第15講 三角函數(shù)及其圖象變換（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（含答案解析）

第15講三角函數(shù)及其圖象變換【人教A版2019】模塊一模塊一三角函數(shù)的圖象變換1．φ,ω,A對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響(1)對(duì)的圖象的影響函數(shù)（其中）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)>0時(shí))或向右(當(dāng)<0時(shí))平移||個(gè)單位長(zhǎng)度而得到(可簡(jiǎn)記為“左加右減”).(2)對(duì)的圖象的影響

函數(shù)的圖象，可以看作是把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)>1時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)0<<1時(shí))到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到.(3)對(duì)的圖象的影響

函數(shù)的圖象，可以看作是把圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)0<A<1時(shí))到原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到.(4)由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象以上兩種方法的圖示如下：2．函數(shù)的圖象類似于正弦型函數(shù)，余弦型函數(shù)的圖象的畫(huà)法有以下兩種.

(1)“五點(diǎn)法”，令，求出相應(yīng)的x值及y值，利用這五個(gè)點(diǎn)，可以得到在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，然后再把這一段上的圖象向左向右延伸，即得的圖象.

(2)“變換作圖法”的途徑有兩種.

一是類似于正弦型函數(shù)的變換作圖法，可由的圖象通過(guò)變換作圖法得到(>0,A>0)的圖象，即：二是由誘導(dǎo)公式將余弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，即，再由的圖象通過(guò)變換作圖法得到的圖象即可.3．由部分圖象確定函數(shù)解析式的方法由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段圖象求其解析式時(shí)，A比較容易由圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點(diǎn)”坐標(biāo)，那么由即可求出ω；確定φ時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的零點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則令即可求出φ.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo).利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或零點(diǎn))坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對(duì)A，ω的符號(hào)或φ的范圍有所需求，可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.【題型1“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象】【例1.1】（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”面函數(shù)fx=Asinxπ5ωx+φ0ππ32A05－50(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出函數(shù)y=fx(2)當(dāng)x∈0,π時(shí)，求【解題思路】（1）借助表格計(jì)算可得A=5，ω=2，φ=?π（2）令fx【解答過(guò)程】（1）由表可得π3ω+φ=π2，故A=5，ω=2，φ=?π6，故補(bǔ)充數(shù)據(jù)見(jiàn)表格；xππ7π513πωx+φ0ππ32A050－50（2）令5sin2x?π則2x?π6=π6則x=π6+kπ或x=π2+kπ，k∈即fx=5【例1.2】（23-24高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sin(1)請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期[π(2)請(qǐng)說(shuō)明由g(x)=sinx到【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，列出對(duì)應(yīng)值表，再在坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)連線即得.（2）根據(jù)三角函數(shù)變換，敘述出變換過(guò)程即可.【解答過(guò)程】（1）函數(shù)f(x)=sin(2x?πxπ521172x?0ππ32f(x)010?10描點(diǎn)連線，即得函數(shù)f(x)的圖象，如圖：（2）先將g(x)的圖象向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=再將所得函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin(2x?【變式1.1】（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2sin(1)在用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=fx在區(qū)間0,2x??7πx0πf將上述表格填寫(xiě)完整，并在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象；

(2)求函數(shù)fx在區(qū)間?π4【解題思路】（1）分別計(jì)算五點(diǎn)坐標(biāo)，利用五點(diǎn)法即可畫(huà)出圖形．（2）由x∈?π4【解答過(guò)程】（1）在用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=fx在區(qū)間0,2x??0ππ3π7πx0π35π7ππf?2020?2?描點(diǎn)，連線，可得圖象如下：

（2）因?yàn)閤∈?π4,π4，可得2x?π4∈?當(dāng)2x?π4=?π2時(shí)，即x=?【變式1.2】（23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(1)試用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)fx在區(qū)間?π(2)若x∈?π6，π3時(shí)，函數(shù)gx=fx+m【解題思路】（1）先列表，再描點(diǎn)連線，可得簡(jiǎn)圖；（2）根據(jù)x∈?π6，π3得【解答過(guò)程】（1）先列表，再描點(diǎn)連線，可得簡(jiǎn)圖．

