《高等數(shù)學(xué)》課件第3章

第3章微分中值定理及其應(yīng)用

3.1微分中值定理3.2洛必達(dá)法則3.3函數(shù)的單調(diào)性與極值*3.4曲率3.5函數(shù)圖形的描繪本章小結(jié)

3.1微分中值定理

3.1.1羅爾定理

定理3-1(羅爾(Rolle)定理)如果函數(shù)f(x)滿足條件：

(1)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

(2)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)；

(3)

f(a)=f(b)則在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)=0.羅爾定理的幾何意義如下：在圖3-1中，函數(shù)y=f(x)表示了(a，b)內(nèi)一條光滑連續(xù)的曲線，且曲線兩端點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等，即f(a)=f(b)，那么在曲線上至少存在一點(diǎn)ξ，使得曲線在該點(diǎn)處的切線平行于x軸，即f′(ξ)=0.證明由于f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可得:f(x)在［a，b］上一定取得最大值M和最小值m.有兩種可能的情形：

(1)M=m.此時(shí)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上恒為常數(shù)，則在(a，b)內(nèi)處處有f′(x)=0.

(2)M>m.因?yàn)閒(a)=f(b)，所以M和m中至少有一個(gè)不能在區(qū)間的端點(diǎn)取得.不妨設(shè)M≠f(a)，即最大值不在端點(diǎn)處取得，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=M.下面證明f′(ξ)=0.因?yàn)閒(ξ)=M是函數(shù)f(x)在[a，b]內(nèi)的最大值，所以總有f(ξ+Δx)－f(ξ)≤0當(dāng)Δx>0時(shí)，有又因?yàn)閒(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，所以f(x)在ξ點(diǎn)可導(dǎo)，即f′(ξ)存在.由極限的局部保號(hào)性可得同理，當(dāng)Δx<0時(shí)，有于是故f′(ξ)=0

例3-1驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間[0，4]上滿足羅爾定理的條件，并求出羅爾定理中的ξ值.解顯然，函數(shù)在閉區(qū)間［0，4］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(0，4)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(4)=0.又由于令f′(x)=0，解得，.故取，則有f′(ξ)=0.3.1.2拉格朗日中值定理定理3-2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)如果函數(shù)f(x)滿足條件：

(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

(2)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得(3-1)

或f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a)(3-2)顯然，拉格朗日中值定理的幾何意義如下：在圖3-2中，函數(shù)y=f(x)表示了(a，b)內(nèi)一條光滑連續(xù)的曲線，則在曲線上至少存在一點(diǎn)ξ，使得曲線在該點(diǎn)處的切線斜率與直線AB的斜率相等.圖3-2

注:當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)，拉格朗日中值定理就變成了羅爾定理，即羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.在式(3-2)中，若令x=a，Δx=b－a，則式(3-2)又可以變?yōu)閒(x+Δx)－f(x)=f′(ξ)Δx

(3-3)

其中，ξ介于x和x+Δx之間.拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理，建立了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的改變量和函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，從而使我們有可能利用導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)在區(qū)間上的性態(tài).由于x1、x2是(a，b)內(nèi)的任意兩點(diǎn)，因此在(a，b)內(nèi)f(x)是常函數(shù).

推論3-2如果函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等，即f′(x)=g′(x)，那么f(x)和g(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只相差一個(gè)常數(shù).證明略.例3-2求證：在(－∞，+∞)內(nèi)，恒成立.

證明令f(x)=arctanx+arccotx，則有故由推論3-1可得，f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)是一個(gè)常函數(shù)，即arctanx+arccotx=C

其中C為常數(shù).取x=1，可得因此，在(－∞，+∞)內(nèi)，等式恒成立.

例3-3求證:當(dāng)時(shí)，不等式成立.

