理學(xué)統(tǒng)計物理學(xué)基礎(chǔ)

1熱學(xué)：

研究熱現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué)熱現(xiàn)象：一切與溫度有關(guān)的現(xiàn)象（宏觀）

。大量微觀粒子無規(guī)則的運動（微觀）

。研究熱現(xiàn)象規(guī)律有兩種方法：熱力學(xué) 統(tǒng)計力學(xué)熱力學(xué)：以大量實驗為基礎(chǔ)研究宏觀熱現(xiàn)象規(guī)律。統(tǒng)計力學(xué)：從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)

，

以每一個微觀粒子遵循的力學(xué)規(guī)律為基礎(chǔ)

，

利用統(tǒng)計規(guī)律

來導(dǎo)出宏觀的熱學(xué)規(guī)律。220章

統(tǒng)計物理學(xué)基礎(chǔ)20-

1統(tǒng)計規(guī)律與概率理論20-2

溫度與壓強20-3

三種統(tǒng)計規(guī)律20-4

麥克斯韋—

玻爾茲曼統(tǒng)計在理想氣體中的應(yīng)用20-5能量按自由度均分定理理想氣體的內(nèi)能20-6

分子碰撞的統(tǒng)計規(guī)律20-1統(tǒng)計規(guī)律與概率理論1.統(tǒng)計規(guī)律.....---大量偶然事件整體所....遵從的規(guī)律。...●..加爾頓板實驗:...3...............................單個粒子運動---偶然事件

(落入那個槽)大量粒子運動---統(tǒng)計規(guī)

律(粒子在槽中的分布)........●..●...●..●●...●●...........●●..(2)是與單個粒子遵循的動力學(xué)規(guī)律有本質(zhì)區(qū)別的新規(guī)律。(3)與系統(tǒng)所處宏觀條件有關(guān)。(4)存在起伏（漲落）。2.概率的定義實驗總觀測次數(shù)N,其中出現(xiàn)結(jié)果A的次數(shù)NA,事件A出現(xiàn)的概率

單個粒子遵循牛頓定律。

大量粒子遵從統(tǒng)計規(guī)律---牛頓運動定律無法說明。統(tǒng)計規(guī)律特點:(1)對大量偶然事件有效,對少量事件不適用。不矛盾4 或J和K為相容事件（可同時出現(xiàn)）,則同時發(fā)生J和K的 ---概率乘法定理（2）A和B為互斥事件（不可能同時出現(xiàn)）,則出現(xiàn)A或B的總概率W=W4+wg---概率疊加原理歸一化條件:對所有可能發(fā)生的事件的概率之和必定為1。（1）0W1,W=0,為不可能事件,W=1,為必然事件。3.概率的基本性質(zhì)（

3）

概率5146容體A,B兩室中：（中間隔板打開）平衡態(tài)概率最大！斯特令公式lnΩ

＝

lnN!-lnx!-ln(N-x)!=NlnN-N-xlnx+x-(N-x)ln(N-x)+(N-x)=NlnN-xlnx-(N-x)ln(N-x)

lnx=ln(N-x)4.平衡態(tài)是概率最大的狀態(tài)a,b,c,d4個熱運動,可分辨6粒粒ABabc

abd

a

cd

bcdabc

abd

a

cd

bcdaba

cbc

cd

bd

adcdbd

ad

aba

cbc由41子,在等dcbadcbaabcdabcdA

B20-2溫度與壓強一、微觀量與宏觀量熱力學(xué)研究的對象:大量微觀粒子組成的宏觀體系。熱力學(xué)系統(tǒng)（系統(tǒng)）。統(tǒng)計物理的研究對象:大量微觀粒子組成的體系。宏觀量:描述系統(tǒng)整體特征和屬性的物理量。如:氣體的壓強（p）,體積（V）,溫度（T）等微觀量:描述系統(tǒng)中單個粒子特征的物理量。如:粒子的質(zhì)量（m），動量速度能量（E）等7的宏觀量具有穩(wěn)定值,統(tǒng)計物理認(rèn)為:平衡態(tài)下系統(tǒng)宏觀量是測量時間內(nèi),系統(tǒng)所有微觀狀態(tài)中相應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計平均值!熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡態(tài):在不受外界影響的條件下，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變的狀態(tài)。

