2022-2023學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題之期末復(fù)習(xí)專(zhuān)題四長(zhǎng)方體和正方體篇

20222023學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列——期末復(fù)習(xí)特別篇期末復(fù)習(xí)專(zhuān)題四：長(zhǎng)方體和正方體篇（解析版）編者的話(huà)：期末復(fù)習(xí)特別篇，它是在《20222023學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列》的基礎(chǔ)上，結(jié)合常年考點(diǎn)考題總結(jié)與編輯而成的，主要分為期末專(zhuān)題復(fù)習(xí)篇、期末典例專(zhuān)項(xiàng)篇、期末題型專(zhuān)項(xiàng)篇、期末檢測(cè)卷四大部分。期末專(zhuān)題復(fù)習(xí)篇結(jié)合典型例題系列，統(tǒng)觀整冊(cè)內(nèi)容，按照篇目劃分為計(jì)算和應(yīng)用部分，其優(yōu)點(diǎn)在于知識(shí)精煉，考題精準(zhǔn)，練習(xí)精細(xì)。期末典例專(zhuān)項(xiàng)篇選取最高頻考點(diǎn)內(nèi)容、最重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)，按照難易程度和頻次高低進(jìn)行編排，其優(yōu)點(diǎn)是內(nèi)容涵蓋廣泛，選題精準(zhǔn)典型，各類(lèi)考題豐富（部分專(zhuān)項(xiàng)選題較廣，建議選擇性使用）。期末題型專(zhuān)項(xiàng)篇選取具有易錯(cuò)易混特點(diǎn)的高頻真題，按照期末試卷題型進(jìn)行分類(lèi)編輯，其優(yōu)點(diǎn)是理清脈絡(luò)，鞏固基礎(chǔ)，精細(xì)化練習(xí)。期末檢測(cè)卷依據(jù)歷年高頻考題真題進(jìn)行變式測(cè)試，主要分為期末專(zhuān)項(xiàng)卷、期末模擬卷、期末壓軸卷。本專(zhuān)題是期末復(fù)習(xí)專(zhuān)題四：長(zhǎng)方體和正方體篇篇，它包括長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)、表面積、體積等內(nèi)容，考題綜合性強(qiáng)，部分考點(diǎn)難度較大，一共劃分為五大篇目，建議作為期末復(fù)習(xí)核心內(nèi)容進(jìn)行講解，歡迎使用?！酒恳弧块L(zhǎng)方體和正方體的棱長(zhǎng)和?！局R(shí)總覽】一、長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)。1.長(zhǎng)方體的特征：注意：長(zhǎng)方體的6個(gè)面都是長(zhǎng)方形，特殊情況有兩個(gè)面是正方形。2.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高：相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。二、正方體的認(rèn)識(shí)。1.正方體的特征：（1）正方體的6個(gè)面都是正方形，且大小完全相同。（2）正方體有12條棱，且正方體的12條棱長(zhǎng)度都相等。2.正方體和長(zhǎng)方體的關(guān)系：總結(jié)：正方體是特殊的長(zhǎng)方體。三、長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和。1.棱長(zhǎng)和一般表示的是12條棱的長(zhǎng)度之和。2.長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和=4×長(zhǎng)+4×寬+4×高=4×（長(zhǎng)+寬+高）。3.根據(jù)棱長(zhǎng)和公式反求長(zhǎng)、寬、高。長(zhǎng)=棱長(zhǎng)和÷4寬高寬=棱長(zhǎng)和÷4長(zhǎng)高高=棱長(zhǎng)和÷4長(zhǎng)寬四、正方體的棱長(zhǎng)和。1.正方體的棱長(zhǎng)和=12×棱長(zhǎng)2.反求棱長(zhǎng)，棱長(zhǎng)=棱長(zhǎng)和÷12【典型例題1】長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和。1.用鐵絲焊接一個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬5厘米、高4厘米的長(zhǎng)方體框架，至少需要鐵絲()厘米。解析：602.一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是80cm，其中長(zhǎng)是10cm，寬是7cm，高是()cm。解析：80÷4－10－7＝20－10－7＝3（cm）3.小軍過(guò)生日，爸爸媽媽給他訂了一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的蛋糕。