證明設(shè)，因?yàn)閒(x)為初等函數(shù)，所以其在閉區(qū)間［0，x］上連續(xù)；又f′(x)=sec2x－1+x2=tan2x+x2

故f(x)在開(kāi)區(qū)間(0，x)內(nèi)可導(dǎo).f(x)在閉區(qū)間［0，x］上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，所以，至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，x)，使得f(x)－f(0)=f′(ξ)(x－0)由于f′(ξ)=tan2ξ+ξ2

已知x>0，從而有ξ>0，f′(ξ)=tan2ξ+ξ2>0，且f(0)=0，于是f(x)>0即因此，當(dāng)時(shí)，不等式成立.3.1.3柯西定理

定理3-3(柯西(Cauchy)定理)如果函數(shù)f(x)與g(x)都在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且g′(x)≠0，則在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得注:(1)在該定理中，將x看成參數(shù)，則可將Y=f(x)、X=g(x)(a≤x≤b)看成一條曲線的參數(shù)方程表達(dá)式.這時(shí)，就表示了連接曲線端點(diǎn)A(g(a)，f(a))、B(g(b)，f(b))的直線的斜率，而f′(ξ)/g′(ξ)則表示了該曲線上某一點(diǎn)C(g(ξ)，f(ξ))處的切線斜率.

(2)在式(3-4)中，如果令g(x)=x，那么柯西定理就變成了拉格朗日中值定理，故拉格朗日中值定理是柯西定理的特殊情況.3.2洛必達(dá)法則

3.2.1“”和“”基本未定式

定理3-4(洛必達(dá)法則一)如果函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件：

(1)，；

(2)f(x)與g(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)(點(diǎn)x0可除外)可導(dǎo)，且g′(x)≠0；

(3)

則有定理3-5(洛必達(dá)法則二)如果函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件：

(1)，；

(2)

f(x)與g(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)(點(diǎn)x0可除外)可導(dǎo)，且g′(x)≠0；

(3)則有

注:(1)對(duì)于洛必達(dá)法則一和法則二，把x→x0改為x→∞，該法則仍然成立；

(2)如果應(yīng)用洛必達(dá)法則后，仍得到未定式“”型或“”型，當(dāng)其滿足定理?xiàng)l件時(shí)，可重復(fù)使用該法則.例3-4

求.解當(dāng)x→0時(shí)，有ex－1→0，這是“”型未定式，于是

例3-5求.解當(dāng)x→0時(shí)，有1－cosx→0，x2→0，這是“”型未定式，于是例3-6求.解當(dāng)x→+∞時(shí)，有l(wèi)n3x→+∞，這是“”型未定式，于是注:該題中使用一次洛必達(dá)法則后仍滿足法則的條件，故可重復(fù)使用.例3-7求.解當(dāng)x→0+時(shí)，有l(wèi)ncotx→∞和lnx→∞，這是“”型未定式，于是3.2.2其他未定式

除了求“”型或“”型基本未定式的極限外，洛必達(dá)法則還可以用來(lái)求“0·∞”，“∞－∞”、“00”、“∞0”、“1∞”型等其他未定式的極限，但需先將它們轉(zhuǎn)換為基本未定式“”型或“”型，再使用洛必達(dá)法則計(jì)算.例3-8求.

解這是“0·∞”未定式，于是例3-9求.解這是“∞-∞”型未定式，于是例3-10求.解這是“∞0”型未定式，于是又所以還須說(shuō)明，洛必達(dá)法則有時(shí)會(huì)失效，但所求極限卻不一定不存在.例如:

這時(shí)，不滿足洛必達(dá)法則條件(3)，所以不能使用該法則.但是3.3函數(shù)的單調(diào)性與極值

3.3.1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，單調(diào)函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位，如單調(diào)函數(shù)才有反函數(shù).利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷其單調(diào)性往往是比較復(fù)雜的，下面將討論函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系，從而提供一種判斷函數(shù)單調(diào)性的新方法.從下面幾何圖形不難看出，圖3-3中的曲線沿x軸正向是上升的，其上每一點(diǎn)的切線與x軸正向的夾角都是銳角，因而切線的斜率都大于零，即曲線上各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于零；相反地，圖3-4中曲線沿x軸正向是下降的，其上每一點(diǎn)的切線與x軸正向的夾角都是鈍角，因而切線的斜率都小于零，即曲線上各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都小于零.圖3-3圖3-4由此可見(jiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有著密切的關(guān)系，反之，能否利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？一般的，有如下判定定理：

定理3-6設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則有

(1)如果在(a，b)內(nèi)，f′(x)>0，那么函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上嚴(yán)格單調(diào)增加；

(2)如果在(a，b)內(nèi)，f′(x)<0，那么函數(shù)f(x)閉區(qū)間［a，b］上嚴(yán)格單調(diào)減少.