A

B

系統(tǒng)處于平衡態(tài)時,系統(tǒng)子的微觀量在不斷變化。汽

水微觀量宏觀量動態(tài)平衡！二

、平衡態(tài)統(tǒng)計平均而單個粒89三

、理想氣體的壓強公式壓強由大量氣體分子不斷碰撞容器壁而產(chǎn)生

。它等于容器

壁單位時間單位面積上受到的平均沖量。建立理想氣體微觀模型(1)氣體分子看成質(zhì)點；(2)除碰撞外,忽略其它力；(3)完全彈性碰撞。利用牛頓運動定律處理單個粒子的運動利用統(tǒng)計規(guī)律處理大量粒子的運動理想氣體壓強推導(dǎo)中用到的統(tǒng)計概念和統(tǒng)計假設(shè):1.分子以各種方向入射角去碰S面的概率相同2.平衡狀態(tài)下分子沿任何方向的運動都不占優(yōu)勢，因而有4.分子相互碰撞導(dǎo)致分子與

S面碰撞的次數(shù)增加和減少

的機會是相同的；5.推導(dǎo)中不考慮分子間的相互碰撞。3.氣體分子相互碰撞時,一個分子失去多少動量必有另一個分子得到相同的動量；;

10x（2）在dt時間內(nèi),速度在區(qū)間內(nèi)的所有分子對器壁的沖量。在dt時間內(nèi),凡是在底面積為dS,高為vixdt的斜柱體內(nèi)的分子都能與dS相碰。這些分子作用于dS沖量為一個分子施于器壁的沖量2mvs

方向垂直dS面。的一個分子一次碰撞器壁dS面

后的動量變化為(1).速度在11（3）dt內(nèi)各種速度分子對dS的總沖量為:為分子的平均平動動能（4）

壓強其中由于12N=6.02×1023mol1

k玻耳茲曼常數(shù)13四

、理想氣體溫度公式m=NmM

=NAmiR=

8.31J.mol-1k-1n:氣體分子數(shù)密度，單位體積內(nèi)的分子數(shù)。理想氣體狀態(tài)方程另一種表達式:理想氣體,平衡態(tài)普適氣體常數(shù)熱力學(xué)溫度是分子平均平動動能的量度。對溫度概念的理解:（1）溫度是描述系統(tǒng)平衡態(tài)宏觀性質(zhì)的物理量，動態(tài)。（2）溫度是一個統(tǒng)計概念，只能用來描述大量分子無規(guī)則運動劇烈程度的集體狀態(tài)，對單個分子談?wù)撍臏囟葲]有意義。（3）溫度所反映的運動，是在質(zhì)心系中表現(xiàn)的分子的無規(guī)則運動（又叫熱運動）。（4）溫度的微觀意義，從統(tǒng)計物理角度看，熱力學(xué)系統(tǒng)的溫度是分子平均平動動能的量度。分子熱運動的平均轉(zhuǎn)動動能和振動動能也都和溫度有直接的關(guān)系。14對于處在平衡態(tài)的孤立系，其各個可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。如果平衡態(tài)下孤立系的微觀態(tài)總數(shù)為W，則系統(tǒng)的任一微觀態(tài)出現(xiàn)的概率均為1/W，即系統(tǒng)自發(fā)趨向于最概然分布！求經(jīng)典粒子（氣體分子）按能量的最概然分布的思路：(1)現(xiàn)將N個粒子按NN2…N…分布，記為Ni，分別放到能量為6…6…（每一個i還有g(shù)i個量子態(tài)，）的各種量子態(tài)中去的可能占據(jù)的方式數(shù)a20-3

三種統(tǒng)計規(guī)律一

、等概率假設(shè)（平衡態(tài)統(tǒng)計理論的基礎(chǔ)）1516（2）求a取最大值的分布，即最概然分布（3）求在最概然分布下，每個能級上的粒子數(shù)N=?能級上每個量子態(tài)被占據(jù)的概率（4）推導(dǎo)過程中要用到等概率假設(shè)和約束條件:孤立體系粒子數(shù)守恒:恒量能量守恒:恒量二、麥克斯韋—玻爾茲曼統(tǒng)計分布（M-B分布）經(jīng)典粒子彼此可以區(qū)分，每個量子態(tài)中的粒子數(shù)不受限制。2個經(jīng)典粒子在3個量子態(tài)中的可能分布共有多少種？飛機

