當時，直線，此時不符合題意，應舍去；當時，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；當且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.由，解得：.故的值是2或1.故選：D13．（2022·全國·高二期中）已知直線過，并與兩坐標軸截得等腰三角形，那么直線的方程是（

）．A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】由題意可知，所求直線的傾斜角為或，即直線的斜率為1或1，故直線方程為或，即或.故選：C.14．（2022·上海市大同中學高二期中）如果AB>0且BC<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】因AB>0且BC<0，則直線Ax＋By＋C＝0的斜率，縱截距，所以直線Ax＋By＋C＝0必過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.故選：C15．（2022·天津天津·高二期末）經(jīng)過點A(0，－3)且斜率為2的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為直線經(jīng)過點且斜率為2，所以直線的方程為，即，故選：．16．（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高二期中（文））完成下面問題：(1)求直線分別在軸，軸上的截距；(2)求平行于直線，且與它的距離為的直線的方程；(3)已知兩點，，求線段的垂直平分線的方程.【解析】(1)將化為截距式，由此可知此直線在x軸、y軸上的截距分別為10與4.(2)因為所求直線平行于直線，所以可設所求直線方程為，這兩條直線間的距離，解得c=0或c=4，直線方程為或；(3)直線MN的斜率，MN的垂直平分線的斜率MN的中點坐標為，所以線段MN的垂直平分線的方程為，整理得.17．（2022·吉林長春·高二期中（文））已知的三個頂點的坐標為，，．(1)求邊AB上過點C的高所在直線的方程；(2)若直線l與AC平行，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，求直線l與兩條坐標軸圍成的三角形的周長．【解析】(1)，邊AB上的高所在直線的斜率為，

又直線過點，

所求直線的方程為：，即；(2)設直線l的方程為：，即，，，解得：，直線l的方程為：，直線l過點，三角形斜邊長為，直線l與坐標軸圍成的直角三角形的周長為．核心知識3直線的平行與垂直18．（2022·浙江·長興縣教育研究中心高二期中）已知兩直線，若，則____；若l1∥l2，則______.【答案】

3或2

【解析】因為，，所以，若，則，解得或,若，則，解得，經(jīng)檢驗適合題意.故答案為：①3或2；②19．（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知，若直線：與直線：平行，則______________．【答案】3【解析】因為直線：與直線：平行，所以，解得，故答案為：3.20．（2022·四川南充·高二期末（文））“”是“直線：與直線：互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】依題意，，解得或，所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.故選：A21．（2022·湖北孝感·高二期末）“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】直線與直線垂直,則，解得：或，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：B.22．（多選題）（2022·云南普洱·高二期末）已知直線，則（

）A．恒過點 B．若，則C．若，則 D．當時，不經(jīng)過第三象限【答案】BD【解析】直線，則，由，得，所以恒過定點，所以A錯誤；由可得：，所以，B正確；由可得：，，所以C錯誤；由，當時，，不過第三象限；當時，，不過第三象限，只需要，解得，所以的取值范圍為，所以D正確；故選：BD.23．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知直線：和：．(1)若，求實數(shù)m的值；(2)若，求實數(shù)m的值．【解析】(1)由直線的斜率存在，且為，則直線的斜率也存在，且為，因為，所以，解得或2，①當時，由此時直線，重合，②當時，，此時直線，平行，綜上：若，則實數(shù)m的值為2．(2)①當時，直線的斜率為0，此時若必有，不可能.②當時，若必有，解得，由上知若，則實數(shù)m的值為或．核心知識4直線的交點坐標與距離公式24．（2022·上海市控江中學高二期中）設，已知直線，過點作直線，且，則直線與之間距離的最大值是___________.【答案】【解析】由直線，得；令，解得，則直線過定點；又，且過點，則直線與之間距離的最大值；故答案為：.25．（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高二期中（文））已知點，，若在軸上存在一點滿足，則點的坐標為___________．【答案】【解析】設，則，解得，點的坐標為，故答案為：．26．（2022·上?！げ軛疃懈叨谀┮阎切蜲AB頂點，，，則過B點的中線長為______.【答案】【解析】由中點坐標公式可得中點，則過B點的中線長為.故答案為：27．（2022·重慶長壽·高二期末）在第一象限的點到直線的距離為3，則a的值為__________．【答案】4【解析】在一象限，所以，點到直線的距離為3，則，解得：或.因為，所以.故答案為：4.28．（2022·貴州遵義·高二期末（文））直線與直線的距離為______．【答案】【解析】因為直線與直線平行，所以它們間的距離為：.故答案為：29．（2022·廣東·江門市第二中學高二期中）直線與間的距離為3，則_______.【答案】或【解析】由題，可知，所以兩平行線間距離為，解得或，故答案為：或30．（多選題）（2022·江蘇·常州市第一中學高二期中）已知直線，動直線，則下列結論正確的是（