證明設(shè)x1、x2為閉區(qū)間［a，b］上任意兩點(diǎn)，且x1<x2.因?yàn)閒(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，所以其在閉區(qū)間［x1，x2］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(x1，x2)內(nèi)可導(dǎo)，滿足微分中值定理?xiàng)l件，有

f(x2)－f(x1)=f′(ξ)·(x2－x1)(x1<ξ<x2)又x2－x1>0，故

(1)如果f′(x)>0，則f′(ξ)>0，從而有f(x2)－f(x1)>0，故證f(x)在閉區(qū)間［a，b］上嚴(yán)格單調(diào)增加；

(2)如果f′(x)<0，則f′(ξ)<0，從而有f(x2)－f(x1)<0，故證f(x)在閉區(qū)間［a，b］上嚴(yán)格單調(diào)減少.注:(1)該定理中的連續(xù)區(qū)間可改為開(kāi)區(qū)間或半閉半開(kāi)區(qū)間，結(jié)論也相應(yīng)成立.

(2)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的個(gè)別點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，在其余點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)同號(hào)，那么不影響函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.如:y=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)等于零，而在其余點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于零，故它在(－∞，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

(3)有的函數(shù)在整個(gè)定義域上并不具有單調(diào)性，但在其各個(gè)子區(qū)間上卻具有單調(diào)性.如：y=x2在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，并且分界點(diǎn)x=0處有f′(0)=0(通常把導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)).因此，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般分三步：①求一階導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求分界點(diǎn).即求使一階導(dǎo)數(shù)f′(x)=0的駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；③用定理3-6判斷各子區(qū)間上的單調(diào)性.

例3-11求函數(shù)f(x)=x4－2x2+3的單調(diào)區(qū)間.解因?yàn)閒′(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x+1)所以令f′(x)=0，得x1=－1，x2=0，x3=1.

顯然，這些點(diǎn)將區(qū)間(－∞，+∞)劃分為四個(gè)子區(qū)間，列表討論如表3-1所示.表3-1

從表3-1中可得，f(x)在區(qū)間(－∞，－1)和(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減；在區(qū)間(－1，0)和(1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.例3-12求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，+∞)，.

當(dāng)x=±2時(shí)，f′(x)=0；當(dāng)x=0時(shí)，f′(x)不存在.

顯然，這些點(diǎn)將區(qū)間(－∞，+∞)劃分為四個(gè)子區(qū)間，列表討論如表3-2所示.表3-2

從表3-2中可得，f(x)在區(qū)間(－∞，－2)和(2，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(－2，0)和(0，2)內(nèi)單調(diào)遞減.例3-13求證:當(dāng)x>0時(shí)，ex>x.

證明設(shè)f(x)=ex－x，顯然，f(x)在［0，+∞)上連續(xù).由于f′(x)=ex－1，因此，當(dāng)x>0時(shí)，有f′(x)>0，從而有f(x)在［0，+∞)上單調(diào)遞增，又f(0)=0，故當(dāng)x>0時(shí)，有ex－x>0，即ex>x.3.3.2函數(shù)的極值定義3-1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)(x≠x0)，恒有

(1)f(x)<f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，并稱x0為極大值點(diǎn)；

(2)f(x)>f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，并稱x0為極小值點(diǎn).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值；極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).注:(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念，是相對(duì)于極值點(diǎn)x0的某一鄰域而言的；而最值是一個(gè)整體概念，是針對(duì)整個(gè)區(qū)間而言.

(2)函數(shù)的極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得；而最值不僅可以在區(qū)間內(nèi)部取得，還可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.

(3)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極值，并且極大值不一定大于極小值，如圖3-5中極小值f(x4)就大于極大值f(x1)；而最值如果存在，那么有且只有一個(gè).圖3-5從圖3-5中可以看出，可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的切線一定是水平方向的，但是有水平切線的點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)，如圖中的x5點(diǎn).

