浙江省杭州市拱墅區(qū)啟正中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)啟正中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（共10小題）1．（3分）如圖的四個(gè)古漢字中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）把一根長12厘米的鐵絲按下面所標(biāo)長度剪開，剪成的三段首尾順次相接可以圍成三角形的是（）A． B． C． D．3．（3分）人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．垂線段最短4．（3分）如果a＞b，那么下列各式中錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)﹣2＞b﹣2 B．＞ C．﹣3a＞﹣3b D．5a+2＞5b+25．（3分）如圖，將一副三角板按照如圖方式擺放，則∠ABC的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．8°6．（3分）對于命題“若a2＞b2，則a＞b”，小明想舉一個(gè)反例說明它是一個(gè)假命題，則符合要求的反例可以是（）A．a(chǎn)＝2，b＝1 B．a(chǎn)＝2，b＝﹣1 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝0 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣27．（3分）如圖，是一個(gè)中間帶有吸管的圓柱形水杯，底面直徑為10cm，高度為12cm，現(xiàn)有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，則露在水杯外面的吸管長度為acm，則a的取值范圍是（）A．13≤a≤25 B．25﹣2≤a≤25 C．25﹣2≤a≤13 D．11≤a≤158．（3分）如圖，課本上給出了小明一個(gè)畫圖的過程，這個(gè)畫圖過程說明的事實(shí)是（）A．兩個(gè)三角形的兩條邊和夾角對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等 B．兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和其中一角的對邊對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等 C．兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形不一定全等 D．兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和夾邊對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形不一定全等9．（3分）若一個(gè)等腰三角形的一條邊是另一條邊的k倍，我們把這樣的等腰三角形叫做“k倍邊等腰三角形”．如果一個(gè)等腰三角形是“4倍邊等腰三角形”，且周長為18cm，則該等腰三角形底邊長為（）A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm10．（3分）如圖，四邊形ABDC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分線AD⊥BD與點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，則△ABD與△EBC面積之差的最大值為（）A．9 B．4.5 C．3 D．1.5二.填空題（共6小題）11．（3分）在電影院里，如果用（3，13）表示3排13號，那么2排6號可以表示為．12．（3分）如圖，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，則∠BOC＝度．13．（3分）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝4：5：9，則∠A＝°．14．（3分）如圖，用40m長的籬笆圍成一邊靠墻（墻長16米）的長方形ABCD菜園，則AB長的取值范圍為．15．（3分）如圖，三角形ABC被分成7塊面積相等的小三角形，其中AC＝96，BC＝70，則GI的長度為．16．（3分）青朱出入圖（圖1）是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補(bǔ)術(shù)”運(yùn)用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理引入的圖形，該圖中的兩個(gè)青入的三角形分別與兩個(gè)青出的三角形全等，朱入與朱出的三角形全等，朱方與青方是兩個(gè)正方形．為便于敘述，將其繪成圖2，若記朱方對應(yīng)正方形GDJH的邊長為a，青方對應(yīng)正方形ABCD的邊長為b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，則圖2中的陰影部分面積為．三.解答題17．計(jì)算：（1）5x﹣2＞11x+3；（2）．18．在數(shù)軸上表示不等式組的解，并求出它的整數(shù)解．19．已知，△ABC中AE⊥BC，BD平分∠ABC，∠C＝37°，∠BAC＝2∠C，求∠AFD的度數(shù)．20．某業(yè)主貨款2.2萬元購進(jìn)一臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)印有巴黎奧運(yùn)會(huì)吉祥物的水杯，已知產(chǎn)品的成本是每個(gè)5元，售價(jià)是每個(gè)8元，應(yīng)付的稅款和其他費(fèi)用是售價(jià)的10%．