蛋糕盒的外面用彩帶進(jìn)行了捆扎，接頭處長(zhǎng)20厘米，一共用彩帶多少厘米？解析：40×2＋60×2＋30×4＋20＝80＋120＋120＋20＝200＋120＋20＝320＋20＝340（厘米）答：至少要用340厘米的絲帶捆扎這個(gè)禮品盒。【典型例題2】正方體的棱長(zhǎng)和。1.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是a厘米，棱長(zhǎng)總和是()厘米。解析：12a2.一根長(zhǎng)96厘米的鐵絲圍成一個(gè)正方體，這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是()厘米。解析：83.媽媽給奶奶買(mǎi)了一件母親節(jié)禮物，她用絲帶把禮物按照下圖的方法捆扎，打結(jié)處需要45厘米。捆扎這個(gè)禮物一共需要多少厘米絲帶？解析：8×25＋45＝200＋45＝245（厘米）答：捆扎這個(gè)禮物一共需要245厘米絲帶?！镜湫屠}3】等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化問(wèn)題。1.一個(gè)棱長(zhǎng)6分米的正方體鋼塊，把它融化后鍛造成寬2.5分米，高3分米的長(zhǎng)方體鋼條，能鍛造多長(zhǎng)？解析：6×6×6÷（2.5×3）＝216÷7.5＝28.8（分米）答：能鍛造28.8分米長(zhǎng)。2.用一根鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)是12分米，寬是8分米，高是4分米。如果用這根鐵絲改圍成一個(gè)正方體，那么這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是多少分米？解析：（12＋8＋4）×4÷12＝24×4÷12＝8（分米）答：這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是8分米。【篇目二】長(zhǎng)方體和正方體的表面積。【知識(shí)總覽】一、長(zhǎng)方體的表面積。1.長(zhǎng)方體的表面積=2×（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高），用字母表示為S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。2.已知表面積，反求長(zhǎng)、寬、高：方程法。二、正方體的表面積。正方體的表面積=6×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，用字母表示為：S=6a2。三、長(zhǎng)方體和正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)倍問(wèn)題。1.如果正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，那么它的表面積就擴(kuò)大到原來(lái)的n2倍。2.如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，那么它的表面積就擴(kuò)大到原來(lái)的n2倍，體積就會(huì)擴(kuò)大倍數(shù)的立方倍?！镜湫屠}1】長(zhǎng)方體的表面積。1.一節(jié)長(zhǎng)方體的通風(fēng)管長(zhǎng)是3分米，寬是2分米，高是8分米。做一節(jié)這樣的通風(fēng)管至少需要多大的鐵皮？解析：3×2×2＋2×8×2＝12＋32＝44（平方分米）答：做一節(jié)這樣的通風(fēng)管至少需要44平方分米的鐵皮。2.一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是242平方厘米，它的寬是7厘米，高是3厘米。那么，聰明的你知道這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是多少厘米嗎?解析：方法一：用算術(shù)方法求解∶（242÷221）÷（7+3）=10。方法二：用方程求解∶解：設(shè)長(zhǎng)為c厘米，那么根據(jù)表面積公式可得出如下的方程：2×（21+7×x+3×x）=242解方程可得：x=10答：這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是10厘米。3.下圖是長(zhǎng)方體盒子的展開(kāi)圖，原來(lái)長(zhǎng)方體盒子的表面積是多少平方米？解析：高：8－5＝3（米）長(zhǎng)：（20－3×2）÷2＝（20－6）÷2＝14÷2＝7（米）寬：8－3×2＝8－6＝2（米）（7×2＋7×3＋2×3）×2＝（14＋21＋6）×2＝41×2＝82（平方米）答：原來(lái)長(zhǎng)方體盒子的表面積是82平方米。【典型例題2】正方體的表面積。1.一個(gè)玻璃魚(yú)缸的形狀是正方體，棱長(zhǎng)5分米，制作這個(gè)魚(yú)缸至少需多少平方分米的玻璃？解析：5×5×5＝25×5＝125（平方分米）答：制作這個(gè)魚(yú)缸至少需要125平方分米的玻璃。2.