x?258112x+0ππ32sin010?10y131?1（2）gx=f∵x∈?∴2x+π∴sin2x+π∴m=2，∴gx當(dāng)2x+π6=π2即x=π【題型2三角函數(shù)間圖象的變換問(wèn)題】【例2.1】（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）為得到函數(shù)g(x)=sin(2x?π6)A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向右平移7πB．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向右平移π2C．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍，再向左平移πD．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍，再向左平移7【解題思路】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)圖象的變換，結(jié)合函數(shù)解析式，即可直接判斷即可.【解答過(guò)程】將函數(shù)f(x)=sin(x?2π3再將所得圖象向左平移π4個(gè)單位，得y=故選：C.【例2.2】（23-24高二下·福建南平·期末）將函數(shù)f(x)=sinx?cosx圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)A．2sin(x2+π4) 【解題思路】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)，再利用三角函數(shù)圖象變換求出g(x).【解答過(guò)程】依題意，f(x)=2sin(x?故選：C.【變式2.1】（24-25高三上·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,φ<π2滿足fπ3A．π12 B．π6 C．5π6 D．11【解答過(guò)程】由函數(shù)fx=sinωx+φ的最小正周期為因?yàn)閒(π3)=1，可得f(即φ=?π6+2kπ,k∈Z，又所以f(x)=sin將f(x)=sin[2(x?π12)]故選：A.【變式2.2】（23-24高二下·浙江寧波·期末）已知函數(shù)fx=32sinx+cos2xA．gx=sinC．gx=sin【解題思路】利用輔助角公式與三角函數(shù)的伸縮變換和平移變換即可得解.【解答過(guò)程】由fx先將函數(shù)fx可得：f1再將所得的圖象向右平移π6可得gx故選：A.【題型3由部分圖象求函數(shù)的解析式】【例3.1】（23-24高二下·湖南·期末）函數(shù)fx=2sinA．φ=B．fC．fx在區(qū)間?2024D．fx的圖象向左平移3π8【解題思路】由圖可知，f0【解答過(guò)程】對(duì)于A，由題圖可知，f0=2且x=0位于單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合?π<φ<π對(duì)于B，由圖可得ω?π8?π4又T4>π8，所以故fx對(duì)于C，fx令?2024π≤π共有8096個(gè)零點(diǎn)，故C不正確；對(duì)于D，fx的圖象向左平移3gx顯然gx所以fx的圖象向左平移3π8故選：D.【例3.2】（24-25高二上·北京海淀·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)y=Asinωx?φA>0,ω>0,0<φ<A．y=2sin2x?πC．y=2sinx?π【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象的最大值，以及對(duì)稱軸間的距離，五點(diǎn)法，分別求解析式中的參數(shù)，即可求解.【解答過(guò)程】由函數(shù)的最大值為2，可知，A=2，2πω×當(dāng)x=5π12時(shí)，2×5π12?φ=因?yàn)?<φ<π，所以φ=所以函數(shù)的解析式為y=2sin故選：B.【變式3.1】（24-25高三上·福建福州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=AsinA．fx最小正周期為B．函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=?C．函數(shù)fx在區(qū)間π2,5π6【解題思路】結(jié)合圖象先求出函數(shù)fx【解答過(guò)程】由圖可知，A=2，T2則T=π又T=2πω，則ω=2則f?π12=2sin又?π<φ<π，所以φ=則f?所以函數(shù)fx的圖象不關(guān)于直線x=?當(dāng)x∈π2,因?yàn)檎液瘮?shù)y=sinx在所以函數(shù)fx在區(qū)間π令fx=2sin則2x+2π3=kπ，k∈Z又x∈π4,3π所以函數(shù)fx在π故選：C.【變式3.2】（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=cos①函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)7π②函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為③函數(shù)fx的圖象可由y=2sinωx④函數(shù)gx=ftωx在0,πA．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解題思路】根據(jù)圖象求出ω，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各命題．【解答過(guò)程】f(x)=2(1由圖象知函數(shù)的最小正周期為T(mén)=43(π3f(7π12)=2sin由2kπ?π2≤2x+f(x)=2sin(2x+5π6)=2sin由題意g(x)=2sin(4tx+5當(dāng)t>0時(shí)，5π6<4tx+5π6<4tπ+當(dāng)t<0時(shí)，4tπ+5π6<4tx+5π6因此t的范圍是724<t≤13故選：B．【題型4結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)】【例4.1】（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）將函數(shù)fx=2sin4x?π3的圖象向右平移π3A．圖象關(guān)于直線x=πB．曲線gx與直線y=3的所有交點(diǎn)中，相鄰交點(diǎn)距離的最小值為π6C．D．圖象關(guān)于點(diǎn)π6【解題思路】先根據(jù)平移變換的知識(shí)求出gx，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì)將x=π3和x=π6代入gx求值檢驗(yàn)即可判斷選項(xiàng)AD；根據(jù)函數(shù)gx圖象結(jié)合g【解答過(guò)程】因?yàn)閒x?所以fx向右移π3個(gè)單位得函數(shù)解析式為又y=2sin4x+π所以gx對(duì)于A，因?yàn)間π3=2sin2×對(duì)于B，因?yàn)間0所以由gx=2sin2x+π相鄰交點(diǎn)距離的最小值為π6對(duì)于C，令2kπ所以當(dāng)k=0時(shí)gx的單調(diào)遞增區(qū)間為?對(duì)于D，因?yàn)間π6=2sin2×故選：B.【例4.2】（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的極大值與極小值之差為2，且fx≤fπ6對(duì)?x∈R恒成立，f(2π3)=0，A．函數(shù)gx的最小正周期為B．函數(shù)gx在0C．函數(shù)gx的圖象關(guān)于直線x=0D．函數(shù)gx圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為【解題思路】通過(guò)極大值與極小值之差為2A，fx≤fπ6對(duì)?x∈R恒成立，f(2π3)=0，f(x)在π6,2π3【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π因?yàn)閒x≤fπ6且f(2π3)=0，f(x)在π6,2π3因?yàn)閒xmax=fπ6=1，所以f(π6)=可得f(x)=sin(x+π3)，又因?yàn)閷⒑瘮?shù)fx的圖象向左平移對(duì)于A，函數(shù)gx=cos對(duì)于B，函數(shù)gx=cos對(duì)于C，函數(shù)gx=cos對(duì)于D，函數(shù)gx=cos故選：B.【變式4.1】（23-24高一下·河南駐馬店·期末）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為π，且圖象關(guān)于點(diǎn)π4,0對(duì)稱，把函數(shù)(1)求函數(shù)f(x)和g(x)的解析式；(2)若方程f(x)+kg(x)=0在x∈π6,【解題思路】（1）先由函數(shù)對(duì)稱性、周期性列式求解參數(shù)即可得出fx，利用平移伸縮變換法則可得g（2）通過(guò)換元法得出2t2?kt?1=0【解答過(guò)程】（1）由T=π，得ω=2由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)π4,0對(duì)稱，則2×π又由0<φ<π，則φ=故f(x)=sin由于f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)故g(x)=sin（2）由（1）知，把f(x)，g(x)代入方程，得cos2x+k即方程2sin2x?k令t=sinx,x∈π上述方程轉(zhuǎn)化為2t2?kt?1=0進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為k=2t?1t在令?t=2t?1t，則故?(t)∈[?1,1]，也即是k∈[?1,1].【變式4.2】（23-24高一下·四川南充·期中）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若x∈0,π2時(shí)，m<f(3)將函數(shù)fx的圖像的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的12，再將其橫坐標(biāo)向右平移π6個(gè)單位，得到函數(shù)gx的圖像．若x∈0,t【解題思路】（1）化簡(jiǎn)得到fx=2sin2x+π3，結(jié)合最小正周期的求法，即可求解；（2）由x∈0,（3）由x∈0,t，得到4x?【解答過(guò)程】（1）解：因?yàn)閒x所以fx的最小正周期T=（2）解：當(dāng)x∈0,π2當(dāng)2x+π3=4π3，即x=因?yàn)閤∈0,π2時(shí)，m<fx即實(shí)數(shù)m的取值范圍為?∞（3）解：由題意，函數(shù)gx因?yàn)閤∈0,t，所以4x?又因?yàn)楹瘮?shù)gx有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則滿足4π≤4t?所以實(shí)數(shù)t的取值范圍[13π模塊模塊二勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型1．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖5.6-2).明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理(圖5.6-2).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).【題型5四種基本圖象變換】【例5.1】（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）函數(shù)fx=2sin12x+π4的周期、振幅、初相分別是（