若每天能生產(chǎn)、銷售2000個(gè)產(chǎn)品，問至少幾天能夠賺回這臺(tái)機(jī)器的貸款．21．如圖，已知B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）若BF＝30，EC＝10，求BE的長．22．如圖，在△ABC中，DE是邊BC的垂直平分線，分別交邊AC，BC于點(diǎn)D，E，BF⊥AC，且F為線段AD的中點(diǎn)，延長BF與BC的垂直平分線交于G點(diǎn)，連接CG．（1）若D是AC的中點(diǎn)，求證：AC＝2AB；（2）若∠ACB＝30°，求證：△BGC為等邊三角形．23．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，D是BC中點(diǎn)，BF⊥AE交AE于點(diǎn)G．（1）求證：△ABH≌△CAE；（2）若BF平分∠ABC，求證：AH＝EF；（3）如圖2，若F是AC中點(diǎn)，且EF+AE＝kFC，請直接寫出k值．24．綜合實(shí)踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂角頂點(diǎn)且頂角相等腰三角形構(gòu)成的，在兩個(gè)等腰三角形位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組稱此圖形為“手拉手模型”．請你和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)一起研究下面的問題．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，點(diǎn)D在AC上，連接BD、CE，且B、D、E三點(diǎn)共線，則圖中與線段BD相等的線段是，∠BEC＝°．【初步運(yùn)用】（2）如圖2，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，連接BD、CE交于點(diǎn)O．找出圖中與BD相等的線段，并證明；【遷移應(yīng)用】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝BE＝6，DE＝EC＝4，請計(jì)算AD2+BC2的值．

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)啟正中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題（共10小題）1．（3分）如圖的四個(gè)古漢字中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷即可．【解答】解：觀察圖形可知，選項(xiàng)B不是軸對稱圖形，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱圖形，解題的關(guān)鍵是理解軸對稱圖形的定義，屬于中考常考題型．2．（3分）把一根長12厘米的鐵絲按下面所標(biāo)長度剪開，剪成的三段首尾順次相接可以圍成三角形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的特性：任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊；進(jìn)行依次分析即可．【解答】解：A.2+4＝6，兩邊之和沒有大于第三邊，所以不能圍成三角形；B．3+3＝6，兩邊之和沒有大于第三邊，所以不能圍成三角形；C．2+3＜7，兩邊之和沒有大于第三邊；所以不能圍成三角形；D．2+5＞5，5+5＞2，任意兩邊之和大于第三邊，所以能圍成三角形；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊．3．（3分）人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．垂線段最短【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，是為了形成三角形，利用三角形具有穩(wěn)定性來增加其穩(wěn)定性，故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答．4．（3分）如果a＞b，那么下列各式中錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)﹣2＞b﹣2 B．＞ C．﹣3a＞﹣3b D．5a+2＞5b+2【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵a＞b，3＞0，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵a＞b，﹣3＜0，∴﹣3a＜﹣3b，故本選項(xiàng)符合題意；D、∵a＞b，∴5a＞5b，∴5a+2＞5b+2，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：當(dāng)不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號的方向要改變．5．（3分）如圖，將一副三角板按照如圖方式擺放，則∠ABC的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．8°【分析】先由三角板中角度的特點(diǎn)得到∠FBC＝90°，∠DAE＝45°，∠F＝30°，再由三角形外角的性質(zhì)得到∠FBA＝15°，則由角的和差關(guān)系可得∠ABC＝∠FBC﹣∠FBA＝75°．