一個(gè)正方體的表面積是150平方分米，它的棱長(zhǎng)是（）分米。解析：5。【典型例題3】棱長(zhǎng)擴(kuò)倍問(wèn)題。1.正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，它的表面積擴(kuò)大到原來(lái)的（）倍。A.3B.9C.12D.27解析：B2.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是3厘米、2厘米、1厘米，把它的長(zhǎng)、寬、高都擴(kuò)大至原來(lái)的2倍，它的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的多少倍?解析：4倍。3.長(zhǎng)、寬、高各擴(kuò)大2倍，體積就會(huì)擴(kuò)大到原來(lái)的（）倍。解析：8【典型例題4】不規(guī)則立體圖形的表面積。1.把一個(gè)棱長(zhǎng)為3分米的正方體木塊至上而下（如圖）切去一個(gè)長(zhǎng)方體，剩下木塊的表面積是多少？解析：3×3×6－1×1×2＋3×1×2＝54－2＋6＝58（平方分米）答：剩下部分的表面積是58平方分米。2.求下面幾何形體的表面積。（單位：厘米）解析：5×5×6＋5×2×4＝25×6＋10×4＝150＋40＝190（平方厘米）【篇目三】表面積增減變化問(wèn)題?！局R(shí)總覽】表面積的增減變化問(wèn)題主要有三種，一種是切片問(wèn)題，表面積會(huì)相應(yīng)增加，一種是拼接問(wèn)題，表面積會(huì)相應(yīng)減少，一種是高的變化引起的表面積變化。一、切片問(wèn)題。1.切一刀增加兩個(gè)切面，沿著不同的方向切，多出的表面積一般是不一樣的，其中正方體比較特殊，它的表面積的增減變化都是都是正方形在進(jìn)行變化，相對(duì)比較簡(jiǎn)單。2.刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。二、拼接問(wèn)題。1.長(zhǎng)方體或正方體的拼接會(huì)使表面積減少，兩個(gè)正方體的拼接，有兩個(gè)重合面，會(huì)減少兩個(gè)正方形的面積，同理，三個(gè)正方體的拼接會(huì)減少四個(gè)正方形的面積，與切片問(wèn)題類(lèi)似，可以先判斷刀數(shù)，再根據(jù)刀數(shù)去推正方形的個(gè)數(shù)，但是長(zhǎng)方體的拼接要根據(jù)不同的拼接面來(lái)判斷具體減少的面積。2.段數(shù)1=刀數(shù)；刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。三、高的變化問(wèn)題。1.正方體高的變化，即棱長(zhǎng)的增減變化，會(huì)引起正方體側(cè)面積的增減變化。2.長(zhǎng)方體高的變化，會(huì)引起長(zhǎng)方體側(cè)面積的增減變化，長(zhǎng)方體的側(cè)面指的是前后左右四個(gè)面?！镜湫屠}1】切片問(wèn)題。1.把一個(gè)長(zhǎng)12厘米，寬和高都是4厘米的長(zhǎng)方體，分割成棱長(zhǎng)4厘米的正方體，表面積比原來(lái)增加了多少？解析：4×4×4＝16×4＝64（平方厘米）答：表面積比原來(lái)增加了64平方厘米。2.把一個(gè)棱長(zhǎng)是2cm的正方體切成兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體后，表面積比原來(lái)增加了（）平方厘米，每個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積是（）平方厘米。解析：8；163.一根長(zhǎng)1米的長(zhǎng)方體木料鋸成2段后，表面積增加了6平方分米。這根木料的體積是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，這根木料重多少千克？解析：1米＝10分米6÷2×10＝3×10＝30（立方分米）1.5×30＝45（千克）答：這根木料的體積是30立方分米，這根木料重45千克?！镜湫屠}2】高的變化問(wèn)題。1.如果一個(gè)長(zhǎng)方體的高減少4分米后，表面積就減少了1600平方厘米，這時(shí)正好變成了一個(gè)正方體，原長(zhǎng)方體的體積是多少？解析：減少的面的寬（剩下正方體的棱長(zhǎng)）1600÷4÷40＝400÷40＝10（厘米）原來(lái)長(zhǎng)方體的高：10＋40＝50（分米）原來(lái)的體積：10×10×50＝100×50＝5000（立方厘米）答：原長(zhǎng)方體的體積是5000立方厘米。2.一個(gè)正方體的底面周長(zhǎng)是40厘米，如果把它的高增加3厘米，則表面積比原來(lái)增加多少平方厘米？解析：根據(jù)題意可知，增加的面為前后、左右四個(gè)面，根據(jù)棱長(zhǎng)＝底面周長(zhǎng)÷4求出棱長(zhǎng)，再根據(jù)“表面積增加的數(shù)量＝棱長(zhǎng)×增加的高度×4”，解答即可。40÷4＝10（厘米）10×3×4＝30×4＝120（平方厘米）3.