河南省南陽市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024年秋期高中二年級(jí)期中質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.考生做題時(shí)將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效.2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚。4.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。5.保持卷面清潔，不折疊、不破損。一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.下列橢圓的形狀更接近于圓的是（）A. B. C. D.3.已知點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則a，b的值分別為（）A.1，3 B.， C.-2,0 D.，4.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且，則C的方程為（）A. B. C. D.5.雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，一條漸近線方程為，若點(diǎn)M在雙曲線C上，且，則（）A.7 B.1或9 C.9 D.3或76.橢圓上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.7.已知P為拋物線上的一點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值是（）A. B. C. D.8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的交點(diǎn)為P，若的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.以下四個(gè)命題為真命題的是（）A.若、、三點(diǎn)共線，則m的值為2B.直線的傾斜角的范圍是C.已知點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段相交，則直線的斜率k的取值范圍是D.直線與直線平行，則10.已知，直線：過定點(diǎn)A，：過定點(diǎn)B，與交于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.點(diǎn)M的軌跡方程是C.的最大值是25 D.的最大值為11.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的積等于3的點(diǎn)P的軌跡，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱 B.點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最大值為2C.周長(zhǎng)的最小值為 D.點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最大值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.13.已知，，，若平面內(nèi)滿足到直線：的距離為1的點(diǎn)P恰有3個(gè)，則________.14.已知P，Q分別在直線：與直線：上，且，點(diǎn)，，則的最小值為________.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15.（13分）已知拋物線C：，焦點(diǎn)為F.（1）求F的坐標(biāo)及拋物線C的準(zhǔn)線方程；（2）已知點(diǎn)P是拋物線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則當(dāng)P點(diǎn)在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求的最小值.16.（15分）已知點(diǎn)P是直線：與直線：的交點(diǎn).（1）求過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；（2）設(shè)Q為圓E：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)M的軌跡方程.17.（15分）已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，若C的焦距為且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18.（17分）已知雙曲線C：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，A，B分別是C的左、右頂點(diǎn)，P是C上異于A，B的一點(diǎn)，直線，的斜率之積為.（1）求雙曲線C的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線：，交C的左、右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.①求m的取值范圍；②若，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.19.（17分）通過研究，已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P.（1）已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo).（2）已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C.①求斜橢圓C的離心率；②過點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點(diǎn)M、N，過原點(diǎn)O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點(diǎn)G、H，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

2024年秋期高中二年級(jí)期中質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題參考答案一、單選題1-5.ADBBC6-8.ABD二、多選題9.BCD11.AB10.ABC三、填空題12.13.±514.四、解答題15.【解析】（1）將拋物線：化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.（2）由拋物線的定義知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離即為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，為點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離之和，要使得最小，則點(diǎn)P，A在一條垂直于準(zhǔn)線的直線上，故最小值即為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，所以，的最小值為3.16.【解析】聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（1）若直線的截距為0，即直線經(jīng)過原點(diǎn)，則直線方程為，即；若直線的截距不為0，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入，得，此時(shí)直線方程為，所以，過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為或.（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，由點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)可得，，解得，由于點(diǎn)在圓：上，所以，化簡(jiǎn)得，，所以點(diǎn)M的軌跡方程為.17.【解析】（1）由題意，，則①；又點(diǎn)在橢圓C上，故②，聯(lián)立①②解方程組得，，，所以橢圓C的方程為.（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得恒成立，易知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組得，，則由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，（*）若滿足，則，即，整理得，，又，，代入上式得，，整理得，，將（*）式代入得，，又，解得，故存在點(diǎn)使得恒成立.18.【解析】（1）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，漸近線方程為，即，根據(jù)題意，，雙曲線的方程為.設(shè)點(diǎn)，則，于是，由，得，，根據(jù)題意，，解得，所以雙曲線C的方程為.（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組得，，易知恒成立，由根與系數(shù)的關(guān)系，，.因?yàn)橹本€與雙曲線左右兩支相交，所以m需滿足，解得或.（ii）易知，，