第04講復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)(人教A版2019)（原卷版）

第4講復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算知識點(diǎn)1復(fù)數(shù)的乘法及其運(yùn)算律(1)復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結(jié)合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3注：對復(fù)數(shù)乘法的三點(diǎn)說明(1)類比多項(xiàng)式運(yùn)算：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算很類似，可仿多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，但結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開(i2換成－1)．(2)運(yùn)算律：多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)乘法中仍然成立，乘法公式也適用．(3)常用結(jié)論①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.知識點(diǎn)2共軛復(fù)數(shù)1、定義：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù)2、表示：z的共軛復(fù)數(shù)用eq\x\to(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi知識點(diǎn)3復(fù)數(shù)的除法1、復(fù)數(shù)的除法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，則eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.注：對復(fù)數(shù)除法的兩點(diǎn)說明(1)實(shí)數(shù)化：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)c－di，化簡后即得結(jié)果，這個過程實(shí)際上就是把分母實(shí)數(shù)化，這與根式除法的分母“有理化”很類似．(2)代數(shù)式：注意最后結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開．特別提醒：復(fù)數(shù)的除法類似于根式的分母有理化．2、記住以下結(jié)果，可提高運(yùn)算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②eq\f(1－i,1＋i)＝－i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1,i)＝－i.考點(diǎn)一復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的乘法運(yùn)算解題方略：1．兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法(1)首先按多項(xiàng)式的乘法展開；(2)再將i2換成－1；(3)然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，化簡為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R);(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.【例1】i(2＋3i)＝()A．3－2iB．3＋2iC．－3－2i D．－3＋2i變式1：若復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝3－i，則z1z2等于()A．4＋2i B．2＋iC．2＋2i D．3＋i變式2：計(jì)算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝()A．2－13i B．13＋2iC．13－13i D．－13－2i變式3：下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)變式4：設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【例2】(1＋i)20－(1－i)20的值是()A．－1024B．1024C．0 D．512變式1：i是虛數(shù)單位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）．變式2：若是虛數(shù)單位，則__________.變式3：已知，則復(fù)數(shù)的虛部為_________．【例3】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為________．變式1：【多選】已知復(fù)數(shù)滿足，則可能為（

）.A．0 B． C． D．【例4】已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式1：若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)考點(diǎn)二共軛復(fù)數(shù)【例5】設(shè)z＝i(2＋i)，則eq\x\to(z)＝()A．1＋2iB．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i變式1：設(shè)復(fù)數(shù)，且，則的虛部為（

）A． B． C． D．變式2：已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（

）A．1 B．1 C． D．變式3：已知，則（

）A． B．C． D．變式4：若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），為z的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2變式5：已知復(fù)數(shù)z滿足：，則（

）A． B． C． D．變式6：設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的值為（

）A． B． C． D．變式7：已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式8：若為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則下列判斷不正確的是（

）．A．B．若，則復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)或C．D．復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱考點(diǎn)三復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的除法運(yùn)算解題方略：1．兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟(1)首先將除式寫為分式；(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)；(3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．2．常用公式(1)eq\f(1,i)＝－i；(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq\f(1－i,1＋i)＝－i.【例6】若z(1＋i)＝2i，則z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－i D．1＋i變式1：計(jì)算：eq\f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝________.變式2：若i是虛數(shù)單位，則eq\f(i,\r(3)＋3i)等于()A.eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),12)iB.eq\f(1,4)＋eq\f(\r(3),12)iC.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),6)i D.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),6)i變式3：復(fù)數(shù)eq\f(1＋2i2,3－4i)＝()A．－1B．1C．－i D．i變式4：已知i為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C．－2 D．2變式5：已知eq\f(2－3i,z)＝－i，則復(fù)數(shù)z＝________.變式6：已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足zi＝1＋i，則z2＝()A．－2iB．2iC．－2 D．2【例7】已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則z的虛部為___________.變式1：已知復(fù)數(shù)z滿足，(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部為（