飛機哈爾濱火車

北京

火車·上海

汽車

汽車

3×3=32=9種分布。（2個不同粒子放入3個盒子,分2步完成。）17相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)最概然分布求a取最大值的分布個量子態(tài)的占據(jù)方式為N個可區(qū)分粒子,分為

個粒子分別占用能級的gg…g…因而,對麥-玻系統(tǒng),與一個分布Nii能級的gi個量子態(tài)上的占據(jù)方式為Ni個經(jīng)典粒子分布在個粒子的組合方式為18lnN!=ln1+ln2+…+lnNy

lnN!～N(lnN-1)證明:(N＞10)求最概然分布1

2

3

x斯特令公式19求在最概然分布下,每個能級上的粒子數(shù)Ni由宏觀約束條件由拉格朗日乘子法原理20理論和實驗證明

最后可得經(jīng)典粒子按能級的最概然分布,M-B分布可求得和由2120-4麥克斯韋—玻爾茲曼統(tǒng)計在理想氣體中的應(yīng)用一、麥克斯韋分子速度分布律利用M-B分布可導(dǎo)出在沒有勢場情況下，理想氣體按速度的分布規(guī)律。對理想氣體，在溫度T的平衡態(tài)下:分子速度在的概率22利用2324體積dV中動量為

p

附近的粒子數(shù)體積V中動量為

p

附近的粒子數(shù)速度分布律麥克斯韋速度分布律二、麥克斯韋分子速率分布律如果不考慮分子速度的方向,只考慮大小,由在溫度為T的平衡態(tài)下,理想氣體分子速率在vv+dv范圍內(nèi)的概率vyv麥克斯韋速率分布函數(shù)---概率密

度由0

2

積分速率分布函數(shù)0vz并對

由0vx25,26三

、麥克斯韋速率分布實驗狹縫顯示屏接抽氣泵蒸汽（1）f（v）曲線為偏態(tài)分布，v→0,f(v)→0;v→∞,f(v)→0（2）f(v)曲線下，寬度為dv的窄條面積的物理意義:v1和v2區(qū)間的面積:曲線下總面積: 分布函數(shù)

f

(v)0

vp

v1

v2

vv~v+dvf(v)滿足歸一化條件四、討論:27同樣速率間隔dv,速率在vpvp+dv的分子數(shù)最多由及（

1）

最概然速率（最可幾速率）曲線f(v)中極大值所對應(yīng)的速率

vpvp附近概率密度最大,或者說,0可求得速率vpvp五

、三種速率（2）

平均速率f

(v)v281.三種速率都與溫度成正比,與分子質(zhì)量成反比2.討論分子速率分布時用討論分子碰撞用計算分子平均平動動能用三種速率都反映了大量分子作熱運動的統(tǒng)計規(guī)律。29f

(v)（

3）

方均根速率可以看出v結(jié)論:Vp01.對同一種氣體,三種速率均與溫度T開平方成正比。溫度越高,分子各種速率均增加,分布曲線右移。2.同一溫度下,不同物質(zhì)三種速率均與質(zhì)量m開平方成反比。分子質(zhì)量越小,速率越大,分布曲線右移。T

=

300KT2=

1200KN2

分子在不同溫度下的速

率分布。同一溫度下不同氣體的速

率分布。Vp

Vp2例:30式中分子動能玻爾茲曼能量分布律玻爾茲曼將上述規(guī)律推廣到有勢場情況,得到理想氣體在速度區(qū)間dvxdvydvz及位置區(qū)間dxdydz的分子數(shù)為 玻爾茲曼分布六、玻爾茲曼能量分布律等溫氣壓公式麥克斯韋速度分布率理想氣體在沒有外勢場,在溫度為T的熱平衡態(tài)下, vy→

vy+dv

v2→v2+dv2

的分子數(shù)為速度在31七、玻爾茲曼分布律的應(yīng)用—重力場中粒子按高度的分布對所有速度積分,得體積元dxdydz內(nèi)的總分子數(shù):由速度分布函數(shù)的歸一化條件,得32 用空間粒子數(shù)密度表示: 令C=n0為Ep=0處的粒子數(shù)密度八、重力場中等溫氣壓公式EP=mgh重力場中粒子按高度的分布p=nkT ---恒溫氣壓公式上式給出每升高10m,大氣壓強約降低133Pa33空氣密度

p

=

n·m氣體壓強

p

可以看作單位面積上空氣柱重量p=nkTdp=

KTdn-KTdn

=

nmgdh34另一種推導(dǎo)方法:重力場中粒子按高度的分布-dp=pgdh.l=nmgdh由系統(tǒng)內(nèi)所有分子熱運動動能和分子間相互作用勢能的總和稱為系統(tǒng)內(nèi)能，用E表示。內(nèi)能是狀態(tài)量E=E(T,W)理想氣體內(nèi)能:E=E(T)理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)。20-5能量按自由度均分定理一