定理3-7(極值存在的必要條件)如果函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則f′(x0)=0.證明略.由定理3-7可知，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)；反之，駐點(diǎn)卻不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，如圖3-5中x5點(diǎn).對(duì)于連續(xù)函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能取得極值，如圖3-5中x4點(diǎn).下面給出判斷極值的兩個(gè)充分條件.

定理3-8(極值判別法Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)(x0點(diǎn)可以不可導(dǎo))，當(dāng)x由左到右經(jīng)過(guò)x0點(diǎn)時(shí)，如果有

(1)f′(x)由正變負(fù)，那么x0點(diǎn)是極大值點(diǎn)；

(2)f′(x)由負(fù)變正，那么x0點(diǎn)是極小值點(diǎn)；

(3)f′(x)不變號(hào)，那么x0點(diǎn)不是極值點(diǎn).證明略.從定理3-8可知，求函數(shù)極值的一般步驟如下：

(1)求函數(shù)的定義域，并求導(dǎo)數(shù)f′(x).

(2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

(3)用上述這些點(diǎn)將定義域劃分為若干個(gè)子區(qū)間，列表考察各子區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)f′(x)的符號(hào)，再用定理3-8確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn).例3-14求函數(shù)f(x)=x－ex的極值.解

(1)定義域?yàn)?－∞，+∞)，一階導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1－ex.

(2)令f′(x)=0，解得駐點(diǎn)x=0.

(3)用駐點(diǎn)x=0，將定義域劃分為兩個(gè)子區(qū)間，如表3-3所示.表3-3

由此可知，函數(shù)極大值為f(0)=－1.例3-15求函數(shù)的極值.解

(1)定義域?yàn)镈=(－∞，+∞)，一階導(dǎo)數(shù)為

(2)令f′(x)=0，解得駐點(diǎn)x1=2；又當(dāng)x2=1時(shí)，f′(x)不存在.

(3)用點(diǎn)x1=2、x2=1將定義域劃分為三個(gè)小區(qū)間，如表3-4所示.表3-4

由此可得，極大值，極小值.

定理3-9(極值判別法Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f′(x0)=0，f″(x0)≠0，則有

(1)若f″(x0)<0，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值；

(2)若f″(x0)>0，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極小值.

例3-16求函數(shù)f(x)=x3－4x2+4x的極值.解①定義域?yàn)镈=(－∞，+∞)，一階導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2－8x+4=(x－2)(3x－2)②令f′(x)=0，解得駐點(diǎn)x1=2，.③又因?yàn)閒″(x)=6x－8，所以有f″(2)=4>0，.

故函數(shù)有極大值，極小值f(2)=0.3.3.3函數(shù)的最值在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)管理等活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到：在一定的條件下，如何才能做到“用料最省”、“成本最低”、“利潤(rùn)最大”、“耗時(shí)最少”等問(wèn)題，這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上都可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值、最小值問(wèn)題.由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定有最大值和最小值.由極值和最值之間的關(guān)系不難看出，函數(shù)在閉區(qū)間［a，b］上的最大值和最小值只能在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)處取得.因此，閉區(qū)間［a，b］上函數(shù)的最大值和最小值可按如下方法求得：

(1)求出函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的所有可能極值點(diǎn)(駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn))；

(2)求出所有可能極值點(diǎn)的函數(shù)值以及端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)和f(b)；

(3)比較所求出的所有函數(shù)值的大小，其中最大的就是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上的最大值，最小的就是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上的最小值.

例3-17求函數(shù)f(x)=x2+x在［－1，3］上的最大值和最小值.