）A．不存在，使得的傾斜角為90° B．對任意的，直線恒過定點C．對任意的，與都不重合 D．對任意的，與都有公共點【答案】BD【解析】對A，當時，，符合傾斜角為90°，故A錯誤；對B，，解可得，故過定點，故B正確；對C，當時，，顯然與重合，故C錯誤；對D，過定點，而也在上，故對任意的，與都有公共點，故D正確；故選：BD31．（2022·北京十五中高二期中）過兩直線的交點，且與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由解得，則直線的交點，又直線的斜率為，則所求直線方程為，整理得.故選：C.32．（2022·全國·高二期末）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關于和的方程組的解的情況是（

）A．無論，，如何，方程組總有解B．無論，，如何，方程組總有唯一解C．存在，，，方程組無解D．存在，，，方程組無窮多解【答案】B【解析】已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，所以,即,并且，.所以得：即,所以方程組有唯一解.故選：B33．（2022·安徽省六安中學高二期中（文））已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意兩直線和的交點為，所以在直線上，所以過兩點所在直線方程為，故選：B34．（2022·湖南·周南中學高二期末）已知點在直線上的運動，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】表示點與距離的平方，因為點到直線的距離，所以的最小值為．故選：A35．（2022·全國·高二期末）已知直線：（）．求證：直線恒過定點，并求點的坐標．【解析】證明：原方程整理為，則由得所以點坐標為．36．（2022·全國·高二期中）直線：上的一點到和兩點的距離相等，試求點坐標．【解析】易得在的垂直平分線上，的中點坐標為，又，則的垂直平分線斜率為，則方程為，即，由解得所以點坐標為．37．（2022·江蘇·東?？h教育局教研室高二期中）已知直線l：.(1)求證：直線l過定點；(2)若直線l被兩平行直線：與：所截得的線段AB的中點恰好在直線上，求的值.【解析】(1)由已知：，即，令，解得：x=1，y=4，∴直線l恒過定點(1,4).(2)設直線，分別與直線交于C，D兩點，由，解得C，由，解得D，∴CD的中點M的坐標為(－2,－2)，不妨設A在直線上，B在直線上，則△AMC≌△BMD，即MA=MB，故M(－2,－2)為AB的中點，將M代入直線l的方程得：，解得·38．（2022·全國·高二期中）已知的三個頂點的坐標為、、，試求：(1)邊上的高所在的直線方程；(2)的面積．【解析】（1）因為，則邊上的高的斜率為3，又經(jīng)過A點，故方程為，化簡得．（2），直線方程為，整理得，則到的距離為，則的面積為.39．（2022·全國·高二期中）已知直線過點，且被平行直線：與：所截取的線段長為，求直線的方程．【解析】兩條平行線之間的距離，截得的線段長為，推得直線與、的夾角為45°．設直線的斜率為，故解得：或則直線的方程為：或.整理得：或.核心知識5對稱問題40．（2022·吉林油田高級中學高二期中）已知點P與點關于直線對稱，則點P的坐標為_______.【答案】【解析】由題可知該直線是線段PQ的垂直平分線，設，則解得故答案為：(3，0).41．（2022·浙江紹興·高二期末）如圖，在等腰直角△ABC中，，點P是邊AB上異于A?B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC?CA反射后又回到原點P.若光線QR經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，則___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，以為坐標原點，建立平面直角坐標系，設點關于直線的對稱點為，關于軸的對稱點為，如下所示：則，不妨設，則直線的方程為，設點坐標為，則，且，整理得，解得，即點，又；設△的內(nèi)切圓圓心為，則由等面積法可得，解得；故其內(nèi)心坐標為，由及△的內(nèi)心三點共線，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案為：.42．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．【答案】.【解析】由題意知，設直線，在直線上取點，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：43．