高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練:數(shù)列(4考點(diǎn)+20題型)(解析版)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

專題04數(shù)列

考點(diǎn)大集合

「(數(shù)列的三種表示)

~(數(shù)列的分類)

K數(shù)列的有關(guān)七A-<數(shù)列的通項(xiàng)公式)

-(數(shù)列的遞推公式)題型01由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式

_(??键c(diǎn)一數(shù)列的概念與表蔡)題型02由遞推關(guān)至求數(shù)列的通項(xiàng)公式

「■(觀察法公式法)題型03數(shù)列的周期性及應(yīng)用

題型04用房數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性和最值

-(黝口法)—(爆法)

數(shù)列通項(xiàng)公式的啾求法A

L(-(梅^法)—(取倒數(shù)法)

L(三項(xiàng)遞推法)―(不動(dòng)點(diǎn)法〕))

等差數(shù)列的定義

朝01等差數(shù)列的基本量求解

等差數(shù)列的概念呈堂■會(huì)中迎題型02等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

朝03等差數(shù)列的前

通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式

O考點(diǎn)二等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和朝04等差數(shù)列的單

等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)題型05等差數(shù)列的判定與證明

-等差的性質(zhì)H置型06含絕對(duì)值等差數(shù)列求和

數(shù)列,等差數(shù)列留n贏的桂欣

L等比數(shù)列的定義,

r等比數(shù)列的概念與公式?等比中項(xiàng)題型01等百列的基本量求解

題型02等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,

O考點(diǎn)三等比數(shù)列及其前面和題型03等比數(shù)列的判定與證明

-等比數(shù)列的性質(zhì)耀04等差與等比數(shù)列綜合

一等比數(shù)列的性質(zhì){

等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

整01分組轉(zhuǎn)化法會(huì)I列的前n項(xiàng)和

「公式法一迪02裂項(xiàng)相消法新列的前n項(xiàng)和

??键c(diǎn)四數(shù)列求和及綜合問(wèn)題I幾種數(shù)列痂的常用方法并項(xiàng)前法朝03錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

題型04數(shù)列與不等式證明問(wèn)題

裂項(xiàng)相消法錯(cuò)位相減法題型05數(shù)列中的探究性問(wèn)題

整06數(shù)列新定義問(wèn)題

1去考點(diǎn)大過(guò)關(guān)

考點(diǎn)一:數(shù)列的概念與表示

核心提煉:查漏補(bǔ)缺

知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的有關(guān)概念

1、數(shù)列的三種表示:列表法、圖象法和解析式法.

2、數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

按項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

分類無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限

按項(xiàng)與項(xiàng)遞增數(shù)列q+1>%其中?EN*

間的大小遞減數(shù)列%+1<an

關(guān)系分類

常數(shù)列%+1=4

有界數(shù)列存在正數(shù)跖使同

按其他標(biāo)

擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

準(zhǔn)分類

周期數(shù)列對(duì)WGN*,存在正整數(shù)常數(shù)反使4+尢=a“

3、數(shù)列的通項(xiàng)公式:如果數(shù)列{4}的第“項(xiàng)與序號(hào)〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表達(dá),那么這個(gè)公式叫

做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

4、數(shù)列的遞推公式:如果已知數(shù)列{/}的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)凡與它的前一項(xiàng)或前幾項(xiàng))

間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式.

知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1、觀察法:已知數(shù)列前若干項(xiàng),求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析,尋找規(guī)律,從而根據(jù)規(guī)律

寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).

2、公式法

,(n=1)

(1)使用范圍:若已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”與冊(cè)的關(guān)系,求數(shù)列{(%}的通項(xiàng)“,可用公式4=I

構(gòu)造兩式作差求解.

(2)用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能,一種是“一分為二”,即分段式;另一種是“合二為一”,即弓和與合

為一個(gè)表達(dá),(要先分〃=1和〃之2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算,然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一).