【解答】解：∵圖中是一副直角三角板，∴∠FBC＝90°，∠DAE＝45°，∠F＝30°，∵∠DAE＝∠F+∠FBA，即45°＝30°+∠FBA，∴∠FBA＝15°，∴∠ABC＝∠FBC﹣∠FBA＝90°﹣15°＝75°，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（3分）對于命題“若a2＞b2，則a＞b”，小明想舉一個(gè)反例說明它是一個(gè)假命題，則符合要求的反例可以是（）A．a(chǎn)＝2，b＝1 B．a(chǎn)＝2，b＝﹣1 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝0 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2【分析】根據(jù)題意逐一對選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得到本題答案．【解答】解：∵命題“若a2＞b2，則a＞b”，小明想舉一個(gè)反例說明它是一個(gè)假命題，∴當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，若22＞12，則2＞1，不符合題意，∴當(dāng)a＝2，b＝﹣1時(shí)，若22＞（﹣1）2，則2＞﹣1，不符合題意，∴當(dāng)a＝﹣1，b＝0時(shí)，若（﹣1）2＞02，則﹣1＜0，符合題意，∴當(dāng)a＝﹣1，b＝﹣2時(shí)，不符合若（﹣1）2＞（﹣2）2，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查命題與定理的知識(shí)．任何一個(gè)命題非真即假．要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．7．（3分）如圖，是一個(gè)中間帶有吸管的圓柱形水杯，底面直徑為10cm，高度為12cm，現(xiàn)有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，則露在水杯外面的吸管長度為acm，則a的取值范圍是（）A．13≤a≤25 B．25﹣2≤a≤25 C．25﹣2≤a≤13 D．11≤a≤15【分析】根據(jù)杯子內(nèi)吸管的長度的取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案．【解答】解：∵將一根長為25cm的吸管，置于底面直徑為10cm，高度為12cm的圓柱形水杯中，∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最長是等于杯子斜邊長度，∴當(dāng)杯子中吸管最短是等于杯子的高時(shí)，x＝12cm，最長時(shí)等于杯子斜邊長度是：x＝＝2（cm），∴a的取值范圍是：25﹣2≤a≤25﹣12，即25﹣2≤a≤13，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題．8．（3分）如圖，課本上給出了小明一個(gè)畫圖的過程，這個(gè)畫圖過程說明的事實(shí)是（）A．兩個(gè)三角形的兩條邊和夾角對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等 B．兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和其中一角的對邊對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等 C．兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形不一定全等 D．兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和夾邊對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形不一定全等【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷即可．【解答】解：根據(jù)作圖可知：兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，其中角的對邊不確定，可能有兩種情況，故三角形不能確定，所以兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形不一定全等，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．9．（3分）若一個(gè)等腰三角形的一條邊是另一條邊的k倍，我們把這樣的等腰三角形叫做“k倍邊等腰三角形”．如果一個(gè)等腰三角形是“4倍邊等腰三角形”，且周長為18cm，則該等腰三角形底邊長為（）A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm【分析】設(shè)該等腰三角形的較短邊長為xcm（x＞0），則較長邊長為4xcm．分①xcm為腰；②4xcm為腰兩種情況討論即可．【解答】解：設(shè)該等腰三角形的較短邊長為xcm（x＞0），則較長邊長為4xcm．①當(dāng)xcm為腰時(shí)，∵x+x＜4x，∴x，x，4x不能組成三角形；②當(dāng)4xcm為腰時(shí)，4x，4x，x能夠組成三角形，∵4x+4x+x＝18，∴x＝2，∴該等腰三角形底邊長為2cm．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，四邊形ABDC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分線AD⊥BD與點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，則△ABD與△EBC面積之差的最大值為（）A．