一個(gè)長(zhǎng)方體（如圖），如果高增加4厘米，就變成了棱長(zhǎng)是10厘米的正方體。體積增加了多少立方厘米？解析：10×10×10－10×10×（10－4）＝1000－100×6＝1000－600＝400（立方厘米）答：體積增加了400立方厘米。【篇目四】長(zhǎng)方體和正方體的體積。【知識(shí)總覽】一、體積及容積單位。1.容積：容積是指物體所能容納物體的體積大小，常見(jiàn)的容積單位有：升（L）、毫升（mL）。2.體積：體積是指物體本身所占空間的大小，常見(jiàn)的體積單位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相當(dāng)于一個(gè)手指尖的體積。3.由于測(cè)量方法的不同，體積一般大于容積。4.體積及容積單位進(jìn)率：1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。二、長(zhǎng)方體的體積。1.長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高，用字母表示V=abh。2.長(zhǎng)=體積÷寬÷高，a=V÷b÷h。3.寬=體積÷長(zhǎng)÷高，b=V÷a÷h。4.高=體積÷長(zhǎng)÷寬，h=V÷a÷b。三、正方體的體積。正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，用字母表示V=a×a×a=a3?！镜湫屠}1】單位換算。單位換算。()m2＝520dm2＝()cm2

3.6L＝()mL＝()cm3=()dm3解析：5.2；52000；3600；3600；3.6【典型例題2】長(zhǎng)方體的體積。1.某工地運(yùn)來(lái)9.6立方米的沙子，鋪在一個(gè)長(zhǎng)6米、寬2.5米的沙坑里，可以鋪多厚？解析：9.6÷6÷2.5＝0.64（米）答：可以鋪0.64米。2.學(xué)校要砌一道長(zhǎng)20米、寬2.4分米、高2米的墻，每立方米需要525塊磚，學(xué)校需要買(mǎi)多少塊磚？解析：2.4分米＝0.24米20×0.24×2＝4.8×2＝9.6（立方米）525×9.6＝5040（塊）答：學(xué)校需要買(mǎi)5040塊磚。3.一塊長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)方形鐵皮（如下圖），從四個(gè)角各切掉一個(gè)邊長(zhǎng)的正方形，然后做成盒子。（1）這個(gè)盒子用了多少平方厘米的鐵皮？（2）它的容積是多少？解析：

（1）80×40－10×10×4＝3200－400＝2800（平方厘米）答：這個(gè)盒子用了2800平方厘米的鐵皮。（2）（立方厘米）答：它的容積是12000立方厘米。【典型例題3】正方體的體積。一個(gè)正方體玻璃容器的棱長(zhǎng)是15厘米，體積是多少立方厘米？解析：15×15×15＝225×15＝3375（立方厘米）答：體積是3375立方厘米。【典型例題4】等積變化問(wèn)題。1.一個(gè)正方體實(shí)心鐵塊的棱長(zhǎng)總和是48分米，現(xiàn)將它熔鑄成一個(gè)底面積是32平方分米的實(shí)心長(zhǎng)方體鐵塊，熔鑄成的實(shí)心長(zhǎng)方體鐵塊的高是多少分米？解析：48÷12＝4（分米）4×4×4÷32＝16×4÷32＝64÷32＝2（分米）答：熔鑄成的實(shí)心長(zhǎng)方體鐵塊的高是2分米。2.一個(gè)正方體玻璃缸，棱長(zhǎng)6分米，用它裝滿(mǎn)水，再把水全部倒入一個(gè)底面積為30平方分米，高為10分米的長(zhǎng)方體水槽中，水深多少？解析：6×6×6÷30＝216÷30＝7.2（分米）答：水深7.2分米。3.如下圖所示，密閉的容器中裝有5厘米深的水。如果以這個(gè)容器的右側(cè)面為底面把容器豎起來(lái)，這時(shí)水深多少厘米？解析：30×10×5÷（10×15）＝300×5÷150＝1500÷150＝10（厘米）答：這時(shí)水深10厘米。【篇目五】排水法與不規(guī)則立體圖形?！局R(shí)總覽】一、排水法。形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積。排水法的公式：V物體=V現(xiàn)在－V原來(lái)也可以V物體=S×(h現(xiàn)在h原來(lái))V物體=S×h升高二、溢水問(wèn)題。物體完全浸沒(méi)在水中，如果物體的體積超過(guò)空白部分的體積，就會(huì)溢出，求溢出部分的體積需要用物體的體積減去空白部分的體積。三、不規(guī)則及組合立體圖形的體積。求不規(guī)則及組合立體圖形的體積，往往采用加法或減法的方式解決，即將各部分立體圖形的體積相加或用圖形整體的體積減去空白部分的體積。【典型例題1】排水法與溢水問(wèn)題。1.在一個(gè)底面長(zhǎng)20厘米，寬15厘米的長(zhǎng)方體水箱中，水面高度為10厘米，一塊石頭后水面上升到14厘米。這塊石頭的體積是多少？解析：20×15×（14－10）＝300×4＝1200（立方厘米）答：這塊石頭的體積是1200立方厘米。2.一個(gè)長(zhǎng)為25厘米，寬為18厘米的長(zhǎng)方形玻璃缸，水