3、累加法:適用于斯+1=斯+#〃),可變形為斯+1—斯=/伽)

要點(diǎn):利用恒等式斯=〃1+(〃2—。1)+(。3—〃2)+…+(斯一斯-1)(論2,〃£N*)求解

4、累乘法:適用于斯+1=/(>1)。〃,可變形為?立=/5)

要點(diǎn):利用恒等式斯=。1?詈詈…‘n>2,"CN*)求解

fli。2an-\

5、構(gòu)造法:對(duì)于不滿足a“+i=&+/(〃),斯+1=/(")即形式的遞推關(guān)系,常采用構(gòu)造法

要點(diǎn):對(duì)所給的遞推公式進(jìn)行變形構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求解

類型一:形如%M=p%+q(其中均為常數(shù)且pwO)型的遞推式:

(1)若°=1時(shí),數(shù)列{4}為等差數(shù)列;

(2)若q=0時(shí),數(shù)列{4}為等比數(shù)列;

(3)若pwl且qwO時(shí),數(shù)列{6}為線性遞推數(shù)列,其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求.方法有

如下兩種:

法一:設(shè)a,#]+2=p(a"+4),展開(kāi)移項(xiàng)整理得。"+i=paa+5-1)2,與題設(shè)%+1=pa,+q比較系數(shù)(待定系

數(shù)法)得X=—^,(pwO)=>%+i+—^="(4+一^),即卜〃構(gòu)成以

p-1p-1p-1p-1p-1[p-lj

%+」一為首項(xiàng),以P為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出1%+>二]的通項(xiàng)整理可得見(jiàn).

P-11p-i]

1

法二:由q+i=pan+q得an=pan_x+q(〃之2)兩式相減并整理得出——=p,即[an+x-an}構(gòu)成以4-卬為首

〃〃-

項(xiàng),以p為公比的等比數(shù)列.求出{%+1-%}的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出

類型二:形如%+i=pan+f(n)(/?1)型的遞推式:

(1)當(dāng)/(〃)為一次函數(shù)類型(即等差數(shù)列)時(shí):

法一:設(shè)a,+A"+3=p[qi+A("-l)+3],通過(guò)待定系數(shù)法確定A、B的值,轉(zhuǎn)化成以%+A+B為首項(xiàng),

以A:=(九:加)!為公比的等比數(shù)列{%+■+用,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出{Q〃+A〃+3}的通項(xiàng)整理

可得知.

法二:當(dāng)f(ri)的公差為d時(shí),由遞推式得:an+1=pan+f(n),an=pan_x+f(n-1)兩式相減得:

q+i-q=-?!?i)+d,令>=冊(cè)+1-冊(cè)得:a=+d轉(zhuǎn)化為類型V㈠求出bn,再用累加法便可求出

(2)當(dāng)/(〃)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時(shí):

法一:設(shè)q+4/(〃)=〃[%_]+%/(〃-1)],通過(guò)待定系數(shù)法確定X的值,轉(zhuǎn)化成以%+2/⑴為首項(xiàng),以

4"=「上不為公比的等比數(shù)列{%+肛⑺卜再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出{an+A/(?)}的通項(xiàng)整理可

IArItlI?

得?!?

法二:當(dāng)/(〃)的公比為q時(shí),由遞推式得:an+i=pan+f(n)一①,an=pan_x+/(n-l),兩邊同時(shí)乘以g得

anq=pq%+qf{n-1)—②,由①②兩式相減得見(jiàn)+1一=p(an-qa^,即&^~空_=〃,構(gòu)造等比數(shù)列。

冊(cè)-qa『i

法三:遞推公式為4+i=pan+4"(其中p,q均為常數(shù))或?!?i=pan+應(yīng)〃(其中p,q,廠均為常數(shù))時(shí),

要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以/包,得:第=3.之+工,引入輔助數(shù)列{2}(其中2=之),得:

qqqqq

bn+l=4.J,再結(jié)合第一種類型。

qq

Pa

6、取倒數(shù)法:an+x=\(p,q,廠是常數(shù)),可變形為‘一=£;+£

夕斯十「5an+i,斯P

要點(diǎn):①若p=r,則是等差數(shù)列,且公差為(可用公式求通項(xiàng);

②若p分,則轉(zhuǎn)化為a“+i=sa.+,型,再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解

7、三項(xiàng)遞推構(gòu)造:適用于形如%+2=p%+i+q盤(pán)型的遞推式

用待定系數(shù)法,化為特殊數(shù)列的形式求解.方法為:設(shè)%+2-3用=〃(%+「做,),比較系數(shù)

得h+k=p,-hk=q,可解得/7、左,于是{。用-他,}是公比為力的等比數(shù)列,這樣就化歸為%+1=+q型.