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．【答案】.【解析】由題意知，設直線，在直線上取點，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：44．（2022·全國·高二課時練習）直線關于點對稱的直線方程是______．【答案】【解析】設對稱直線為，則有，解這個方程得（舍）或.所以對稱直線的方程中故答案為：45．（2022·全國·高二課時練習）已知直線，，．（1）求直線關于直線的對稱直線的方程；（2）求直線關于直線的對稱直線的方程．【解析】（1）因為，所以．設直線的方程為（，且）．在直線上取點，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即點的坐標為．把點的坐標代入直線的方程，得，解得，所以直線的方程為．（2）由，得，所以與的交點坐標為．另取上不同于A的一點，設關于的對稱點為，則，得，即點的坐標為．所以過與的直線的方程為，即．46．（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線，求：(1)直線l關于點對稱的直線的方程；(2)直線關于直線l對稱的直線的方程．【解析】(1)設直線關于的對稱直線上任意一點為，則點關于點的對稱為，則，解得，即,將點代入直線，可得，整理得，即對稱直線的方程為.(2)由，解得，即直線與的交點坐標為，再在直線上取一點，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，又由，所以直線的方程為，整理得，即直線關于直線l對稱的直線的方程為.47．（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線l:.(1)求點P（3，4)關于直線l對稱的點Q；(2)求直線l關于點（2，3)對稱的直線方程．【解析】(1)設Q（x0，y0)．由于PQ⊥l，且PQ的中點在直線l上，則，解得，所以Q.(2)在直線l上任取一點，如M（0，－1).設點M關于點（2，3)對稱的點為N（x，y)，所以，解得：，所以N（4，7)因為所求直線與l平行，所以,所以所求的直線方程為，即x－2y＋10＝0.核心知識6直線中的范圍與最值問題48．（2022·湖北·監(jiān)利市教學研究室高二期末）已知定點，動點分別在直線和上運動，則的周長取最小值時點的坐標為__________.【答案】【解析】如圖所示：定點關于函數(shù)的對稱點，關于軸的對稱點，當與直線和的交點分別為時，此時的周長取最小值，且最小值為．此時點的坐標滿足，解得，即點.故答案為：.49．（2022·北京十五中高二期中）已知直線均過點P(1，2).(1)若直線過點A(1，3)，且求直線的方程；(2)如圖，O為坐標原點，若直線的斜率為k，其中，且與y軸交于點N，直線過點，且與x軸交于點M，求直線與兩坐標軸圍成的四邊形PNOM面積的最小值.【解析】(1)因為直線均過點P(1，2)，且直線又過點A(1，3)，所以，因為，所以，則直線的方程，即；(2)如圖所示：由題意得：直線的方程為：，令，得，即，令，得，即直線與x軸的交點為，直線又過點，所以直線的方程為：，即，令，得，即，所以，，，因為，所以當時，PNOM面積的最小值為.50．（2022·全國·高二期末）數(shù)學家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．例如：與相關的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．結合上述觀點：對于函數(shù)，的最小值為______．【答案】【解析】函數(shù)，表示點與點與距離之和的最小值，則點在軸上，點關于軸的對稱點，所以，所以的最小值為：.故答案為：.51．（2022·四川巴中·高二期中（文））當實數(shù)k變化時，直線到直線的距離的最大值是______.【答案】【解析】由可得過定點，由可得過定點.又兩直線斜率相等，可知兩直線平行且垂直于時，距離最大，最大值即為兩點間的距離.故答案為：.52．（2022·上海虹口·高二期末）已知點在直線上，則的最小值為________．【答案】2【解析】可以理解為點到點的距離，又∵點在直線上，∴的最小值等于點到直線的距離，且.故答案為：.53．（2022·四川南充·高二期末（文））過坐標原點作直線：的垂線，垂足為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，直線l的方向向量，則有，解得，因此，，因當時，取最小值，則有，所以的取值范圍是.故選：D54．（2022·湖南·益陽平高學校高二期中）設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值（