解因?yàn)閒′(x)=2x+1，令f′(x)=0，解得駐點(diǎn).又，而端點(diǎn)值f(－1)=0，f(3)=12.所以，函數(shù)f(x)在［－1，3］上的最大值為f(3)=12，最小值為

.在實(shí)際問(wèn)題中，往往可以根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)斷定函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)部一定有最大值或最小值.可以證明，如果函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)部存在著最大值或最小值，且f(x)在該區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)可能極值點(diǎn)，那么，可以斷定f(x)在該點(diǎn)取得相應(yīng)的最大值或最小值.例3-18將邊長(zhǎng)為3m的正方形鐵皮，從四角各截取一個(gè)大小相等的小正方形，然后向上折起各邊制成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵盒.問(wèn)所截取的小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)，長(zhǎng)方體鐵盒的容積最大？解如圖3-6所示，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x(m)，則盒底的邊長(zhǎng)為3－2x(m)，于是，鐵盒容積為V(x)=(3－2x)2x

(0<x<1.5)又V′(x)=(3－2x)2－4x(3－2x)=3(1－2x)(3－2x)令V′(x)=0，解得駐點(diǎn):x1=0.5，x2=1.5(舍去).因?yàn)閂″(x)=24x－24，所以V″|x=0.5=－12<0，可得x1=0.5是極大值點(diǎn).由于V在區(qū)間(0，1.5)內(nèi)有唯一的極大值，因此該值一定是最大值.于是，當(dāng)小正方形的邊長(zhǎng)為x1=0.5m時(shí)，長(zhǎng)方體鐵盒的容積最大.圖3-6例3-19已知某個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)成本函數(shù)為C=q3－9q2+30q+25其中，C為成本(單位：千元)，q為產(chǎn)量(單位：噸).求平均可變成本y(單位：千元)的最小值.解依題意，平均可變成本為

于是，y′=2q－9，令y′=2q－9=0，得q=4.5t.

又因?yàn)閥″|q=4.5=2>0，所以q=4.5時(shí)，y取得極小值.由于該值是唯一的極小值，因此也是最小值.即當(dāng)產(chǎn)量q=4.5t時(shí)，平均可變成本y取得最小值y=9.75千元.*3.4曲率

3.4.1曲率的概念怎樣用數(shù)量來(lái)刻畫(huà)曲線的彎曲程度呢？它與切線的轉(zhuǎn)角Δα有關(guān)，Δα越大，曲線彎曲得越厲害.如圖3-8所示.弧和弧的長(zhǎng)度一樣，但它們各自曲線弧上的切線的變化卻不同.對(duì)于弧，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線從點(diǎn)A變化到點(diǎn)B時(shí)，切線的轉(zhuǎn)角為Δα1.對(duì)于弧，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線從點(diǎn)B變化到點(diǎn)C時(shí)，切線的轉(zhuǎn)角為Δα2.很明顯，Δα2>Δα1，這一結(jié)果表明，曲線弧比曲線弧彎曲得厲害.此外，曲線的彎曲程度還與轉(zhuǎn)角所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)有關(guān)，如圖3-9所示.弧與弧它們的切線轉(zhuǎn)角均為Δα，但明顯較短弧比較長(zhǎng)弧彎曲得厲害.從以上分析不難看出，曲線的彎曲程度不僅與切線的轉(zhuǎn)角Δα有關(guān)，而且與曲線段的弧長(zhǎng)Δs有關(guān)，因此用單位弧長(zhǎng)上切線的轉(zhuǎn)角來(lái)衡量曲線的彎曲程度較為合理.圖3-8

如圖3-10所示，設(shè)A、B是曲線y=f(x)上的兩個(gè)點(diǎn)，曲線在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線與x軸的夾角分別為α和α+Δα，那么，當(dāng)點(diǎn)A沿曲線y=f(x)變化到點(diǎn)B時(shí)，切線的轉(zhuǎn)角為Δα，而改變這個(gè)角度所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng).于是，給出如下定義：定義3-2弧的切線轉(zhuǎn)角Δα與弧長(zhǎng)Δs之比的絕對(duì)值叫做弧的平均曲率，記作，即為了刻畫(huà)曲線在點(diǎn)A處的曲率，給出如下定義：