8、不動(dòng)點(diǎn)法

(1)定義:方程/(x)=x的根稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).

利用函數(shù)/(x)的不動(dòng)點(diǎn),可將某些遞推關(guān)系*H=/(%)所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列,

這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法.

(2)在數(shù)列{4}中,%已知,且〃之2時(shí),an=pan_x+q(是常數(shù)),

①當(dāng)p=l時(shí),數(shù)列{4}為等差數(shù)列;

②當(dāng)p=0時(shí),數(shù)列{。"}為常數(shù)數(shù)列;

③當(dāng)q=0時(shí),數(shù)列{%}為等比數(shù)列;

④當(dāng)1,4/0時(shí),稱%=/+q是數(shù)列{4}的一階特征方程,

其根%叫做特征方程的特征根,這時(shí)數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式為:%=(%-x)p"T+x;

1-P

(3)形如囚=/,a2=m2,an+2=p-an+l-^-q-an(p、“是常數(shù))的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得

通項(xiàng)〃〃,其特征方程為/=p%+g(*).

(1)若方程(*)有二異根a、B,則可令%=。1??!?。2?尸"(9、Q是待定常數(shù));

(2)若方程(*)有二重根。=/,則可令%=(G+"02),。〃(、。2是待定常數(shù)).

(其中《、可利用。1=叫,〃2=也求得)

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

【題型1由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式】

在數(shù)列問(wèn)題中,數(shù)列的通項(xiàng)?!芭c其前n項(xiàng)和Sc“之間關(guān)系如下%=jsS[_s(〃>2:6c=N1:),在使用這個(gè)關(guān)

系式時(shí),要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列{%}的%與S“關(guān)系時(shí),先令〃=1求出首項(xiàng)%,然

后令〃22求出通項(xiàng)4=5“一號(hào)1,最后代入驗(yàn)證。解答此類題常見(jiàn)錯(cuò)誤為直接令求出通項(xiàng)

an=Sn-,也不對(duì)n=i進(jìn)行檢驗(yàn)。

已知S,求斯的三個(gè)步驟

(1)利用m=Si求出研

(2)當(dāng)n>2時(shí),利用斯=$"—S1T(論2)求出?!暗谋磉_(dá)式.

(3)看句是否符合佗2時(shí)如的表達(dá)式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě);否則應(yīng)寫(xiě)成分段的形

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問(wèn)題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化.

(1)利用斯=S〃一(論2)轉(zhuǎn)化為只含S”Sl的關(guān)系式,再求解.

(2)利用S“一S“T=a”(論2)轉(zhuǎn)化為只含斯,斯t的關(guān)系式,再求解.

1.(2024.河南開(kāi)封.二模)已知數(shù)列{%}的前w項(xiàng)和為S“=3"-l,則%=()

A.81B.162C.243D.486

【答案】B

【解析】數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和為E,=3"-1,所以%=醺-邑=35-34=162.故選:B

2.(2024.四川.模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列{凡}的前〃項(xiàng)和為S“,若S〃=2〃T-g,則數(shù)列{為}的通項(xiàng)公式為()

[1?

A.4=2B.a?=2-1

2n,n>2

n22

C.an=(-2)-D.an=2"-

【答案】D

【解析】5?=2--1-1,當(dāng)”=1時(shí),?,=S,=20-l=l

222

n22

當(dāng)〃上2,%=3一5?_1=2-'-2-=2-嗎=;也滿足,

所以數(shù)列{%,}的通項(xiàng)公式為凡=2"-2.故選:D

3.(2024?福建漳州?一模)已知各項(xiàng)均不為。的數(shù)列{%}的前”項(xiàng)和為S“,若3S.=a“+l,則2=()

A.----B.—C.gD.—

2323

【答案】A

【解析】因?yàn)?S,=%+1,貝!13s,=4+i+l,

兩式相減可得:3%+1=%+1-%,BP2an+i=-an,

令〃=7,可得2%=-%,且?!?。,所以,_=-g.故選:A.