）A． B． C．3 D．6【答案】D【解析】由題意，動直線過定點，直線可化為，令，可得，又，所以兩動直線互相垂直，且交點為，所以，因為，所以，當且僅當時取等號.故選：D.55．（2022·四川·遂寧中學高二期中（理））過定點的直線與過定點的直線交于點，則的最大值為(

)A．1 B．3 C．4 D．2【答案】C【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線即，經(jīng)過定點，∵過定點的直線與過定點的直線始終垂直，又是兩條直線的交點，∴，∴．故(當且僅當時取“”)．故選：C．56．（2022·安徽省六安中學高二期中（文））已知，點為軸上一動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知點關于軸的對稱點為，，直線方程為，令得，所以直線與軸交點為，，當且僅當是與軸交點時等號成立．故選：A．57．（2022·湖北荊州·高二期中）（1）求過點且在兩坐標軸上截距相等的直線l的方程；（2）設直線l的方程為，若，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點，O為坐標原點，求面積取最小值時，直線l的方程．【解析】（1）當直線不過原點時，設l的方程為＋＝1，∵點在直線上，∴＋＝1，解得，所以直線方程為x＋y－1＝0；當直線過原點時，直線斜率，∴直線的方程為，即3x＋4y＝0.綜上知，所求直線方程為x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.（2）∵，∴M，，∴＝＝≥2，當且僅當a＋1＝，即a＝0時等號成立．故所求直線l的方程為x＋y－2＝0.58．（2022·四川巴中·高二期中（文））已知直線過點（1，2）.(1)若直線與平行，求直線的方程；(2)若直線與x軸正半軸交于A點，與y軸正半軸交于B點，O為坐標原點，求的面積的最小值.【解析】(1)因為直線與平行，所以直線的斜率為2，又直線過點（1，2），所以直線的方程為，即；(2)由題意，直線的斜率存在，設，且，令，可得，令，可得，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的面積的最小值為4.59．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學校高二期中）設，，則的最小值為______；已知x、y滿足，若，則d的最小值______．【答案】【解析】因為，，則，即的最小值為；，可看作點和到直線上的點的距離之和，關于直線的對稱點設為，，則，解得，，所以的坐標為，則的最小值為．故答案為：；．核心知識7圓的方程60．（2022·河北唐山·高二期中）圓心在直線2x－3y－1＝0上的圓與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，則圓的方程為________．【答案】＝2【解析】由題意得：圓心在直線上，又圓心在直線上，令，得圓心的坐標為，又，半徑，則圓的方程為．故答案為：61．（2022·上海市第三女子中學高二期末）圓關于直線對稱的圓的方程為______．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為；圓心關于直線對稱的點為，所以所求圓的方程為.故答案為：.62．（2022·上海金山·高二期中）過直線與直線的交點，圓心為的圓的標準方程是_____.【答案】【解析】由，得，所以直線與直線的交點為，所以圓的半徑為，所以所求圓的標準方程為，故答案為：63．（2022·全國·高二期中）已知點，為坐標原點，則以為直徑的圓的方程是______．【答案】【解析】由題意可知，，，所以以的中點坐標為，，所以以為直徑的圓的方程為.故答案為：.64．（2022·全國·高二期中）方程表示圓，則的取值范圍為______．【答案】或【解析】由題意知：，即，解得或.故答案為：或.65．（2022·貴州·遵義四中高二期末）圓關于直線的對稱圓的標準方程為_______．【答案】【解析】圓的標準方程為，圓心(2,2),半徑為2，圓心(2,2)關于直線的對稱點為原點,所以所求對稱圓的標準方程為，故答案為：66．（2022·北京十五中高二期中）經(jīng)過三個點的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知得，分別在原點、軸、軸上，，經(jīng)過三點圓的半徑為，圓心坐標為的中點，即，圓的標準方程為.故選：C.67．（2022·福建寧德·高二期中）某圓經(jīng)過兩點，圓心在直線上，則該圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為圓經(jīng)過兩點，所以圓心在中垂線上，聯(lián)立解得圓心，所以圓的半徑，故所求圓的方程為，故選：D68．（2022·河北唐山·高二期中）點M，N是圓＝0上的不同兩點，且點M，N關于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（