定義3-3稱為曲線在點(diǎn)A的曲率.顯然，直線上的任意點(diǎn)的曲率都等于零.例3-20求半徑為R的圓的平均曲率及曲率.解如圖3-11所示，圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角Δα就是弧的切線轉(zhuǎn)角.又弧長(zhǎng)Δs=RΔα，于是圓的平均曲率為圓上任意一點(diǎn)的曲率為圓上任意一點(diǎn)的曲率為該結(jié)論說(shuō)明，圓上任意一點(diǎn)的曲率都等于圓半徑的倒數(shù)，即彎曲程度處處相等，而且半徑越小，曲率越大，彎曲得越厲害.由于圓的半徑等于圓的曲率的倒數(shù)，因此，對(duì)于一般的曲線，我們把它在各點(diǎn)的曲率的倒數(shù)稱為它在該點(diǎn)的曲率半徑，記作R.因此，(如果k=0，那么說(shuō)曲率半徑為+∞).3.4.2弧長(zhǎng)的微分公式

設(shè)函數(shù)y=f(x)在某一區(qū)間內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在曲線y=f(x)上取定點(diǎn)作為計(jì)算弧長(zhǎng)度的起點(diǎn)，點(diǎn)M(x，y)為曲線f(x)上任意一點(diǎn)，把弧拉直后的長(zhǎng)度稱為弧的長(zhǎng)度，簡(jiǎn)稱弧長(zhǎng)，并且規(guī)定：

(1)以x增大的方向作為曲線的正方向，這樣曲線上的任一弧段都是有方向的，稱為有向弧段.

(2)記有向弧段的長(zhǎng)度為s，當(dāng)方向與曲線的正方向一致時(shí)，s>0；相反時(shí)s<0.顯然，弧長(zhǎng)s是x的函數(shù)，并且是一個(gè)單值增函數(shù)，記作s=s(x).下面，我們來(lái)求函數(shù)s=s(x)的微分.當(dāng)自變量x取得增量Δx時(shí)，函數(shù)y=f(x)亦有增量(見(jiàn)圖3-12)，為切線，切線上縱坐標(biāo)的改變量就是函數(shù)f(x)的微分，即.弧長(zhǎng)s=s(x)(注意不是y=f(x))的增量為從圖3-12中可以直觀地看到，切線上的線段和弧相差很小，它是Δx的高階無(wú)窮小量.又知

所以，根據(jù)微分的定義，弧長(zhǎng)s=s(x)的微分為\

這就是弧微分公式.或例3-21求函數(shù)y=x3的弧微分.解因?yàn)閥′=3x2，所以3.4.3曲率的計(jì)算公式用定義計(jì)算曲線的曲率往往比較困難，為此，我們將推導(dǎo)曲率的計(jì)算公式.設(shè)曲線y=f(x)在M點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù)，該點(diǎn)的切線斜率為y′=tanα，因而α=arctany′，對(duì)該式兩邊取微分可得又知，故由曲率概念可得這就是曲率計(jì)算公式.例3-22計(jì)算等邊雙曲線xy=1在點(diǎn)(1，1)處的曲率.解由，得

因此

將它們代入曲率公式，可得曲線xy=1在點(diǎn)(1，1)處的曲率為，，3.5函數(shù)圖形的描繪

3.5.1曲線的凹向與拐點(diǎn)

定義3-4如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，曲線始終位于其上各點(diǎn)的切線的上方，則稱曲線在區(qū)間(a，b)內(nèi)是上凹的；如果曲線始終位于其上每一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是下凹的.從圖3-13中不難看出，曲線段AB是下凹的，曲線段BC是上凹的.下面，不加證明地給出曲線凹向判定定理.圖3-13定理3-10設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，若

(1)在(a，b)內(nèi)恒有f″(x)>0，則曲線y=f(x)在(a，b)內(nèi)是上凹的；

(2)在(a，b)內(nèi)恒有f″(x)<0，則曲線y=f(x)在(a，b)內(nèi)是下凹的.

例3-23判斷曲線y=ex的凹向.解函數(shù)y=ex的定義域?yàn)?－∞，+∞)，且y′=ex，y″=ex

因此，在(－∞，+∞)內(nèi)恒有y″>0，故曲線y=ex在(－∞，+∞)內(nèi)是上凹的.例3-24判斷曲線y=3x4－4x3+1的凹向.解函數(shù)y=3x4－4x3+1的定義域?yàn)?－∞，+∞)，且y′=12x3－12x2

y″=36x2－24x=12x(3x－2)令y″=0，解得x1=0，.