）A．π4C．π4，2，π4 D．4【解題思路】由函數(shù)解析式觀察出振幅，初相，再由公式求出函數(shù)的周期即可.【解答過(guò)程】∵函數(shù)y=2sin∴振幅是2，初相是π4又x的系數(shù)是12，故函數(shù)的最小正周期是T=故選：D．【例5.2】（2024·云南昆明·三模）智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理如圖1所示，是通過(guò)耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪音，然后通過(guò)聽(tīng)感主動(dòng)降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音.已知某噪音的聲波曲線y=Asinωx+π6(A>0,ω>0)A．y=2sinπx+πC．y=233【解題思路】根據(jù)圖2求出噪音的聲波曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式，再結(jié)合題意進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】由2可知：y=f(x)=Asinωx+π所以有y=f(0)=Asinf(5當(dāng)k=1時(shí)，y=f(x)=2sinπx+π6，顯然A不符合題意，此時(shí)函數(shù)的周期為2ππ=2或y=f(x?1)=2sin顯然選項(xiàng)B，C的振幅不是2，不符合題意，故選：D.【變式5.1】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知電流隨時(shí)間t變化的關(guān)系式是i=5sin(1)求電流i的周期?頻率?振幅和初相;(2)分別求t=0,1【解題思路】（1）由三角函數(shù)的A，ω和φ的意義進(jìn)行求解即可．（2）代入函數(shù)解析式求值即可.【解答過(guò)程】解：（1）∵i=5∴A=5，φ=π3所以函數(shù)的周期T=2πω=2π100π=1（2）當(dāng)t=0時(shí),i=5sin當(dāng)t=1600時(shí),當(dāng)t=1150時(shí),當(dāng)t=7600時(shí),當(dāng)t=160時(shí),【變式5.2】（23-24高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的小球上下運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻ts時(shí)相對(duì)于平衡位置O的位移yy=2sin(1)以t為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，作出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖；(2)求該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和初相．【解題思路】（1）利用“五點(diǎn)法”作圖；（2）利用振幅、周期、頻率和初相的定義求解.【解答過(guò)程】（1）解：列表：t+0ππ32t??π5π4πy020-20一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖如圖所示：