）A． B． C．3 D．9【答案】C【解析】圓＝0的標準方程為（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，則圓心坐標為（－，－1），半徑為因為點M，N在圓＝0上，且點M，N關于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，所以－＋1＋1＝0，k＝4．所以圓的方程為：＝0，圓的半徑＝3.故選：C．69．（2022·四川·瀘縣五中高二期中（文））已知點A（1，2）在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，表示圓故，即或點A（1，2）在圓C：外故，即故實數(shù)m的取值范圍為或即故選：A70．（2022·內(nèi)蒙古·包頭市第四中學高二期中）已知點和(1)求直線的方程；(2)若圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上，求圓的方程【解析】(1)，故直線方程為.(2)設圓心為，半徑為,圓心在直線上，，則點為,由題意可得可得：解得，，，圓的標準方程為.71．（2022·福建·廈門大學附屬科技中學高二期中）已知的三個頂點分別為，求：(1)邊中線所在的直線方程(2)的外接圓的方程【解析】(1)設的中點為，則所在直線的斜率為，則邊所在直線的方程為，即．(2)設的外接圓的方程為，由，解之可得故的外接圓的方程為．核心知識8軌跡方程72．（2021·安徽省六安中學高二期中（文））在平面直角坐標系中，曲線與兩坐標軸的交點都在圓上.(1)求圓的方程；(2)已知為坐標原點，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.【解析】(1)由，令，解得或；令，得，所以圓過.設圓的方程為，，解得，所以圓的方程為.(2)設，則，將的坐標代入圓的方程得，即.73．（2021·安徽·合肥市第六中學高二期中（理））已知動點P與兩個頂點，的距離的比值為2，點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的軌跡方程;(2)過點且斜率為k的直線l，交曲線C于、N兩點，若，求斜率k【解析】(1)設點，依題意，，則，化簡整理得：，所以曲線C的軌跡方程是：.(2)依題意，設直線l的方程為：，由消去y并整理得：，由得，設，，則有，，即，整理得，解得或（舍去），所以斜率.74．（2020·四川巴中·高二期中（文））已知圓C經(jīng)過點A（3，1）、B（－1，3），且它的圓心在直線上.(1)求圓C的標準方程；(2)若點D為圓C上任意一點，且點E（3，0），求線段ED中點M的軌跡方程.【解析】(1)由題可設圓C的標準方程為，則，解之得，所以圓C的標準方程為；(2)設M（x，y），D，則，由E(3，0)及M為線段ED的中點得：，解得又點D在圓C：上，所以有，化簡得：．故所求的軌跡方程為．75．（2021·四川巴中·高二期中）已知圓C經(jīng)過（1，3），（5，3），（2，0）三點.(1)求圓C的方程；(2)設點A在圓C上運動，點，且點M滿足，求點M的軌跡方程.【解析】(1)設圓C的方程為則有，解之得則圓C的方程為(2)設，，則有，，由，可得，解之得由點A在圓C上，得即故點M的軌跡方程為.76．（2022·福建龍巖·高二期末）已知平面直角坐標系上一動點滿足：到點的距離是到點的距離的2倍.(1)求點的軌跡方程；(2)若點與點關于直線對稱，求的最大值.【解析】(1)設，由題意，得：，化簡得，所以點的軌跡方程為(2)方法一：設，因為點與點關于點對稱，則點坐標為，因為點在圓，即上運動，所以，所以點的軌跡方程為，所以兩圓的圓心分別為，半徑均為2，則.方法二：由可得：所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓軌跡的圓心到直線的距離為：77．（2021·四川省綿陽南山中學高二期中（理））已知圓，直線.(1)判斷直線與圓的位置關系；(2)若圓與直線相交于點和點，求弦的中點的軌跡方程.【解析】(1)直線經(jīng)過定點，點到圓心的距離等于1小于圓的半徑，故定點在圓的內(nèi)部，故直線與圓總有兩個不同交點，故直線和圓相交；(2)設中點的坐標為，則由直線和圓相交的性質(zhì)可得.由于定點?圓心?點構成直角三角形，由勾股定理得，，∴，即，由于直線的斜率一定存在，故排除圓上的點.此圓在圓的內(nèi)部，故點的軌跡方程為：，除去點.78．（2022·四川雅安·高二期末（理））已知坐標平面上動點與兩個定點、，且，設動點的軌跡為曲線.(1)若直線與曲線交于、兩點，求的長；(2)若點與動點所連線段上有一點，滿足，求點的軌跡方程.【解析】(1)，，即，所以，化簡為，所以，曲線是以點為圓心，半徑的圓，圓心到直線的距離，所以，.(2)設、，則，，因為，則，即，可得，因為，所以，，化簡得，所以點E的軌跡方程為.79．（2022·廣西柳州·高二期中（理））若圓與圓的公共弦的長為1，則下列結論正確的有（