9 B．4.5 C．3 D．1.5【分析】延長AC交BD的延長線于H，過點(diǎn)D作DT⊥AH于T，設(shè)△ACD的面積為S，證明△ABD和△AHD全等得S△ABD＝S△AHD，再證明DC＝CH＝AC＝3，根據(jù)等底同高的兩個(gè)三角形的面積相等可得出S△ABD﹣S△EBC＝S，而S＝AC?DE＝1.5DT，由此的當(dāng)DT為最大時(shí)，S為最大，則S△ABD﹣S△EBC為最大，然后根據(jù)“垂線段”最短得DT≤DC，則DT＝DC＝3時(shí)，DT為最大，最大值為3，據(jù)此求出S的值即可得出答案．【解答】解：延長AC交BD的延長線于H，過點(diǎn)D作DT⊥AH于T，如圖所示：設(shè)△ACD的面積為S，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，在△ABD和△AHD中，，∴△ABD≌△AHD（ASA），∴S△ABD＝S△AHD，∵AC＝DC＝3，∴∠2＝∠3，又∵∠2+∠H＝90°，∠3+∠CDH＝90°，∴∠H＝∠CDH，∴DC＝CH＝3，∴AC＝CH＝3，∴S△CDH＝S△ACD＝S，∴S△AHD＝S△CDH+S△ACD＝2S，∴S△ABD＝S△AHD＝2S，∴S△ABH＝S△ABD+S△AHD＝4S，∵AC＝CH，∴S△ABC＝S△HBC＝S△ABH＝2S，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴S△EBC＝S△ABC＝S，∴S△ABD﹣S△EBC＝2S﹣S＝S，又∵S＝AC?DE＝×3×DT＝1.5DT，∴當(dāng)DT為最大時(shí)，S為最大，則S△ABD﹣S△EBC為最大，根據(jù)“垂線段”最短得：DT≤DC，∴DT＝DC＝3時(shí)，DT為最大，最大值為3，∴S的最大值為：1.5×3＝4.5，∴S△ABD﹣S△EBC的最大值是4.5．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，理解等底（或同底）同高（或等高）的兩個(gè)三角形的面積相等是解決問題的關(guān)鍵．二.填空題（共6小題）11．（3分）在電影院里，如果用（3，13）表示3排13號，那么2排6號可以表示為（2，6）．【分析】根據(jù)用（3，13）表示3排13號可知第一個(gè)數(shù)表示排，第二個(gè)數(shù)表示號，進(jìn)而可得答案．【解答】解：∵（3，13）表示3排13號可知第一個(gè)數(shù)表示排，第二個(gè)數(shù)表示號，∴2排6號可以表示為（2，6），故答案為：（2，6）．【點(diǎn)評】此題主要考查了坐標(biāo)確定位置，關(guān)鍵是掌握每個(gè)數(shù)表示的意義．12．（3分）如圖，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，則∠BOC＝110度．【分析】根據(jù)外角性質(zhì)得：∠BDC＝∠A+∠ABO＝50°+28°＝78°，∠BOC＝∠BDC+∠ACO＝78°+32°＝110°．【解答】解：∵∠A＝50°，∠ABO＝28°，∴∠BDC＝∠A+∠ABO＝50°+28°＝78°，在△ODC中，∠BOC＝∠BDC+∠ACO＝78°+32°＝110°，故答案為：110．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，明確三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．13．（3分）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝4：5：9，則∠A＝40°．【分析】先根據(jù)角的比設(shè)出各角的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理得方程，求解得結(jié)論．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝4：5：9，設(shè)∠A＝4x°，∠B＝5x°，∠C＝9x°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴4x°+5x°+9x°＝180°．∴x＝10．∴∠A＝40°．故答案為：40．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和等于180°是解決本題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，用40m長的籬笆圍成一邊靠墻（墻長16米）的長方形ABCD菜園，則AB長的取值范圍為12≤x＜20．【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的不等式組，然后求解即可．【解答】解：設(shè)AB的長為x米，由題意可得，0＜40﹣2x≤16，解得12≤x＜20，故答案為：12≤x＜20．【點(diǎn)評】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的不等式組．15．（3分）如圖，三角形ABC被分成7塊面積相等的小三角形，其中AC＝96，BC＝70，則GI的長度為30．【分析】根據(jù)題意易得：＝，從而可得＝，進(jìn)而可得EC＝AC＝80；然后根據(jù)同理可得：＝，從而可得GC＝EC＝60，再根據(jù)同理可得：GI＝GC＝30，即可解答．【解答】解：∵三角形ABC被分成7塊面積相等的小三角形，∴＝，∴＝，∴EC＝AC＝×96＝80；同理可得：＝，∴GC＝EC＝×80＝60，同理可得：＝1，∴GI＝GC＝×60＝30，故答案為：30．