、

內(nèi)能系統(tǒng)內(nèi)所有粒子各種能量的總和U=U(V,T)35理想氣體的內(nèi)能熱力學(xué)內(nèi)能:二、能量均分定理1.自由度:確定一個物體的空間位置所需的獨立坐標(biāo)數(shù)。單原子分子:i=3剛性雙原子分子:i=5剛性多原子分子:i=62.能量均分定理:在溫度為T的平衡態(tài)下，分子每一個可能的自由度都占有相同的能量，kT/2。例:粒子的平均平動動能zC(x,y,z)0xC(x,y,z)x

0z36yy37設(shè)分子有t個平動自由度,r個轉(zhuǎn)動自由度,s個振動自由度,每個振動自由度又占有振動動能和振動勢能2份能量則分子的平均能量為:常溫下,理想氣體單原子分子剛性雙原子分子多原子分子(

i=t+r+2s)一定質(zhì)量的理想氣體的內(nèi)能只是溫度的函數(shù),而且和熱力學(xué)溫度成正比。1mol理想氣體分子數(shù)為

NA

,

內(nèi)能為

:質(zhì)量為m

的理想氣體內(nèi)能為

:3.理想氣體內(nèi)能:38部分體積均為V0,求（1）兩種氣體各自的內(nèi)能；（2）抽去絕熱板,兩種氣體混合后處于平衡時的溫度。例.用絕熱材料制成的一個容器,體積為2V0,被絕熱板隔成A,B兩部分,A內(nèi)儲有1mol單原子理想氣體,B內(nèi)儲有2mol雙原子理想氣體。A,B兩部分壓強相等均為p0,兩（2）初內(nèi)能E1=EA+EB=4POVO末內(nèi)能

A

B

·

解

:（1）39●由于分子向各個方向運動的概率相同,所有兩分子運動方向的平均夾角將是0°至180°之間的平均值90°。因此所以du

dd4020-6

分子碰撞的統(tǒng)計規(guī)律一

、分子平均碰撞頻率分子平均碰撞頻率分子熱運動

碰撞示意圖估計平均自由程的數(shù)量級為～10-7m分子直徑d~2x10-10m可以將氣體分子看成質(zhì)點例.估計氫氣分子（H2

）在標(biāo)準(zhǔn)狀況下（常溫常壓下）

的平

均碰撞頻率數(shù)量級即每秒內(nèi)一個分子要發(fā)生

幾十億次碰撞分子在連續(xù)兩次踫撞間所通過的自由路程的平均值。將

p

=nkT

代入上式得二

、平均自由程41f

(v)5.平均碰撞頻率和平均自由程3.速率分布函數(shù)0

4.三種速率總

結(jié)2.溫度1.壓強v42例1.用總分子數(shù)N，氣體分子速率v和速率分布函數(shù)f(v)表示下列各量，指出其物理含義:（1）速率大于v0的分子數(shù)（2）速率大于v0的那些分子的平均速率（3）速率大于v0的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例,或:多次觀察某一分子的速率,發(fā)現(xiàn)其大于v0的幾率。43溫度T相同，哪個是H2?哪個是O2?都個是H2，溫度不同，哪個溫度高？44f(v)例2vp1vp2ⅡvⅠ045例3用

表示數(shù)率分布函數(shù)（簡化運算）例4.求300K時，空氣中速率在vp附近和10vp附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比各是多少？

=

415m/s=0.2%解:46求粒子平均速率。解

:

平均速率例5.有N個粒子,其速率分布函數(shù)為f(v)應(yīng)滿足歸一化條件:cv0=

l4748例6:一瓶氣體由N個分子組成。試證不論分子速率分布函數(shù)如何,總有證:當(dāng)

T增加N2

增加

N1

減小當(dāng)