2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【整體思想】解方程中的整體思想（原卷版）

解方程中的整體思想知識方法精講1．整體思想從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運用。

用整體思想解方程，就是先考慮方程中的某一個代數(shù)式整體去代入，然后再解出方程中的未知數(shù)的值就可以。2．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項在乘括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號．（3）在解類似于“ax+bx＝c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時，要準(zhǔn)確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時；二要準(zhǔn)確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負(fù)．3．二元一次方程的解（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意給出一個未知數(shù)的值，總能求出另一個未知數(shù)的一個唯一確定的值，所以二元一次方程有無數(shù)解．（3）在求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應(yīng)值．4．二元一次方程組的解（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．5．解二元一次方程組（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．②將變形后的關(guān)系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值．④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示．6．二元一次方程組的應(yīng)用（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．7．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．8．換元法解一元二次方程1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．9．分式方程的解求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．10．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．一．選擇題（共3小題）1．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中）關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，則的值是A．2 B． C． D．32．（2020秋?岳西縣期末）若方程組的解為，則方程組的解為A． B． C． D．3．（2021?越秀區(qū)校級一模）關(guān)于，的方程組（其中，是常數(shù)）的解為，則方程組的解為A． B． C． D．二．填空題（共5小題）4．（2021秋?黃驊市期末）已知x，y滿足（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0．（1）x﹣y的值為；（2）若x2+y2＝6，則xy的值為．5．（2021秋?蕪湖期末）觀察下列方程：①；②；③，可以發(fā)現(xiàn)它們的解分別是①或2；②或3；③或4．利用上述材料所反映出來的規(guī)律，可知關(guān)于的方程為正整數(shù)）的解．6．（2021春?常熟市期中）在解決以下問題：“已知關(guān)于，的方程組的解是，求關(guān)于，的方程組的解”的過程中，甲、乙兩位同學(xué)分別提出了各自的想法．甲說：“兩個方程組外表很相似，且它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試．”乙說：”能不能把第二個方程組中的兩個方程利用等式性質(zhì)加以變形，再利用整體思想通過換元的方法來解決．”參考他們倆的討論內(nèi)容，你認(rèn)為該方程組的解是，．7．（2021秋?花都區(qū)期末）已知是一元二次方程的一個解，則的值是．8．（2020秋?自貢期末）關(guān)于的方程的兩個解為，；的兩個解為，，則關(guān)于的方程的兩個解為．三．解答題（共11小題）9．（2021春?婁底期中）已知關(guān)于、的二元一次方程組的解是，求關(guān)于、的二元一次方程組的解．10．（2021秋?昌江區(qū)校級期中）解方程組：（1）；（2）；（3），求的值．11．（2021春?濟(jì)源期末）題目：滿足方程組的與的值的和是2，求的值．按照常規(guī)方法，順著題目思路解關(guān)于、的二元一次方程組，分別求出、的值（含有字母，再由，構(gòu)造關(guān)于的方程求解，從而得出值．（1）某數(shù)學(xué)興趣小組對本題的解法又進(jìn)行了探究，利用整體思想，對于方程組中每個方程變形得到“”這個整體，或者對方程組的兩個方程進(jìn)行加減變形，得到“”整體值，從而求出值．請你運用這種整體思想的方法，完成題目的解答過程．（2）小勇同學(xué)的解答是：觀察方程①，令，．解得：，又，．．把，代入方程②，得．所以的值為或．請診斷分析并評價“小勇同學(xué)的解答”．12．（2021春?福州期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：即③，把方程①代入③得：，，把代入①得，方程組的解為．請你解決以下問題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組；（2）已知，滿足方程組，求與的值；（3）在（2）的條件下，寫出這個方程組的所有整數(shù)解．13．（2019秋?吉州區(qū)期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：，即③把方程①代入③得：，，所以代入①得，方程組的解為，請你解決以下問題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組，（2）已知，滿足方程組，求的值和的值．14．善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：，即，③把方程①代入③，得．．把代入①，得．原方程組的解為．請你解決以下問題：（1）模仿小軍的“整體代換法”解方程組：（2）已知，滿足方程組，求的值．15．（2021春?饒平縣校級期末）已知方程組由于甲看錯了方程①中的得到方程組的解為；乙看錯了方程②中的得到方程組的解為，若按正確的，計算，請你求原方程組的解．16．（2020春?南關(guān)區(qū)月考）感知：解方程組，下列給出的兩種方法中，方法簡單的是．（A）由①，得，代入②，先消去，求出，再代入求解．（B）將①代入②，得，解得，再代入求解．探究：解方程組．應(yīng)用：若關(guān)于，的二元一次方程組的解中的是正數(shù)，則的取值范圍為．17．（2021春?江都區(qū)校級期中）閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值．如以下問題：已知實數(shù)、滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得、的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算量比較大．其實，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①②可得，由①②可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：（1）已知二元一次方程組，則，；（2）對于實數(shù)、，定義新運算：，其中、、是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，求的值．18．（2021秋?長豐縣月考）已知關(guān)于，的二元一次方程組．（1）當(dāng)方程組的解為