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．16．（3分）青朱出入圖（圖1）是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補(bǔ)術(shù)”運(yùn)用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理引入的圖形，該圖中的兩個(gè)青入的三角形分別與兩個(gè)青出的三角形全等，朱入與朱出的三角形全等，朱方與青方是兩個(gè)正方形．為便于敘述，將其繪成圖2，若記朱方對應(yīng)正方形GDJH的邊長為a，青方對應(yīng)正方形ABCD的邊長為b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，則圖2中的陰影部分面積為10．【分析】根據(jù)題意可得△IJC≌△KAM可以求出S△IJC＝S△KAM，即可得到圖2中的陰影部分面積為S△GDC+S△BCM，用a，b表示后計(jì)算即可．【解答】解：如圖2，∵朱方對應(yīng)正方形GDJH的邊長為a，青方對應(yīng)正方形ABCD的邊長為b，∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b，∵朱入與朱出的三角形全等，∴△FNK≌△GHI，∴FN＝GH＝a，∵兩個(gè)青入的三角形分別與兩個(gè)青出的三角形全等，∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB，∴S△IJC＝S△KAM，BM＝FN＝a，∴陰影部分面積為S四邊形GDJI+S△KAM+S△BCM＝S四邊形GDJI+S△IJC+S△BCM＝S△GDC+S△BCM＝＝＝ab，∵b﹣a＝3，a2+b2＝29，∴，即陰影部分的面積為10，故答案為：10．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理解決問題．三.解答題17．計(jì)算：（1）5x﹣2＞11x+3；（2）．【分析】（1）不等式移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為1解答即可；（2）不等式去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為1解答即可．【解答】解：（1）5x﹣2＞11x+3，移項(xiàng)，得5x﹣11x＞3+2，合并同類項(xiàng)，得﹣6x＞5，化系數(shù)為1，得x＜﹣；（2），去分母，得6x﹣3（x+2）＜2（2﹣x），去括號，得6x﹣3x﹣6＜4﹣2x，移項(xiàng)，得6x﹣3x+2x＜4+6，合并同類項(xiàng)，得5x＜10，化系數(shù)為1，得x＜2．【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．18．在數(shù)軸上表示不等式組的解，并求出它的整數(shù)解．【分析】先求出每個(gè)不等式的解集，即可得到不等式組的解集，然后在數(shù)軸上表示出不等式組的解集，再寫出其整數(shù)解即可．【解答】解：，解不等式①，得：x＞﹣2，解不等式②，得：x≤﹣，∴該不等式組的解集為﹣2＜x≤﹣，其解集在數(shù)軸上表示如下：，∴該不等式組的整數(shù)解為﹣1．【點(diǎn)評】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解、在數(shù)軸上表示不等式組的解集，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式組的方法．19．已知，△ABC中AE⊥BC，BD平分∠ABC，∠C＝37°，∠BAC＝2∠C，求∠AFD的度數(shù)．【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理先求出∠C、∠EAC、∠ABC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，最后利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：∵AE⊥BC，BD平分∠ABC，∴∠AEC＝90°，∠ABD＝ABC．∵∠C＝37°，∴∠EAC＝90°﹣37°＝53°．∵∠BAC＝2∠C＝74°，∠BAC＝∠BAE+∠EAC，∴∠BAE＝74°﹣53°＝21°．∴∠ABC＝90°﹣∠BAE＝69°．∴∠ABD＝∠ABC＝34.5°．∴∠AFD＝∠ABD+∠BAE＝21°+34.5°＝55.5°．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．20．某業(yè)主貨款2.2萬元購進(jìn)一臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)印有巴黎奧運(yùn)會(huì)吉祥物的水杯，已知產(chǎn)品的成本是每個(gè)5元，售價(jià)是每個(gè)8元，應(yīng)付的稅款和其他費(fèi)用是售價(jià)的10%．若每天能生產(chǎn)、銷售2000個(gè)產(chǎn)品，問至少幾天能夠賺回這臺(tái)機(jī)器的貸款．【分析】設(shè)x天能夠賺回這臺(tái)機(jī)器的貸款，利用總利潤＝每天的利潤×天數(shù)，結(jié)合總利潤不少于貸款金額，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)x天能夠賺回這臺(tái)機(jī)器的貸款，根據(jù)題意得：[8×（1﹣10%）﹣5]×2000x≥22000，解得：x≥5，∵x為正整數(shù)，∴x的最小值為5．