2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【數(shù)學(xué)模型】建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題（原卷版）

建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題知識(shí)方法精講1．一次函數(shù)的應(yīng)用1、分段函數(shù)問題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對(duì)應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際．2、函數(shù)的多變量問題解決含有多變量問題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個(gè)變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù)．3、概括整合（1）簡(jiǎn)單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵．2．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．3．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．4．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．5．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．6．根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點(diǎn)猜想問題需要?jiǎng)邮植僮?，這類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式．7．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問題在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測(cè)量問題或其他問題．一．選擇題（共1小題）1．（2021秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）如圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分（如圖，畫2條直線，最多能把白紙分成4部分（如圖，畫3條直線，最多能把白紙分成7部分（如圖，當(dāng)在一張白紙上畫15條直線，最多能把白紙分成的部分是A．120 B．121 C．122 D．123二．填空題（共2小題）2．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，已知，，，是線段上的一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的半圓交邊于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，則的最大值為．3．（2021秋?蜀山區(qū)校級(jí)月考）如圖，是一個(gè)迷宮游戲盤的局部平面簡(jiǎn)化示意圖，該矩形的長(zhǎng)、寬分別為，，其中陰影部分為迷宮中的擋板，設(shè)擋板的寬度為，小球滾動(dòng)的區(qū)域（空白區(qū)域）面積為．則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：（化簡(jiǎn)為一般式）．三．解答題（共17小題）4．（2021秋?泗水縣期中）某商店以每件80元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，現(xiàn)以單價(jià)100元銷售，每月可售出300件．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件商品銷售單價(jià)每上漲1元，該商品平均每月的銷售量就減少10件，設(shè)每件商品銷售單價(jià)上漲了元．（1）若在顧客得實(shí)惠的前提下，當(dāng)每件商品銷售單價(jià)上漲多少元時(shí)，該商店每月的銷售利潤(rùn)為6210元？（2）寫出月銷售該商品的利潤(rùn)（元與每件商品銷售單價(jià)上漲（元之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月銷售該商品的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？5．（2021秋?禪城區(qū)校級(jí)期中）在中，它的邊，高．（1）如圖1，正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在，上．問正方形的邊長(zhǎng)是多少？（2）如圖2，點(diǎn)、分別在，上，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、，則當(dāng)時(shí)，的面積最大值．6．（2021秋?郾城區(qū)期中）下面是小麗同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行的探究過程．（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是．（2）列表011.5234244.2542442表格中的值為．（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出了函數(shù)的部分圖象，用描點(diǎn)法將這個(gè)函數(shù)的圖象補(bǔ)充完整；（4）對(duì)于上面的函數(shù)，下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱；②函數(shù)既有最大值，也有最小值；③當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；④函數(shù)圖象與軸有2個(gè)公共點(diǎn)．所有正確結(jié)論的序號(hào)是：．（5）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：關(guān)于的方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．7．某移動(dòng)通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先繳50元月租費(fèi)，然后每通話1分鐘，再付話費(fèi)0.4元；“神州行”不繳月租費(fèi)，每通話付費(fèi)0.6元．若一個(gè)月內(nèi)通話，兩種方式的費(fèi)用分別為元和元．（1）寫出、與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）一個(gè)月內(nèi)通話多少分鐘，兩種移動(dòng)通訊費(fèi)用相同；（3）某人估計(jì)一個(gè)月內(nèi)通話，應(yīng)選擇哪種移動(dòng)通訊合算些．8．（2021秋?肅州區(qū)期末）喜迎元旦，某商店銷售一種進(jìn)價(jià)為50元件的商品，售價(jià)為60元件，每星期可賣出200件，若每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每星期就會(huì)少賣出10件．（1）假設(shè)設(shè)每件商品的售價(jià)上漲元為正整數(shù)），每星期銷售該商品的利潤(rùn)為元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）每件商品的售價(jià)上漲多少元時(shí)，該商店每星期銷售這種商品可獲得最大利潤(rùn)？此時(shí)，該商品的定價(jià)為多少元？獲得的最大利潤(rùn)為多少？9．（2021秋?黔西南州期末）某服裝批發(fā)市場(chǎng)銷售一種襯衫，每件襯衫的進(jìn)貨價(jià)為50元，規(guī)定每件的售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷售量（件與每件的售價(jià)（元滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：售價(jià)（元件）556065銷售量（件700600500（1）求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要求自變量的取值范圍）（2）物價(jià)部門規(guī)定，該襯衫每件的利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的，設(shè)銷售這種襯衫每月的總利潤(rùn)為（元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)每件襯衫的售價(jià)定為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？