合肥市第六中學(xué)2024屆高三4月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

合肥市第六中學(xué)2024屆高三4月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C． D．22．中國古典樂器一般按“八音”分類．這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法，最先見于《周禮·春官·大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器．現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為（）A． B． C． D．3．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列通項公式為，則該數(shù)列是等差數(shù)列；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則；③在中，“”是“”的必要不充分條件；④若，則的最大值為2.A．1 B．2 C．3 D．04．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且，則（）A． B．C． D．6．已知，是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于兩點.若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．7．已知點，是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點，且在點處的切線與直線AB平行，則()A．，b為任意非零實數(shù) B．，a為任意非零實數(shù)C．a(chǎn)、b均為任意實數(shù) D．不存在滿足條件的實數(shù)a，b8．若，，，則（）A． B．C． D．9．若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．410．已知函數(shù)，，若，對任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個使，則的最大值為（）A． B． C． D．11．盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎，現(xiàn)甲從盒中隨機取出2張，則至少有一張有獎的概率為()A． B． C． D．12．集合，，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，滿足.則不等式的解集為________.14．關(guān)于函數(shù)有下列四個命題：①函數(shù)在上是增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱；③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線；④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.（寫出所有正確命題的序號）15．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，滿足，．，若是等比數(shù)列，數(shù)列的通項公式_______．16．已知為雙曲線的左、右焦點，過點作直線與圓相切于點，且與雙曲線的右支相交于點，若是上的一個靠近點的三等分點，且，則四邊形的面積為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知兩數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值點；（2）當(dāng)時，若恒成立，求的最大值．18．（12分）數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.19．（12分）如圖，在四棱柱中，底面為菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若，是等邊三角形，求二面角的余弦值.20．（12分）2019年春節(jié)期間，某超市準備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動，超市設(shè)計了兩種抽獎方案.方案一：一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案二：一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；（2）若某顧客獲得抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；②為了吸引顧客消費，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動？21．（12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點,且點的縱坐標(biāo)是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標(biāo)為,求的值．22．（10分）已知橢圓的上頂點為，圓與軸的正半軸交于點，與有且僅有兩個交點且都在軸上，（為坐標(biāo)原點）.（1）求橢圓的方程；（2）已知點，不過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與直線的斜率互為相反數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點M和點N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點處，根據(jù)平面上兩點間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.2、B【解析】

分別求得所有基本事件個數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法；“兩音”中含有打擊樂器的取法共有種取法；所求概率.故選：.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù).3、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，線面關(guān)系，余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列的通項公式為，可得為一次項系數(shù)），則該數(shù)列是等差數(shù)列，故①正確；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則與可以相交或平行，故②錯誤；③在中，，而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要條件，故③錯誤；④若，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故④正確；綜上可得正確的有①④共2個；故選：B【點睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．4、B【解析】

求出復(fù)數(shù)，得出其對應(yīng)點的坐標(biāo)，確定所在象限．【詳解】由題意,對應(yīng)點坐標(biāo)為，在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

畫出圖形，以為基底將向量進行分解后可得結(jié)果．【詳解】畫出圖形，如下圖．選取為基底，則，∴．故選C．【點睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題（1）只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無窮多組，在解決具體問題時，合理選擇基底會給解題帶來方便．（2）利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數(shù)乘運算．6、D【解析】

如圖所示，設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列，其公差為.根據(jù)橢圓定義得，又，則，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故選D．7、A【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得，為任意非零實數(shù).【詳解】依題意，在點處的切線與直線AB平行，即有，所以，由于對任意上式都成立，可得，為非零實數(shù).故選：A【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用，求切線的斜率，考查兩點的斜率公式，以及化簡運算能力，屬于中檔題．8、C【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個數(shù)與和的大小關(guān)系，進而可得出、、三個數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，即；指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則；指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則.綜上所述，.故選：C.【點睛】本題考查指數(shù)冪與對數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來比較，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

計算，由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復(fù)數(shù)概念得：，.故選：C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，共軛復(fù)數(shù)的概念.10、C【解析】