（2）因?yàn)閥=2sin所以該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為2、周期為2π、頻率為12π【題型6三角函數(shù)模型在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用】【例6.1】（23-24高二上·湖北恩施·期末）如圖，這是一半徑為4.8m的水輪示意圖，水輪圓心O距離水面2.4m，已知水輪每60s逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，若當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮出時(shí)（圖中點(diǎn)PA．點(diǎn)P距離水面的高度?m與tsB．點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要10C．在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有10s的時(shí)間，點(diǎn)P距離水面的高度不低于D．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50s時(shí)，點(diǎn)P在水面下方，距離水面【解題思路】根據(jù)條件，寫(xiě)出點(diǎn)P的高度和時(shí)間的關(guān)系式，再逐項(xiàng)判斷對(duì)錯(cuò).【解答過(guò)程】因?yàn)閺腜0開(kāi)始計(jì)時(shí)，所以水輪的高度?和時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為：?=4.8當(dāng)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)，由π30t?π6=π2由?≥4.8?sinπ30t?π6≥12?π6即水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有20s的時(shí)間，點(diǎn)P距離水面的高低不低于4.8m當(dāng)t=50時(shí)，?=4.8sin故選：D.【例6.2】（23-24高三·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，摩天輪的半徑為50m，其中心O點(diǎn)距離地面的高度為60m，摩天輪按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，且20min轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最高點(diǎn)處，則摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中下列說(shuō)法正確的是（