10．我國是世界上淡水資源匱乏國家之一，北方地區(qū)的缺水現(xiàn)象更為嚴(yán)重，有些地方甚至連人畜飲水都得不到保障，為了節(jié)約用水，不少城市作出了對(duì)用水大戶限制用水的規(guī)定．北方某市規(guī)定：每一個(gè)用水大戶，月用水量不超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)噸時(shí)，按每噸1.6元的價(jià)格交費(fèi)，如果超過了標(biāo)準(zhǔn)，超標(biāo)部分每噸還要加收元的附加費(fèi)用．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某戶7、8兩月的用水量和交費(fèi)情況如下表：月份用水量（噸交費(fèi)總數(shù)（元7140264895152（1）求出該市規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)用水量的值；（2）寫出交費(fèi)總數(shù)（元與用水量（噸的函數(shù)關(guān)系式．11．（2021秋?前進(jìn)區(qū)期末）小明一家利用元旦三天駕車到某景點(diǎn)旅游．小汽車出發(fā)前油箱有油，行駛?cè)舾尚r(shí)后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量與行駛時(shí)間之間的關(guān)系．如圖所示．根據(jù)圖象回答下列問題：（1）小汽車行駛后加油，中途加油；（2）求加油前油箱余油量與行駛時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果小汽車在行駛過程中耗油量速度不變，加油站距景點(diǎn)，車速為，要到達(dá)目的地，油箱中的油是否夠用？請(qǐng)說明理由．12．（2021秋?任城區(qū)期末）桿秤是我國傳統(tǒng)的計(jì)重工具，如圖，秤鉤上所掛的不同重量的物體使得秤砣到秤紐的水平距離不同．稱重時(shí)，秤鉤所掛物重為（斤時(shí)，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為（厘米）．如表中為若干次稱重時(shí)所記錄的一些數(shù)據(jù)，且是的一次函數(shù)．（斤00.751.002.253.25（厘米）1247注：秤桿上秤砣在秤紐左側(cè)時(shí)，水平距離（厘米）為正，在右側(cè)時(shí)為負(fù)．（1）根據(jù)題意，完成上表；（2）請(qǐng)求出與的關(guān)系式；（3）當(dāng)秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為15厘米時(shí)，秤鉤所掛物重是多少斤？13．（2021秋?錦江區(qū)校級(jí)期末）元旦節(jié)期間，某天小王和小明都乘車從成都到重慶，成都、重慶兩地相距約為300千米，小王先乘車從成都出發(fā)，小明坐動(dòng)車先以80千米小時(shí)速度追趕小王．如圖，線段表示小王離成都的距離（千米）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系；折線表示小明離成都的距離（千米）與（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問題：（1）小明到達(dá)重慶后，小王距重慶還剩多少千米？（2）求線段和對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（3）求小明從成都出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間與小王相遇．14．（2021秋?武漢期末）個(gè)體戶小陳新進(jìn)一種時(shí)令水果，成本為20元，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來40天內(nèi)的日銷售量與時(shí)間（天的關(guān)系如表：時(shí)間（天1351036日銷售量9490867624未來40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格（元與時(shí)間（天的函數(shù)關(guān)系式為且為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格（元與時(shí)間（天的函數(shù)關(guān)系式為且為整數(shù)）．（1）直接寫出與時(shí)間（天之間的關(guān)系式；（2）請(qǐng)預(yù)測(cè)未來40天中哪一天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少？（3）在實(shí)際銷售的前20天中，個(gè)體戶小陳決定每銷售水果就捐贈(zèng)元利潤(rùn)且為整數(shù)）給貧困戶，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間（天的增大而增大，求前20天中個(gè)體戶小陳共捐贈(zèng)給貧困戶多少錢？15．（2021?青島）科研人員為了研究彈射器的某項(xiàng)性能，利用無人機(jī)測(cè)量小鋼球豎直向上運(yùn)動(dòng)的相關(guān)數(shù)據(jù)．無人機(jī)上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時(shí)，在地面用彈射器（高度不計(jì)）豎直向上彈射一個(gè)小鋼球（忽略空氣阻力），在1秒時(shí)，它們距離地面都是35米，在6秒時(shí)，它們距離地面的高度也相同．其中無人機(jī)離地面高度（米與小鋼球運(yùn)動(dòng)時(shí)間（秒之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示；小鋼球離地面高度（米與它的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（秒之間的函數(shù)關(guān)系如圖中拋物線所示．（1）直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時(shí)，小鋼球和無人機(jī)的高度差最大是多少米？16．（2021?廣西模擬）新冠疫情期間，某網(wǎng)店銷售的消毒用紫外線燈很暢銷，該網(wǎng)店店主結(jié)合店鋪數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，日銷量（件是售價(jià)（元件）的一次函數(shù)，其售價(jià)、日銷售量、日銷售純利潤(rùn)（元的四組對(duì)應(yīng)值如表：售價(jià)（元件）150160170180日銷售量（件200180160140日銷售純利潤(rùn)（元8000880092009200另外，該網(wǎng)店每日的固定成本折算下來為2000元．注：日銷售純利潤(rùn)日銷售量（售價(jià)進(jìn)價(jià)）每日固定成本（1）①求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；②該商品進(jìn)價(jià)是元件，當(dāng)售價(jià)是元件時(shí)，日銷售純利潤(rùn)最大，最大純利潤(rùn)是元．由于疫情期間，每件紫外線燈的進(jìn)價(jià)提高了元，且每日固定成本增加了100元，但該店主為響應(yīng)政府號(hào)召，落實(shí)防疫用品限價(jià)規(guī)定，按售價(jià)不高于170元件銷售，若此時(shí)的日銷售純利潤(rùn)最高為7500元，求的值．17．（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，某矩形花園一邊靠墻，墻長(zhǎng)，另外三邊用長(zhǎng)為的籬笆圍成，其中一邊開有一扇寬為的門（不包括籬笆）．設(shè)矩形花園垂直于墻的一邊長(zhǎng)為，面積為．（1）的長(zhǎng)為（用含的代數(shù)式表示）．（2）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．（3）求花園面積的最大值．18．小明大學(xué)畢業(yè)后積極響應(yīng)政府號(hào)召回鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，準(zhǔn)備經(jīng)營(yíng)水果生意，他在批發(fā)市場(chǎng)了解到某種水果的批發(fā)單價(jià)與批發(fā)量有如下關(guān)系：批發(fā)量批發(fā)單價(jià)（元65（1）寫出批發(fā)該種水果的資金金額（元與批發(fā)量