2025屆安徽省合肥市示范中學(xué)高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆安徽省合肥市示范中學(xué)高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R，駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種2．已知是圓心為坐標(biāo)原點，半徑為1的圓上的任意一點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到交圓于點，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．3．下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實數(shù)a=（）A．-1 B．1 C．0 D．25．曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．86．有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）（附：）A．個 B．個 C．個 D．個7．若不相等的非零實數(shù)，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C．2 D．8．已知等比數(shù)列的前項和為，若，且公比為2，則與的關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．9．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（）A． B． C． D．10．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．11．若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）．A． B． C． D．12．若為純虛數(shù)，則z＝（）A． B．6i C． D．20二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的定義域是____________．（寫成區(qū)間的形式）14．不等式的解集為________15．設(shè)全集，，，則______.16．已知函數(shù)，則不等式的解集為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（，）滿足下列3個條件中的2個條件：①函數(shù)的周期為；②是函數(shù)的對稱軸；③且在區(qū)間上單調(diào).（Ⅰ）請指出這二個條件，并求出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若，求函數(shù)的值域.18．（12分）△的內(nèi)角的對邊分別為,且．(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長．19．（12分）某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎促銷，規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客，均可獲得一次摸獎機會.摸獎規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球（紅、黃、黑、白）.顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則摸獎停止，否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵.（1）求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率；（2）記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）如圖所示，在三棱柱中，為等邊三角形，，，平面，是線段上靠近的三等分點.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.22．（10分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當(dāng)作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分分配到3個不同的路口，根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體，個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數(shù)原理，共有種方案。故選：C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.2、C【解析】

設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數(shù)的定義得，，，利用輔助角公式計算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，，，所以，當(dāng)時，取得等號.故選：C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.3、C【解析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知，ABD選項可以圍成三棱柱，C選項不是三棱柱展開圖.故選：C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

化簡得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù)，故a-1=0故選：B.【點睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.5、B【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過點求出即可.【詳解】因為，所以，故，解得，又切線過點，所以，解得，所以，故選：B【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.6、C【解析】

計算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為cm，得到最上層球面上的點距離桶底最遠(yuǎn)為cm，得到不等式，計算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個球兩兩相切，這樣，相鄰的四個球的球心連線構(gòu)成棱長為cm的正面體，易求正四面體相對棱的距離為cm，每裝兩個球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點距離桶底最遠(yuǎn)為cm，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個球．故選：【點睛】本題考查了圓柱和球的綜合問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.7、A【解析】

由題意，可得，，消去得,可得，繼而得到，代入即得解【詳解】由，，成等差數(shù)列，所以，又，，成等比數(shù)列，所以，消去得，所以，解得或，因為，，是不相等的非零實數(shù)，所以，此時，所以．故選：A【點睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.8、C【解析】

在等比數(shù)列中，由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知，等比數(shù)列中，且公比為2，故故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題．10、D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值．【詳解】解：把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上，，，則當(dāng)最大時，，求得，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算以及純虛數(shù)的概念，可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴且得，此時故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與運算，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

要使函數(shù)有意義，需滿足，即，解得，故函數(shù)的定義域是．14、【解析】

通過平方，將無理不等式化為有理不等式求解即可。【詳解】由得，解得，所以解集是?！军c睛】本題主要考查無理不等式的解法。15、【解析】

先求出集合，，然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可．【詳解】解：，或；∴；∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

，，分類討論即可.【詳解】由已知，，，若，則或解得或，所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及到解一元二次不等式，考查學(xué)生的計算能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）依次討論①②成立，①③成立，②③成立，計算得到只有①②成立，得到答案.（Ⅱ）得到，得到函數(shù)值域.【詳解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；由③得，，，；若①②成立，則，，，若①③成立，則，，不合題意，若②③成立，則，，與③中的矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，.（Ⅱ）由題意得，，所以函數(shù)的值域為.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，對稱軸，單調(diào)性，值域，表達(dá)式，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.18、（I）；（II）．【解析】

試題分析：（I）由已知可得；（II）依題意得：的周長為．試題解析：（I）∵，∴．∴，∴，∴，∴，∴．（II）依題意得：∴，∴，∴，∴，∴的周長為．考點：1、解三角形；2、三角恒等變換．19、（1）；（2）20.【解析】

（1）1名顧客摸球2次摸獎停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；（2）的可能取值為：0，10，20，30，1．分別求出取各個值時的概率，即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）1名顧客摸球2次摸獎停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，所以1名顧客摸球2次摸獎停止的概率．（2）的可能取值為：0，10，20，30，1．,∴隨機變量X的分布列為：X01020301P數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由，故，所以四邊形為菱形，再通過，證得，所以四邊形為正方形，得到.（2）根據(jù)（1）的論證，建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量為，由求得，再由，利用線面角的向量法公式求解.【詳解】（1）因為，故，所以四邊形為菱形，而平面，故.因為，故，故，即四邊形為正方形，故.（2）依題意，.在正方形中，，故以為原點，所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；如圖所示：不紡設(shè)，則，又因為，所以.所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.于是.又因為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系、線面成角，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.21、(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利