A．轉(zhuǎn)動(dòng)10min后點(diǎn)P距離地面B．若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動(dòng)一圈所需的時(shí)間變?yōu)樵瓉?lái)的1C．第17min和第42min點(diǎn)D．摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)P距離地面的高度不低于85m的時(shí)間長(zhǎng)為20【解題思路】設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P離地面距離的函數(shù)為ft【解答過(guò)程】設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P離地面距離的函數(shù)為：ft由題意得：A=50,?=60,T=20,ω=2f0=50sin所以ft選項(xiàng)A，轉(zhuǎn)到10min后，點(diǎn)Pf10=50故B不正確；選項(xiàng)C，因?yàn)閒=?50cosf42所以f17即第17min和第42min點(diǎn)選項(xiàng)D，令ft則cosπ10t≥解得?10所以103即摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)P距離地面的高度不低于85m的時(shí)間為203故D正確；故選：D.【變式6.1】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用．假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．如圖，將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形（圓），筒車半徑為2.4m，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為1.2m，筒車每分鐘沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)3圈．規(guī)定：盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)（即P0時(shí)的位置）時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，且以水輪的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy．設(shè)盛水筒M從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t（單位：s），且此時(shí)點(diǎn)P距離水面的高度為?（單位：m(1)求?與時(shí)間t之間的關(guān)系．(2)求點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間為多少?在轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，點(diǎn)P在水中的時(shí)間是多少?(3)若?t在0,a上的值域?yàn)?,3.6，求a【解題思路】（1）根據(jù)給定信息，設(shè)出?(t)=Asin(（2）由（1）的信息，結(jié)合周期性，求出點(diǎn)P在對(duì)應(yīng)條件下，點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心角弧度即可計(jì)算得解.（3）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式求解即得.【解答過(guò)程】（1）依題意，設(shè)?與時(shí)間t之間的關(guān)系為?(t)=Asin(由筒車半徑為2.4m，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為1.2得點(diǎn)P距離水面的高度?的最值為?max=1.2+2.4=3.6=A+K?而筒車每60s沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)3圈，則周期T=603=20由?(0)=2.4sinφ+1.2=0，得sinφ=?12所以?與時(shí)間t之間的關(guān)系是?(t)=2.4sin(（2）依題意，OP0與x軸正方向的夾角為π6，因此點(diǎn)P所以點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)所需時(shí)間為T(mén)3在轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，點(diǎn)P在水中轉(zhuǎn)動(dòng)2×(π所以點(diǎn)P在水中的時(shí)間是T3（3）由?(t)=2.4sin(π10t?π得y=sin(π10t?π由t∈[0,a]，得π10t?π6∈[?所以a的取值范圍是[20【變式6.2】（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖1）某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為90米，最低點(diǎn)距離地面10米，摩天輪上均勻設(shè)置了36個(gè)座艙（如圖2）.開(kāi)啟后摩天輪按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，游客在座艙離地面最近時(shí)的位置進(jìn)入座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后在相同的位置離開(kāi)座艙.摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開(kāi)始計(jì)時(shí).(1)經(jīng)過(guò)t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，求Ht(2)游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間，距離地面的高度恰好為30米？(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔5個(gè)座艙，從甲進(jìn)入座艙開(kāi)始計(jì)時(shí)，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，記兩人距離地面的高度差為?米，求?的最大值及此時(shí)的時(shí)間t.【解題思路】（1）設(shè)Ht=Asinωt+φ+Bω>0，根據(jù)所給條件求出A、B（2）令Ht=30，由余弦函數(shù)的性質(zhì)及（3）設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘后甲距離地面的高度為H1，則乙距離地面的高度為H2=?40cosπ【解答過(guò)程】（1）設(shè)Ht=Asin由題意知A+B=90?A+B=10又T=2πω∵H0=10，∴可取φ=?π∴Ht故解析式為Ht=?40cos（2）令Ht=30，則?cos因?yàn)閠∈0,30，則π15t∈0,2π解得t=5或t=25，故游客甲坐上摩天輪5分鐘或25分鐘時(shí)，距離地面的高度恰好為30米.（3）經(jīng)過(guò)t5≤t≤30分鐘后甲距離地面的高度為H1=?40cosπ所以乙距離地面的高度為H2=?40cos則兩人離地高度差?==?40cosπ15t+40cosπ令π15t?π又5≤t≤30，所以當(dāng)t=10或25分鐘時(shí)，?取得最大值40米.一、單選題1．（23-24高一下·四川綿陽(yáng)·期中）函數(shù)y=2sin16A．?2、12π、16x C．2、12π、16x 【解題思路】求出振幅，周期，初相.【解答過(guò)程】根據(jù)函數(shù)解析式知，振幅為2，周期為2π16故選：B.2．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）將y=sinx的圖象變換為y=sinA．將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的13倍，再將圖象向右平移πB．將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，再將圖象向右平移π18C．將圖象向右平移π6個(gè)單位，再將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1D．將圖象向右平移π6個(gè)單位，再將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍【解題思路】【解答過(guò)程】由y=sinx的圖象變換為（1）先將y=sinx的圖象向右平移π6再把所得函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的13得y=sin（2）先將y=sinx的圖象上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得y=sin3x的圖象，再把所得函數(shù)圖象向右平移得y=sin3x?故選：C.3．（23-24高一下·山東聊城·期中）如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓O上以點(diǎn)P為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，每3s轉(zhuǎn)一圈.則該質(zhì)點(diǎn)到x軸的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式是（