）A．1 B． C． D．變式2：復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（

）A． B． C． D．【例8】設(shè)為虛數(shù)單位，，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B．2 C． D．1變式1：已知a∈R，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則a＝（

）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2變式2：已知復(fù)數(shù)，則“”是“z是純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式3：若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且eq\f(z1,z2)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________．變式4：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（

）A． B．5 C． D．2【例9】設(shè)z＝eq\f(3－i,1＋2i)，則|z|＝()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．1變式1：已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．變式2：若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．變式3：若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模是（

）A．1 B． C． D．2變式4：若a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，則a＝()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．1【例10】的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．變式1：已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．1變式2：設(shè)復(fù)數(shù)z＝－1－i(i為虛數(shù)單位)，z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，則eq\f(2－\x\to(z),z)＝________.變式3：【多選】若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A．的虛部為 B．C．為純虛數(shù) D．的共軛復(fù)數(shù)為變式4：【多選】設(shè)有下面四個命題，其中為真命題的是()A．若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1,z)∈R，則z∈RB．若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈RC．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝eq\x\to(z)2D．若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\x\to(z)∈R【例11】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限變式1：如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是eq\o(OA,\s\up7(―→))，eq\o(OB,\s\up7(―→))，則復(fù)數(shù)eq\f(z1,z2)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限考點(diǎn)四復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問題解題方略：復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式為(1)當(dāng)Δ≥0時，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)；(2)當(dāng)Δ<0時，x＝eq\f(－b±\r(－b2－4ac)i,2a).【例12】已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一個根(b，c為實(shí)數(shù))．(1)求b，c的值；(2)試判斷1－i是否是方程的根．變式1：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解一元二次方程x2－2x＋5＝0.變式2：已知復(fù)數(shù)z＝－3＋2i(i為虛數(shù)單位)是關(guān)于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q為實(shí)數(shù))的一個根，求p＋q的值．練習(xí)一復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的乘法運(yùn)算1、【多選】下列命題錯誤的是（

）A．是純虛數(shù) B．C．若，則 D．若，則2、設(shè)復(fù)數(shù)，（i是虛數(shù)單位，），若，則______．3、已知復(fù)數(shù)，（i是虛數(shù)單位，），若z1?z2是純虛數(shù)，則a的值為_____．4、已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，滿足（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．5、若復(fù)數(shù)z滿足，則A． B． C． D．6、已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則（

）A． B．2 C．4 D．67、若，其中a，，是虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．8、已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（

）A． B．1 C． D．39、設(shè)復(fù)數(shù)z＝1＋eq\r(2)i，則z2－2z＝________.10、已知復(fù)數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．11、已知復(fù)數(shù)z滿足，則z＝（

）A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i12、已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．5 B．4 C． D．213、已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．14、設(shè)，則（

）A． B． C．1 D．15、設(shè)復(fù)數(shù)，且，則的虛部為（

）A． B． C． D．16、已知eq\x\to(z)為z的共軛復(fù)數(shù)，若z·eq\x\to(z)－3ieq\x\to(z)＝1＋3i，求z.17、已知復(fù)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)及；（2）求復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．練習(xí)二共軛復(fù)數(shù)1、在下列命題中，①若為復(fù)數(shù)，則為非負(fù)數(shù)；②互為共軛的兩個復(fù)數(shù)的差為純虛數(shù)；③若（，），則（是虛數(shù)單位），一定正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32、復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、已知復(fù)數(shù)z滿足z(1－i)＝2i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4、若，則（

）A． B． C． D．5、設(shè)（i為虛數(shù)單位），則（

）A．25 B．5 C．13 D．6、【多選】已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且，為的共軛復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B．C．的實(shí)部為 D．的虛部為練習(xí)三復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的除法運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．2、已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（

）.A． B． C． D．3、已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）.A． B．1 C． D．4、若復(fù)數(shù)滿足其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C．2 D．5、已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_______________6、若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．7、若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A．B．C． D．8、復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9、已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．11、復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限計(jì)算：(1)eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)；(2)eq\f(1,i)(eq\r(2)＋eq\r(2)i)5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1