）A．B．C．中點的軌跡方程為D．中點的軌跡方程為【答案】C【解析】兩圓方程相減可得直線AB的方程為，即，因為圓的圓心為，半徑為1，且公共弦AB的長為1，則到直線的距離為，所以，解得，故A、B錯誤；由圓的性質(zhì)可知直線垂直平分線段，所以到直線的距離即為AB中點與點的距離，設AB中點坐標為，因此，即，故C正確，D錯誤；故選：C80．（2022·上?！の挥袑W高二期末）已知圓過三個點.(1)求圓的方程；(2)過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，求線段的中點的軌跡.【解析】(1)設圓的方程為，因為圓過三個點，可得，解得，所以圓的方程為，即.(2)因為為線段的中點，且，所以在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，所以點的軌跡方程為.核心知識9直線與圓的位置關系81．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學校高二期中）已知圓與直線相切，則___________.【答案】【解析】，圓的圓心為(2，－2)，半徑r＝1，∵圓和直線相切，∴.故答案為：.82．（多選題）（2022·云南曲靖·高二期末）已知圓與直線，則（

）A．直線與圓必相交 B．直線與圓不一定相交C．直線與圓相交所截的最短弦長為 D．直線與圓可以相切【答案】AC【解析】由題意，圓的圓心，半徑，直線變形得，得直線過定點，∵，∴直線與圓必相交，故A對，B、D錯；由平面幾何知識可知，當直線與過定點和圓心的直線垂直時，弦長有最小值，此時弦長為，故C對；故選：AC．83．（多選題）（2022·廣東深圳·高二期末）已知直線，圓，則（

）A．直線與圓相交B．圓上的點到直線距離的最大值為C．直線關于圓心對稱的直線的方程為D．圓關于直線對稱的圓的方程為【答案】ACD【解析】由圓方程知：圓心，半徑；對于A，圓心到直線距離，直線與圓相交，A正確；對于B，圓心到直線距離，圓上的點到直線距離的最大值為，B錯誤；對于C，設直線關于圓心對稱的直線方程為：，則圓心到直線和到其對稱直線的距離相等，，解得：（舍）或，直線關于圓心對稱的直線的方程為，C正確；對于D，設圓心關于直線對稱的點為，則，解得：，所求圓的圓心為，半徑為，圓關于直線對稱的圓的方程為，D正確.故選：ACD.84．（多選題）（2022·廣東汕尾·高二期末）直線：與圓：相交于，兩點，則（

）A．直線過定點B．時，直線平分圓C．時，為等腰直角三角形D．時，弦最短【答案】AD【解析】對A，因為當時，恒成立，故直線過定點，故A正確；對B，當時，，圓的圓心為不滿足，故此時直線不過圓的圓心，故直線不平分圓，故B正確；對C，當時，經(jīng)過圓的圓心，故無，故C錯誤；對D，因為直線過定點，，故在圓內(nèi)，故當弦最短時，與直線垂直.因為時，直線的斜率為，直線的斜率為1，故與直線垂直成立，故D正確；故選：AD85．（多選題）（2022·江蘇·東?？h教育局教研室高二期中）過點作圓O：的兩條切線，切點分別為A，B，則下列說法正確的是（