4.(2024?江蘇?一模)已知正項(xiàng)數(shù)列{q}滿足」一+」一+…+」-=3~g(〃£N*),若〃5-24=7,則囚=

()

D.2

【答案】D

11

【解析】九=1時(shí),---=不

a{a23

1_nn—\_1

〃22時(shí),

anan+l2n+l2n-l4/-1

1

—,:.a5a6=99,/.a6(2a6+7)=99),

a5a6

11"7

iOa=

a6=—,a5=18,a4a5=63,/.4~

,/a3a4=35,/.a3=10,

a2a3=15,/.a2=—,6%=3,「.q=2.故選:D.

5.(23-24高三上?廣東深圳?階段練習(xí)汜知q+2/+3/+…+叫=1一*("?N*),求數(shù)列an=.

--,n=1

【答案】2

—,n>2

[T

31

【解析】〃=1時(shí),^1=1--=--,

M+2

〃22日寸,由。]+2a2+3a3+???+nc1rl—1———

n+1

有*q+2a2+3/+???+(〃—1)〃“一1

2^

n]

兩式相減,得曲L亍,則有%=吩,

〃=1時(shí),%不符合4=5,

11

——,n=1

,2

所以與=,

—,n>2

12"

【題型2由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式】

1、累加法:形如%型的遞推數(shù)列(其中/(")是關(guān)于"的函數(shù))構(gòu)造:/I一"”一2='("2)

a2-ax=f(1)

…一D

2、累乘法:形如=%"(〃)],=/(")]型的遞推數(shù)歹U(其中/(〃)是關(guān)于"的函數(shù))構(gòu)造:,七一2)

&=")

ax

3、構(gòu)造法:

(1)形如%+i=〃4+9(為常數(shù),〃夕。。且pwl)的遞推式,可構(gòu)造4+1+2=p(a〃+丸),轉(zhuǎn)化為等

比數(shù)列求解.也可以與類比式為=〃%_]+9作差,由4+「4=p&-4_]),構(gòu)造{4+]-%}為等比數(shù)列,然

后利用疊加法求通項(xiàng).

n

(2)形如an+i=pan+d(pwO且pwl,dwl)的遞推式,當(dāng)p=d時(shí),兩邊同除以d"1轉(zhuǎn)化為關(guān)于

的等差數(shù)列;當(dāng)pwd時(shí),兩邊人可以同除以d向得耨=轉(zhuǎn)化為6角=9在+:.

CXCvCTC-vvv

(3)通過(guò)配湊轉(zhuǎn)化為q+A幾+B=〃&_i+A(〃-l)+B],通過(guò)待定系數(shù)法確定A、3的值,轉(zhuǎn)化成以

q+A+B為首項(xiàng),以A"=Q侖研為公比的等比數(shù)列{%+Aw+3},再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

{“"+A"+8}的通項(xiàng)整理可得an.

4、取倒數(shù)法:對(duì)于an+l0),取倒數(shù)得—="也+

b+canan+xaanaana

當(dāng)。=人時(shí),數(shù)列圖是等差數(shù)列;

]hr

當(dāng)axb時(shí),令b,=±,則6用也+上,可用待定系數(shù)法求解.

anaa

1.(2024?山東濰坊?一模)已知數(shù)列{4}滿足q=0,電=1.若數(shù)歹!1{?!??!?1}是公比為2的等比數(shù)列,則

“2024=()

224

)202312°+1

A.L+「B.-~~—C.21012-1D.21011-1

33

【答案】A

2

【解析】依題意,4+肝=1,a.+a“+i=2"T,當(dāng)"N2時(shí),a^+an=T-,貝I).用一%_=2*2,

a

所以。2024=。2+(。4-2)+(。6----------*(。2024~2022)=1+2+23+2〉+卜2~°''

2(1一4叫22。23+1痂、生人

=1+—-----------------------.故選:A

1-43

2.(23-24高三上?河南?期中)在數(shù)列{%,}中,a?>0,4=1,冬土&=2”,則對(duì)?=()

A.4舊B.15C.7223D.10

【答案】B

【解析】因?yàn)楸?2n,所以匕]+4=2〃(匕「?,即(l—2")a*=(-2〃-1)U,得冬=沼.