A．y=2sin(C．y=2sin(【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)與單位圓的關(guān)系，結(jié)合周期以及初相的定義以及幾何意義，根據(jù)“距離”，利用排除法，可得答案.【解答過(guò)程】由題意可知，函數(shù)的周期T=3，初相為?π6，則因?yàn)閥表示距離，為非負(fù)數(shù)，所以BD選項(xiàng)錯(cuò)誤；P點(diǎn)的初始位置為2cosπ6,?2sin而在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中距離最大值為2，則y=2sin故選：C.4．（24-25高三上·天津和平·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)fx=sin

A．y=f2x?12 B．y=fx2?【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的平移、伸縮變換可以得出函數(shù)關(guān)系．【解答過(guò)程】由圖1可知，T=2，所以ω=2πT圖2可看成由圖1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得fx?1再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半,縱坐標(biāo)不變，得f2x?1故選：D．5．（24-25高二上·廣西柳州·階段練習(xí)）將函數(shù)fx=sin2x+π3的圖象向右平移φ（A．π12 B．5π12 C．π【解題思路】先求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的奇偶性列關(guān)系式求φ.【解答過(guò)程】將函數(shù)fx=sin所得函數(shù)為y=sin[因?yàn)楹瘮?shù)y=sin則?2φ+π3=k所以φ=?kπ2所以k=?1，φ=5π6．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<A．ω=2B．φ=C．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)?5D．f(x)在?2【解題思路】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象求出周期可判斷A，根據(jù)點(diǎn)代入可判斷B，根據(jù)x=?5【解答過(guò)程】由圖象可知A=1，T=27π12由fπ12=sinπ由AB可知f(x)=sin2x+π可知x=?5π當(dāng)x∈?2π由于正弦函數(shù)y=sint在所以f(x)在?2故選：C.7．（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）將函數(shù)fx=sin2x+π6的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，然后將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1A．0,π8 B．π8,π4【解題思路】用三角函數(shù)的圖象變換法則得出g(x)，再求出g(x)的單調(diào)區(qū)間，即可求解．【解答過(guò)程】將函數(shù)fx=sin2x+π將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12得到函數(shù)y=gx令π2解得π6令k=0得，x∈π6,5π12故選：C．8．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,φ<①函數(shù)fx的最小正周期是π②函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=③把函數(shù)y=2sinx?π3圖像上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的④當(dāng)x∈π,A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象求出fx【解答過(guò)程】由圖象知：34T=π3??π24將B?π24,?2代入所以φ?π6=?又因?yàn)棣?lt;π2，所以φ=?當(dāng)x=11π24所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=把函數(shù)y=2sinx?π得到2sin當(dāng)x∈π,5sin4x?π3所以說(shuō)法正確的是②③.故選：C.二、多選題9．（2024高二上·福建·學(xué)業(yè)考試）某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，下列判斷正確的有（