）A． B．四邊形PAOB的外接圓方程為C．直線AB方程為y=2x+1 D．三角形PAB的面積為【答案】BD【解析】對A，，由勾股定理，.A錯誤；對B，由題意可知，，則PO為所求圓的直徑，線段PO的中點為，半徑為，于是，所求圓的方程為：.B正確；對C，由題意，其中一個切點的坐標為，不妨設為點B，則，而，則，于是，直線AB的方程為：.C錯誤；對D，易知，因為，，聯(lián)立解得兩條直線的交點，則，，所以三角形的面積為：，則三角形PAB的面積為.故選：BD.86．（多選題）（2022·湖北恩施·高二期末）已知直線l：與圓C：交于A，B兩點，則弦長|AB|的可能取值是（

）A．6 B．7 C．8 D．5【答案】BC【解析】由，得，令解得故直線l恒過點.圓心，半徑，，則，即.故選：BC.87．（多選題）（2022·福建·南靖縣第一中學高二期中）下列說法正確的是（

）A．過點且在、軸截距相等的直線方程為B．過點且垂直于直線的直線方程為C．過兩圓及的交點的直線的方程是D．直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BC【解析】對于A選項，當直線過原點時，設直線的方程為，則有，此時所求直線方程為，若直線不過原點，設所求直線方程為，則，此時所求直線方程為，所以，過點且在、軸截距相等的直線方程為或，A錯；對于B選項，直線的斜率為，所以，過點且垂直于直線的直線方程為，即，B對；對于C選項，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，，，故兩圓相交，將兩圓方程作差得，所以，過兩圓及的交點的直線的方程是，C對；對于D選項，由可得，得，所以曲線表示圓的上半圓，直線表示過點且斜率為的直線，如下圖所示：當直線與半圓相切且切點位于第二象限時，則，解得；當直線過點時，則，解得.由圖可知，直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是，D錯.故選：BC.88．（2022·廣東江門·高二期末）直線：與圓：的位置關系為（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【答案】A【解析】圓：的圓心為，半徑，圓心到直線：的距離，所以直線與圓相切；故選：A89．（2022·廣西梧州·高二期末（文））已知對任意的實數(shù)k，直線l：與圓C：有公共點，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由直線可化為，則直線l過定點，因為直線l：與圓C：有公共點，所以定點在圓C上或圓C內(nèi)，可得，解得，故選：B90．（2022·吉林遼源·高二期末）已知過坐標原點O的直線與圓相切，則切線長（點O與切點間的距離）為（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】C【解析】圓C的標準方程為，圓心，半徑，所以，切線長為.故選C.91．（2022·安徽·屯溪一中高二期中）已知直線是圓的對稱軸.過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，圓C的標準方程為，即圓心為C(2,1)，半徑為2.點(2,1)在直線上，即點A的坐標為(4,1)過點A作圓C的切線所得切線長為以點A為圓心，6為半徑的圓A的方程為圓A與圓C的方程作差得，即直線BD的方程為故選：A.92．（2022·甘肅酒泉·高二期末（理））直線被圓所截得的最短弦長等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑，又直線，直線恒過定點，當圓被直線截得的弦最短時，圓心與定點的連線垂直于弦，此時弦心距為．所截得的最短弦長：．故選：C．93．（2022·四川甘孜·高二期末（文））若直線?與圓?相交于?兩點，且?(其中?為原點)，則?的值為（