"〃+1—%冊(cè)2〃—i

22222

Ctna,2

所以琉3=^X零/零*2252232215

,X2X2Xai=--------X---------X---------X???X-=225.

4124110noa2q22322121931

因?yàn)?>0,所以〃H3=15.故選:B.

3.(23-24高三下?安徽?開(kāi)學(xué)考試)已知正項(xiàng)數(shù)列{。,}滿足。用=—°4,則%=()

2n%

A.—B.—C.-D.-

16842

【答案】B

【解析】依題意,4言=占組,則數(shù)歹u{組}是以;為公比的等比數(shù)列,

〃+12nn2

因此”=幺(1],所以S=5.故選:B

84⑵%8

4.(2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列{4}滿足q=1,2.用-%+GA+1=0(?eN*),則數(shù)列{a“}的通項(xiàng)公

式為.

【答案】氏=:

Z—1

【解析】數(shù)列{%}中,4=1,2〃用—=0,顯然為wo,

貝U有^—=2,工+1,即+1=2(工+1),而工+1=2,

4+144+14

1”

因此數(shù)歹!J{f一+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

an

所以工+1=2",即。=工.

an2"-1

5.(23-24高三上?河南焦作?開(kāi)學(xué)考試)己知數(shù)列{4}滿足。角=3見(jiàn)+2,a3+a2=22,則滿足4>160的最

小正整數(shù)〃二.

【答案】5

%—3a2+2〃2=5

【解析】由,解得

。3+〃2=22a3=17

又%=36+2,所以〃1=1.

另一方面由。用=3%+2,可得4什1+1=3(%+1),

所以{%+1}是首項(xiàng)為4+1=2,公比為3的等比數(shù)歹U,

所以%=2x3”--1,易知{%}是遞增數(shù)列,

又。4=2x27—1=53,a5=2x81—1=161,

所以滿足。,>160的最小正整數(shù)〃=5.

【題型3數(shù)列的周期性及應(yīng)用】

1、周期數(shù)列的常見(jiàn)形式

(1)利用三角函數(shù)的周期性,即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù);

(2)相鄰多項(xiàng)之間的遞推關(guān)系,如后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的差;

(3)相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系,等式中一側(cè)含有分式,又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列.

2、解決此類題目的一般方法:根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng),通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期,進(jìn)而求

有關(guān)項(xiàng)的值或者前〃項(xiàng)的和.

---J

1.(2024?廣西南寧?一模)已知數(shù)列{2}的首項(xiàng)為=。(其中awl且awO),當(dāng)“22時(shí),4=匚一,則

1—%-1

A.aB.—C.1--D.無(wú)法確定

1-aa

【答案】B

_1_a-l

【解析】4=%凡=1一,°3=:一1=丁

\-a】一;---

1-a

故數(shù)列{4}的周期為3.故々2024=々3x674+2=々2=故選:B

+1,%為奇數(shù)

2.(2024?甘肅蘭州?一模)數(shù)列{4}滿足%=2皿,。向1則02024=)

4為偶數(shù)

A.5B.4C.2D.1

【答案】B

3(2?+1,4為奇數(shù)

【解析】因?yàn)椋?2皿,??+1=1

-a,a”為偶數(shù)

、2n

所以%=;4=2皿°,%=;出=2必9,L,。皿|=2,

aW12=1,G1013=4,fl1014=2,010]5=1,L,

又2024=1012+3x337+1,所以出。24=%。13=4.故選:B

3.(2024?四川宜賓?二模)在數(shù)列{%}中,已知4=2,電=1,且滿足。,+2+%=4用,則數(shù)列{4}的前2024

項(xiàng)的和為()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】由題意得an+2="〃+1—an?用”+1替換式子中的“,得an+3=?!?2~an+\?