答：至少5天能夠賺回這臺(tái)機(jī)器的貸款．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．21．如圖，已知B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）若BF＝30，EC＝10，求BE的長．【分析】（1）由“AAS“可證△ABC≌△DFE；（2）由線段的和差關(guān)系可求解．【解答】（1）證明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（AAS）；（2）解：∵BF＝30，EC＝10，∴BE+CF＝＝10．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在△ABC中，DE是邊BC的垂直平分線，分別交邊AC，BC于點(diǎn)D，E，BF⊥AC，且F為線段AD的中點(diǎn)，延長BF與BC的垂直平分線交于G點(diǎn)，連接CG．（1）若D是AC的中點(diǎn)，求證：AC＝2AB；（2）若∠ACB＝30°，求證：△BGC為等邊三角形．【分析】（1）連接BD，證出△ABD是等邊三角形，得出AB＝AD，則可得出結(jié)論；（2）證出∠CBF＝60°，由等邊三角形的判定可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接BD，∵DE是邊BC的垂直平分線，∴DB＝DC，∵D為AC的中點(diǎn)，∴DA＝DC，∴DB＝DA，∵BF⊥AC，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，∴AB＝BD，∴AB＝BD＝AD，∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝AD，∴AC＝2AB；（2）證明：∵DB＝DC，∠ACB＝30°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ADB＝60°，∵AB＝BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠DBF＝30°，∴∠CBF＝60°，∵BC的垂直平分線為DE，∴BG＝CG，∴△BCG為等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定是解題的關(guān)鍵．23．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，D是BC中點(diǎn)，BF⊥AE交AE于點(diǎn)G．（1）求證：△ABH≌△CAE；（2）若BF平分∠ABC，求證：AH＝EF；（3）如圖2，若F是AC中點(diǎn)，且EF+AE＝kFC，請直接寫出k值．【分析】（1）證出∠ABH＝∠CAE，根據(jù)ASA可證明△ABH≌△CAE；（2）證明△ABG≌△EBG（ASA），得出AB＝BE，證明△ABF≌△EBF（SSS），得出∠BAF＝∠BEF＝90°，EF＝CE，由（1）知△ABH≌△CAE，得出AH＝CE，則可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)C作MC⊥AC，交AE的延長線于點(diǎn)M，證明△ACM≌△BAF（SAS），得出CM＝AF，AM＝BF．證明△FCE≌△MCE（SAS），得出EF＝EM，由勾股定理證出BF＝＝AF，則可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠C＝45°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠BAC＝45°，∴∠BAH＝∠C，∵AE⊥BF，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG+∠EAC＝∠BAG+∠ABG＝90°，∴∠ABH＝∠CAE，∴△ABH≌△CAE（ASA）；（2）證明：∵BF平分∠ABC，∴∠BAG＝∠EBG，∵BG＝BG，∠AGB＝∠EGB＝90°，∴△ABG≌△EBG（ASA），∴AB＝BE，∴BF垂直平分AE，∴AF＝EF，∵BF＝BF，∴△ABF≌△EBF（SSS），∴∠BAF＝∠BEF＝90°，∵∠C＝45°，∴EF＝CE，由（1）知△ABH≌△CAE，∴AH＝CE，∴AH＝EF；（3）解：過點(diǎn)C作MC⊥AC，交AE的延長線于點(diǎn)M，∵∠CAM＝∠ABF，AB＝AC，∠BAF＝∠ACM＝90°，∴△ACM≌△BAF（SAS），∴CM＝AF，AM＝BF．∵F為AC的中點(diǎn)，∴AF＝CF＝CM，∵∠ACB＝45°，∴∠FCE＝∠ECM，∵CE＝CE，∴△FCE≌△MCE（SAS），∴EF＝EM，∴AE+EF＝AM＝BF，在Rt△ABF中，AB＝AC＝2AF，∴BF＝＝AF，∴AE+EF＝CF，∵EF+AE＝kFC，∴k＝．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24．綜合實(shí)踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂角頂點(diǎn)且頂角相等腰三角形構(gòu)成的，在兩個(gè)等腰三角形位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組稱此圖形為“手拉手模型”．請你和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)一起研究下面的問題．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在△ABC和△