數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究7柱、錐、臺和球的體積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一柱體的體積1．柱體(棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的積，即V柱體＝Sh．底面半徑是r，高是h的圓柱體的體積的計算公式是V圓柱＝πr2h．2．平行六面體的體積求解是比較常見的，因為平行六面體的六個面都是平行四邊形，故可以用任意一組平行的面作為底面，其余面作為側(cè)面．解題時，我們以解直棱柱的體積居多，故在平行六面體中選底面時，以構(gòu)成直棱柱為首選因素．【典型例題1】(1）如圖，某幾何體的主視圖是平行四邊形,左視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．解析：由三視圖知，該幾何體為平行六面體，由圖知高h(yuǎn)＝＝．底面積：S＝3×3＝9，所以其體積V＝．答案：B（2)用一塊長4m，寬2m的矩形鐵皮卷成一個圓柱形鐵筒，如何制作可使鐵筒的體積最大？解：①若以矩形的長為圓柱的母線l，則l＝4m，此時圓柱底面周長為2m,即圓柱底面半徑為R＝m，所以圓柱的體積為V＝πR2·l＝·4＝（m3)．②若以矩形的寬為圓柱的母線,同理可得V＝(m3）,所以第二種方法可使鐵筒體積最大．探究二錐體的體積求錐體的體積常見的方法：(1)公式法：直接代入公式求解．（2)等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．（3）補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱、三棱柱補(bǔ)成四棱柱等．(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．【典型例題2】圓錐底面半徑為3,母線長為5，則這個圓錐的體積為（）A．36πB．18πC．45πD．12π解析：V圓錐＝πr2·h,由于r＝3，h＝4(其軸截面如圖)，得V＝×π×9×4＝12π．答案：D探究三臺體的體積1．臺體體積公式適用于棱臺和圓臺．2．圓臺（棱臺）的高是指兩個底面之間的距離．3．柱體、錐體、臺體的體積關(guān)系如圖所示．【典型例題3】若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3解析：由三視圖可知該幾何體上部分為一長方體，下部分為正四棱臺．V＝4×4×2＋（42＋4×8＋82）×2＝（cm3）．答案:B探究四球的體積球的體積的計算常與其他幾何體結(jié)合，將球的性質(zhì)、簡單幾何體的性質(zhì)融合在一起考查．常見的有內(nèi)切和外接問題，求解與球有關(guān)的切接問題時要認(rèn)真分析題中已知條件，明確切點或接點的位置,正確作出截面圖,再分析相關(guān)量間的數(shù)量關(guān)系．【典型例題4】平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(）A．B．C．D．解析:利用截面圓的性質(zhì)先求得球的半徑長．如圖所示，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，則OO′＝,O′M＝1，所以O(shè)M＝＝，即球的半徑為．所以V＝＝．答案：B探究五易錯辨析易錯點：將幾何體誤認(rèn)為錐體而致誤【典型例題5】如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點,平面EB1C1F將三棱柱分成了AEF.A1B1C1和BB1E。CC1F兩部分，它們的體積分別為V1,V2，那么V1∶V2＝__________．錯解：由已知可知幾何體AEF-A1B1C1是三棱臺，幾何體BB1E。CC1F是四棱錐．設(shè)三棱柱的底面積為S，高為h,則由錐、臺的體積公式可得，V1＝＝,V2＝＝．所以V1∶V2＝∶＝7∶3．錯因分析:幾何體BB1E。CC1F不是一個規(guī)則的幾何體，而錯解中將其看成了錐體．正解：設(shè)三棱柱的高為h,