兩式相加可得%+3=-4,即為+6=-%+3=?!?,所以數(shù)列{?!埃且?為周期的周期數(shù)列.

又〃]=2,%=1,/.=—1,=-2,。5==]?

所以數(shù)列{〃〃}的前2024項(xiàng)和S2024=337(4+%---^々6)+“1+%=3.故選:A.

4.(2024?山西?一模)已知數(shù)列{見(jiàn)}滿足凡4+1=2%+]—凡—1,且。1=3,則。2024=()

A.—B.—4C.—D.—

543

【答案】B

【解析】由題意可知3%=2%—3—1=>%=—4,

0皿1125c

問(wèn)理。3=-],。4=g,〃5==3,%=-4zi…,

即{%,}是以6為周期的數(shù)列,所以電網(wǎng)=%337+2=2=7.故選:B

5.(2024?內(nèi)蒙古包頭?一模)已知數(shù)歹!]{4“}的前”項(xiàng)和為S,,q=2,%=3,an+2=an+l-an,則S?I=

【答案】6

【解析】因?yàn)?=2,%=3,an+2=an+l-an,

貝〃3=〃2-〃]=1,a4=a3~a2=—2,a5=a4—a3=—3,a6=a5—a4=—1,an=a6—a5=2,

所以數(shù)列{〃〃}是周期為6的數(shù)列,且S6=%+。2+。3+。4+。5+。6=2+3+1—2—3—1二(),

所以§21=S3X6+3—S3=〃]+。2+。3=6.

【題型4用函數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性和最值】

求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法

(1)將數(shù)列視為函數(shù)/(x)當(dāng)xGN*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值,根據(jù)〃尤)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象,或利用

求函數(shù)最值的方法,求出/(x)的最值,進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng).

(2)通過(guò)通項(xiàng)公式a“研究數(shù)列的單調(diào)性,

a>a,{a<a.

利用""T(〃22)確定最大項(xiàng),利用《""T(〃22)確定最小項(xiàng).

[42an+1[an<an+l

(3)比較法:

①若有%+i-a”=/("+1)-/(”)>。(或a“>0時(shí),-^>1),

則即數(shù)列{”"}是遞增數(shù)列,所以數(shù)列{4}的最小項(xiàng)為q=/XD;

%+i

②若有-%=/(〃+1)一/(〃)<0(或>0時(shí)<1)

%

則4+1<an,即數(shù)列{”"}是遞減數(shù)列,所以數(shù)列和“}的最大項(xiàng)為1=/(I)

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)歹!]{2}滿足%=f,a”+「2a“=f+l,若{4“}是遞減數(shù)列,則實(shí)數(shù)7的取值

范圍為()

A.(-1,1)B.(一與0)C.(-1,1]D.(1,+oo)

【答案】B

【解析】將。"+1-2凡=-〃+1整理得為+1-(〃+1)=2(%-〃),

又=易知當(dāng)/=1時(shí),q=1,%=2,不滿足{4“}是遞減數(shù)列,故fwl

因此數(shù)列{%-科是以"1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

故%-九=(r_l)2i,因此%=“+?―1)2'T,

由于{?!埃沁f減數(shù)列,故。“+|<見(jiàn)恒成立,得〃+1+

化簡(jiǎn)得(1T)2"T>1,故1—>生,

因此1-/>不丁=1,解得/<0,故選:B.

2.(23-24高三下.湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))已知數(shù)列{%,}滿足a.=3〃—(〃eN*RwR),貝廣b<3”是“{a1}是

遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)6<3時(shí),a“=3n-b>0,則I""|=|3"-口=3"-6,{|a"|}是遞增數(shù)列;

反之,當(dāng)。=3時(shí),\an1=377-3,數(shù)列{|?!皘}遞增,

因此數(shù)列{I%I}是遞增數(shù)列時(shí),b可以不小于3,

所以“<3”是241}是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選:A

3.(2024?遼寧?一模)若函數(shù)/(x)使得數(shù)列巴=/(〃),“eN*為遞減數(shù)列,則稱函數(shù)〃x)為“數(shù)列保減函