列表討論如表3-5所示.

表3-5所以，曲線在內(nèi)是下凹的；在(－∞，0)和內(nèi)是上凹的.從表3-5中可以看出，點(diǎn)(0，1)和點(diǎn)是曲線上凹與下凹的分界點(diǎn).這種點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).定義3-5連續(xù)曲線上上凹與下凹的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).顯然，拐點(diǎn)是連續(xù)曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)，那么在拐點(diǎn)兩側(cè)的f″(x)必然異號(hào)，因此在拐點(diǎn)處必有f″(x)=0或f″(x)不存在.也就是說(shuō)，二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)都可能是曲線的拐點(diǎn).

例3-25求曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn).解函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，+∞)，且當(dāng)x=4時(shí)，y″不存在.列表討論如表3-6所示.故曲線在(－∞，4)內(nèi)是上凹的，在(4，+∞)內(nèi)是下凹的，拐點(diǎn)為(4，2).表3-63.5.2曲線的漸近線

在描繪函數(shù)的圖像時(shí)，有些函數(shù)的定義域(或值域)是無(wú)限區(qū)間，此時(shí)函數(shù)的圖像向無(wú)窮遠(yuǎn)處延伸，如中學(xué)學(xué)過(guò)的雙曲線、拋物線等.有些曲線在向無(wú)窮遠(yuǎn)處延伸時(shí)常常會(huì)接近某一條直線.這樣的直線叫做曲線的漸近線.定義3-6若曲線上的動(dòng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限遠(yuǎn)移時(shí)，該點(diǎn)與某條定直線的距離趨近于零，則稱這條定直線為曲線的漸近線.并非所有的曲線都有漸近線，下面分三種情況來(lái)研究曲線的漸近線.

(1)水平漸近線.如果曲線y=f(x)滿足，則稱直線y=A為曲線f(x)的水平漸近線.

(2)鉛直漸近線.如果曲線y=f(x)在點(diǎn)x0處間斷，且，則稱直線x=x0為曲線f(x)的鉛直漸近線.

(3)斜漸近線.如果曲線f(x)滿足：①；②則稱直線y=kx+b為曲線f(x)的斜漸近線.例3-26求曲線的水平漸近線和鉛直漸近線.

解因?yàn)?，所以y=0是曲線的水平漸近線.又因?yàn)閤=1是間斷點(diǎn)，且，所以x=1是曲線的鉛直漸近線，如圖3-14所示.圖3-14例3-27求曲線的漸近線.解因?yàn)?，所以無(wú)水平漸近線.又因?yàn)榍€在點(diǎn)x1=1、x2=－3處間斷，且所以直線x=1、x=－3均為曲線的鉛直漸近線.令由于

故得曲線的斜漸近線為y=x－2.，3.5.3函數(shù)圖形的描繪在工程實(shí)踐中經(jīng)常用圖形來(lái)表示函數(shù)，從而可以通過(guò)圖形直觀地看到函數(shù)的某些變化規(guī)律.利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹向與拐點(diǎn)、漸近線等特征，結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的描點(diǎn)作圖法，就可以準(zhǔn)確地描繪出函數(shù)的圖形.通常按以下幾個(gè)步驟來(lái)作函數(shù)的圖形：

(1)確定函數(shù)的定義域和值域；

(2)確定曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；

(3)判斷函數(shù)的奇偶性和周期性；

(4)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出極值；

(5)確定曲線的凹向區(qū)間和拐點(diǎn)；

(6)確定曲線的漸近線.例3-28描繪函數(shù)的圖形.解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，+∞).

(2)令y=0，即，化簡(jiǎn)得2x2－4x－4=0，解得，即曲線與x軸交于點(diǎn).

(3)無(wú)奇偶性和周期性.

(4)求一階導(dǎo):令y′=0，解得駐點(diǎn)x=－2.

(5)求二階導(dǎo):令y″=0，解得x=－3.(6)因?yàn)樗灾本€y=-2為水平漸近線；又，所以直線x=0為鉛直漸近線.

列表討論如表3-7所示.表3-7

根據(jù)上述特征描繪出函數(shù)圖形，見(jiàn)圖3-15.圖