）A．?或? B．? C．?或? D．?【答案】A【解析】由可知，圓心到直線的距離為，根據(jù)點到直線的距離公式可得故選：A94．（2022·湖北·高二期末）已知圓C：，直線l恒過點(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且時，求l的方程.【解析】(1)由題意可知，圓C的圓心為，半徑，①當直線l的斜率不存在時，即l的方程為時，此時直線與圓相切，符合題意；②當直線l的斜率存在時，設斜率為k，直線l的方程為，化為一般式：，若直線l與圓相切，則，即，解得，：，即l：，綜上，當直線l與圓C相切時，直線l的方程為或；(2)由題意可知，直線l的斜率一定存在，設斜率為k，直線l的方程為，即，設圓心到直線l的距離為d，則，由垂徑定理可得，，即，整理得，，解得或，則直線l的方程為或95．（2022·安徽·合肥市第六中學高二期中（理））圓心為C的圓經(jīng)過點和，且圓心C在直線上(1)求圓心為C的圓的方程;(2)過點作圓C的切線，求切線的方程.【解析】(1)因圓心C在直線上，則設，由得：，解得，因此，圓心，半徑，所以圓C的方程為：.(2)設過點的圓C的切線方程為：，，于是有：，整理得：，解得或，當時，切線方程為：，當時，切線方程為：，所以過點的圓C的切線方程為或.96．（2022·安徽·池州市第一中學高二期中）已知圓，(1)判斷兩圓的位置關系，并求它們的公切線之長；(2)若動直線與圓交于，，且線段的長度為，求證：存在一個定圓，直線總與之相切.【解析】（1）由圓可得，半徑，由圓可得，半徑，，所以，所以圓相交.設直線分別與圓切于，，連接，在直角梯形中，，所以，即它們的公切線之長為；（2）設線段的中點為，則，因為動直線與圓交于，，且線段的長度為，所以，又因為，所以點到直線的距離為，所以直線總與圓相切，所以存在一個定圓，直線總與之相切.核心知識10圓與圓的位置關系97．（2022·貴州黔東南·高二期末（理））若圓與圓有3條公切線，則正數(shù)a=___________.【答案】3【解析】兩圓有三條公切線，則兩圓外切，∴∴故答案為：398．（2022·山西呂梁·高二期末）寫出一個同時滿足下列條件①②③的圓C的標準方程：__________．①圓C的圓心在第一象限；②圓C與x軸相切；③圓C與圓外切．【答案】(答案不唯一，但圓心坐標需滿足，)【解析】設圓心坐標為，由①可知，半徑為，由②③可知，整理可得，當時，，，所以其中一個同時滿足條件①②③的圓的標準方程是.故答案為：(答案不唯一，但圓心坐標需滿足，)99．（2022·上海市控江中學高二期中）已知圓與相交于兩點，則公共弦的長是___________.【答案】【解析】由題意所在的直線方程為：，即，因為圓的圓心，半徑為，所以，圓心到直線的距離為1，所以.故答案為：100．（2022·廣東廣州·高二期末）寫出與圓和圓都相切的一條切線方程___________.【答案】或或【解析】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為，因為，且，所以，設，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以，可知和關于對稱，聯(lián)立，解得在上，在上任取一點，設其關于的對稱點為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：或或.101．（2022·廣東·汕頭市潮陽區(qū)棉城中學高二期中）已知兩圓分別為圓和圓，這兩圓的位置關系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】B【解析】由題意得，圓圓心，半徑為7；圓，圓心，半徑為4，兩圓心之間的距離為，因為，故這兩圓的位置關系是相交.故選：B.102．（多選題）（2022·江蘇南通·高二期末）已知圓：和圓：相交于A，B兩點，且點A在x軸上方，則（

）A．B．過作圓的切線，切線長為C．過點A且與圓相切的直線方程為D．圓的弦AC交圓于點D，D為AC的中點，則AC的斜率為【答案】ACD【解析】依題意，由解得，則，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，A正確；過作圓的切線，切線長為，B不正確；直線的斜率為，過點A且與圓相切的直線斜率為，該切線方程為，即，C正確；因D為圓的弦AC的中點，則，于是得點D在以線段為直徑的圓上，而點D在圓上，則由得直線的方程，其斜率為，D正確.故選：ACD核心知識11圓中的范圍與最值問題103．（2022·重慶市實驗中學高二期末）已知??，且動點滿足，則取得最小值時，點的坐標是___________.【答案】【解析】設，則，整理可得：；，當三點共線且在線段上時，取得最小值，又直線方程為：，即，由得：或，又在線段上，.故答案為：.104．（2022·江蘇江蘇·高二期中）在圓內(nèi)，過點互相垂直的兩條直線，與圓分別相交于點A，C和B，D，則四邊形ABCD的面積的最大值為_______.【答案】15【解析】由，設圓心為F(1，3)，半徑r=，當，有一條垂直于x軸時，不妨設⊥x軸，⊥y軸，則，，；當，斜率均存在且不為零時，設AC中點為H，BD中點為G，則FH⊥AC，F(xiàn)G⊥BD，又∵AC⊥BD，故四邊形EHFG是矩形，設圓心F到BD的距離=d，則，，，，當且僅當，即時取等號；，∴四邊形ABCD面積的最大值為15﹒故答案為：15．105．（多選題）（2022·江蘇·南京市秦淮中學高二