數(shù)”,已知函數(shù)〃x)=lnx-依為“數(shù)列保減函數(shù)”,則。的取值范圍()

A.[in3,+oo)B.(ln2,+co)C.[1,+co)D.(0,+co)

【答案】B

【解析】由題可知+1)</⑺對(duì)任意的〃cN*恒成立,

即a>In[1+J)對(duì)任意的〃eN*恒成立,

因?yàn)椤?1+!在”21時(shí)單調(diào)遞減,y=lm在/>0時(shí)單調(diào)遞增,

n

.[y=ln[l+:]在〃上1時(shí)單調(diào)遞減,

+在w=l時(shí)取最大值,且最大值為ln2,.〔aAlnZ.故選:B.

4.(2024?安徽阜陽(yáng)?一模)已知數(shù)列{%}滿足aa=2/+/l〃(XeR),則“{a.}為遞增數(shù)列“是“》0”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由{??}為遞增數(shù)列得,%-4=[2(〃+If+X(n+l)]-(2n2+加)=幾+4〃+2>0,〃eN卡,

則4>-(4〃+2)對(duì)于〃€、恒成立,得4>一6.可得;120=2>-6,反之不行,故選:C.

5.(23-24高三下?重慶?階段練習(xí))已知數(shù)列{%}滿足4+2=3%-2q,6=4%=2,{4}單調(diào)遞增,貝巾的

取值范圍為()

A.(-oo,l)B.(-co/]C.(-oo,l)U(l,2)D.(-oo,2)

【答案】D

【解析】由an+2=3an+i-2a.得an+2-an+1=2(??+1-??),

又{4“}單調(diào)遞增,故。角一%>0,

所以數(shù)列{。“+「〃”}是以2-%=2-2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

所以%+i-g=(2-九>2"T,又{an}單調(diào)遞增,

所以(2-九>2"7>0對(duì)任意正整數(shù)〃恒成立,

所以2-;1>0,得4<2,故選:D.

考點(diǎn)二:等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

?核心提煉;查漏補(bǔ)缺

知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的概念及公式

1、等差數(shù)列的定義

(1)文字語(yǔ)言:一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù);

(2)符號(hào)語(yǔ)言:“一冊(cè)=44*,d為常數(shù)).

2、等差中項(xiàng):若三個(gè)數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列,則A叫做。,。的等差中項(xiàng).

3、通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式

(1)通項(xiàng)公式:=q+("-1)”.

(2)前"項(xiàng)和公式:S“=叼+—,="(4+*.

22

(3)等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

①通項(xiàng)公式:當(dāng)公差4工0時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?!?%+5-1必=而+%-1是關(guān)于"的一次函數(shù),

且一次項(xiàng)系數(shù)為公差”.若公差d>0,則為遞增數(shù)列,若公差d<0,則為遞減數(shù)列.

②前“項(xiàng)和:當(dāng)公差d*0時(shí),S“=,/+如六4=5"+(%-3)〃是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.

知識(shí)點(diǎn)2等差數(shù)列的性質(zhì)

已知數(shù)列{%}是等差數(shù)列,S“是其前”項(xiàng)和.

1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì):

(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(ji-m)d{n,mE,N*).

(2)^k+l=m+n(k,l,m,nGN"),貝/+可=+a〃.

(3)若{4}的公差為d,貝|{。2“}也是等差數(shù)列,公差為2d.

(4)若{2}是等差數(shù)列,貝支2見(jiàn)+能,}也是等差數(shù)列.

2、等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

(1)S?,=〃(%+的“)=???="("“+。“+1);

⑵邑"_1=(2〃-1)”“;

⑶兩個(gè)等差數(shù)列{4},也}的前n項(xiàng)和S“,T”之間的關(guān)系為>=%

i2n-\"n

(4)數(shù)列鼠,S2m-S/S—J…構(gòu)成等差數(shù)列.

(5)若項(xiàng)數(shù)為2〃,貝IJS偶一8奇="〃,寸"二j';

)偶an+l

S片n

(6)若項(xiàng)數(shù)為2〃一1,則S偶=(幾-1)。〃,S奇S奇-S偶=

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