根據(jù)的零點和最值點列方程組，求得的表達式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個最大值，求得的取值范圍，求得對應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對的取值進行驗證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當(dāng)時，，此時取可使成立，當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，都成立，舍去；②當(dāng)時，，此時取可使成立，當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，都成立，舍去；③當(dāng)時，，此時取可使成立，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，成立；綜上所得的最大值為．故選:C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11、C【解析】

先計算出總的基本事件的個數(shù)，再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率，求出兩張都沒有獎的概率，由對立事件的概率關(guān)系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張，共有種情況，2張均沒有獎的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

解一元二次不等式化簡集合A，再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B，求交集運算即可.【詳解】由可得，所以，由可得,所以,所以，故選A．【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】設(shè)，則，設(shè)，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)在處取得極小值，也是最小值，即，，，，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，，則不等式等價于，又，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.【點睛】本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．14、①②③【解析】

由單調(diào)性、對稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進行判斷．【詳解】函數(shù)的定義域是，由于，在上遞增，∴函數(shù)在上是遞增，①正確；，∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，②正確；，時取等號，∴③正確；，設(shè)，則，顯然是即的極小值點，④錯誤．故答案為：①②③.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值，解題時按照相關(guān)概念判斷即可，屬于中檔題．15、【解析】

利用遞推關(guān)系，等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為是等比數(shù)列，所以數(shù)列的公比為1．又，所以當(dāng)時，有．這說明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列，所以，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項公式，屬于簡單題目.16、60【解析】

根據(jù)題中給的信息與雙曲線的定義可求得與,再在中,由余弦定理求解得,繼而得到各邊的長度,再根據(jù)計算求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)雙曲線的半焦距為.因為,,,所以由勾股定理,得.所以.因為是上一個靠近點的三等分點,是的中點,所以.由雙曲線的定義可知：,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.則.則,得.則的底邊上的高為.所以.故答案為：60【點睛】本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長度與面積的方法,需要根據(jù)雙曲線的定義表示各邊的長度,再在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量的關(guān)系.屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）唯一的極大值點1，無極小值點．（2）1【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求得的解，確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負，確定極值點；（2）問題可變形為恒成立，由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，時，無最小值，因此只有，從而得出的不等關(guān)系，得出所求最大值．【詳解】解：（1）定義域為，當(dāng)時，，令得，當(dāng)所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一的極大值點，無極小值點．（2）當(dāng)時，．若恒成立，則恒成立，所以恒成立，令，則，由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以，所以，故的最大值為1．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，研究不等式恒成立問題．在求極值時，由確定的不一定是極值點，還需滿足在兩側(cè)的符號相反．不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用．18、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）利用，推出，然后利用等差數(shù)列的通項公式，即可求解；（2）由（1）知，利用裂項法，即可求解數(shù)列的前n項和.【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足且可得，即，所以數(shù)列是公差，首項的等差數(shù)列，故，所以.（2）由（1）知，所以數(shù)列的前n項和：==【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及“裂項法”求解數(shù)列的前n項和，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項公式，合理利用“裂項法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可知，只需證明平面即可．由為菱形可得，連接和與的交點，由等腰三角形性質(zhì)可得，即能證得平面；（2）由題意知，平面，可建立空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，再分別求出平面的法向量，平面的法向量，即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值．【詳解】（1）如圖，設(shè)與相交于點，連接，又為菱形，故，為的中點.又，故.又平面，平面，且，故平面，又平面，所以平面平面.（2）由是等邊三角形，可得，故平面，所以，，兩兩垂直.如圖以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，則，，，，，，設(shè)為平面的法向量，則即可取，設(shè)為平面的法向量，則即可取，所以.所以二面角的余弦值為0.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的應(yīng)用，以及利用向量法求二面角，意在考查學(xué)生的直觀想象能力，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)(2)①②第一種抽獎方案.【解析】

(1)方案一中每一次摸到紅球的概率為，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金劵的概率為，根據(jù)相互獨立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金劵的概率(2)①分別計算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計算即可，方案二根據(jù)二項分布計算期望即可②根據(jù)①得出結(jié)論.【詳解】（1）選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為設(shè)“每位顧客獲得180元返金劵”為事件A，則所以兩位顧客均獲得180元返金劵的概率（2）①若選擇抽獎方案一，則每一次摸到紅球的概率為，每一次摸到白球