）

A．該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅是3B．該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相是2C．該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次需要2D．該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)100s【解題思路】結(jié)合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可判斷A；設(shè)該函數(shù)解析式為fx=Asinωx+φA>0,ω>0，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得ω【解答過(guò)程】對(duì)于A，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅是3cm對(duì)于B，設(shè)該函數(shù)解析式為fx由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得12T=3.2?1.2=2πω，可得1因?yàn)榘腰c(diǎn)2.2,?3代入解析式可得?3=3sin所以1.1π+φ=?π若φ=?1.6π+2kπ對(duì)于C，由B可知T=4s對(duì)于D，該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)100s往復(fù)運(yùn)動(dòng)100÷4=25故選：ABD.10．（24-25高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2cosωx+φ（其中A．fx的最小正周期為B．fx在?C．fx的圖象可由gx=2D．函數(shù)Fx=f【解題思路】根據(jù)周期可得ω，代入最值點(diǎn)可得φ=?13π根據(jù)周期公式判斷A，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性判斷B，根據(jù)平移結(jié)論判斷C，利用輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【解答過(guò)程】由圖可得：A=2，又因?yàn)?T4=13π12?π3=3π4將(13π12,2)代入f即13π6+φ=2kπ又?π2<φ<0所以fx對(duì)于A，最小正周期T=2π對(duì)于B，令2kπ?π可得fx的單調(diào)遞增區(qū)間為[k當(dāng)k=0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為[?5π對(duì)于C，函數(shù)gx=2sin所得到的函數(shù)解析式為：gx對(duì)于D，F(xiàn)=2cos所以函數(shù)Fx=fx故選：ABD.11．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=cosωx?2π3ω>0在A．fx的最小正周期為B．fC．將fx的圖象向右平移4πD．函數(shù)y=5fx+4在【解題思路】利用函數(shù)fx的單調(diào)性求出ω的取值范圍，再由余弦型函數(shù)的對(duì)稱性求出ω的值，利用余弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；代值計(jì)算可判斷B選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換結(jié)合余弦型函數(shù)的奇偶性可判斷C選項(xiàng)；求出函數(shù)y=fx再【解答過(guò)程】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)fx=cos由?π≤x≤π所以?ωπ?2π顯然13?2k>043+4k>0，解得?13因?yàn)閒x的圖象關(guān)于直線x=且?2π3<8所以fx=cos14對(duì)于B，因?yàn)閒4π9所以f4對(duì)于C，將fx的圖象向右平移4gx對(duì)于D，因?yàn)閥=5fx令y=0，得cos1令t=14x?2π3，由?且?45??2故選：ACD.三、填空題12．（23-24高一下·上海長(zhǎng)寧·期中）函數(shù)y=Asinωx+φA>0,ω>0的振幅是2，最小正周期是π2，初始相位是?π【解題思路】根據(jù)y=2sin(4x?π12)的物理意義求解．【解答過(guò)程】由題意A=2，T=所以解析式為y=2sin故答案為：y=2sin13．（24-25高二上·安徽·開(kāi)學(xué)考試）將函數(shù)fx=cos2x+φ的圖象向右平移2π3后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則【解題思路】首先求出平移后的函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出φ的取值.【解答過(guò)程】將函數(shù)fx=cos2x+φ的圖象向右平移又y=cos2x?4解得φ=11π所以φ的最小正值為5π6故答案為：5π614．（23-24高三上·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B①f(x)關(guān)于點(diǎn)(π6②f(x)關(guān)于直線x=π③f(x)在區(qū)間[π④f(x)在區(qū)間(?5π12正確結(jié)論的序號(hào)為②③.【解題思路】先由圖象求出A,B，接著將點(diǎn)0,2代入函數(shù)f(x)結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)和φ<π2求得φ，再由f(?π6)=1和T4>π6求出ω，進(jìn)而求得函數(shù)f(x)解析式，對(duì)于①，計(jì)算f(π6)≠3即可判斷；對(duì)于②，計(jì)算f(【解答過(guò)程】由圖得A=5?12=2，B=將點(diǎn)0,2代入函數(shù)f(x)得2sinφ+3=2，即所以φ=2kπ?π6,k∈所以φ=?π6，故又f(?π6)=2所以ωπ又由圖像可知T4>π所以0<ω<3，所以ω=2，所以f(x)=2sin對(duì)于①，因?yàn)閒(π6)=2sin2×對(duì)于②，因?yàn)閒(π對(duì)于③，令2kπ+π所以函數(shù)f(x)在區(qū)間kπ故當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間π3因?yàn)閇π2,5π對(duì)于④，x∈(?5π12,π所以2sin(2x?π6)+3∈1,3，所以故答案為：②③.四、解答題15．（23-24高一·上海·課堂例題）求函數(shù)y=2【解題思路】利用三角函數(shù)振幅、頻率和初始相位的定義即可得解.【解答過(guò)程】對(duì)于y=2其振幅為A=2，周期T=則頻率為f=1T=16．（24-25高三上·黑龍江雞西·期中）已知函數(shù)，f(x)=Acos(1)求f(x)的解析式；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g(x)的圖象；若g(α)=13，α∈(0,【解題思路】（1）根據(jù)圖象得振幅和周期并求出A,ω，再根據(jù)最大值點(diǎn)求出φ，即可得函數(shù)解析式.（2）根據(jù)圖象變換得y=g(x)的解析式，再利用同角公式及兩角和的余弦公式求值.【解答過(guò)程】（1）由圖得A=2，函數(shù)f(x)的最小正周期T=4(π3?即f(x)=2c