72復數(shù)的四則運算透課堂-2021-2022學年高一數(shù)學滿分計劃（人教A版2019）

20212022學年高一數(shù)學【考題透析】滿分計劃系列(人教A版2019必修第二冊)7.2復數(shù)的四則運算【知識導學】知識點一復數(shù)加法與減法的運算法則1.設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數(shù)，則(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2.對任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).知識點二復數(shù)加減法的幾何意義如圖，設(shè)復數(shù)z1，z2對應向量分別為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))與復數(shù)z1＋z2對應，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))與復數(shù)z1－z2對應.知識點三復數(shù)乘法的運算法則和運算律1.復數(shù)的乘法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數(shù)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.復數(shù)乘法的運算律對任意復數(shù)z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結(jié)合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3知識點四復數(shù)除法的法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意兩個復數(shù)，則eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).【考題透析】透析題組一：復數(shù)的加減法的代數(shù)運算1．（2022·全國·高一）復數(shù)等于（

）A． B． C． D．2．（2021·安徽·宣城市勵志中學高一階段練習）計算：（1）；（2）已知，，求，．3．（2021·上?！じ咭徽n時練習）已知復數(shù)滿足.（1）求；（2）若，求.透析題組二：復數(shù)加減法的幾何意義4．（2020·全國·高一專題練習）已知，，，，求.5．（2020·全國·高一）如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別對應復數(shù)0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量對應的復數(shù)；（2）向量對應的復數(shù)；（3）向量對應的復數(shù)．6．（2021·全國·高一課時練習）已知四邊形是復平面內(nèi)的平行四邊形，是原點，點分別表示復數(shù)，是，的交點，如圖所示，求點表示的復數(shù).透析題組三：復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算7．（2022·湖南·高一課時練習）計算：(1)； (2)；(3)； (4)．8．（2021·全國·高一課時練習）計算：(1) (2) (3) (4)9．（2021·全國·高一課時練習）計算：(1)； (2)； (3)； (4)．透析題組四：復數(shù)范圍內(nèi)解方程10．（2021·江蘇如東·高一期中）方程的一個根為，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)的值為（

）A．10 B．10 C．6 D．811．（2021·江蘇·無錫市堰橋高級中學高一期中）已知是關(guān)于的方程的根，則實數(shù)（

）A． B．4 C． D．412．（2021·全國·高一專題練習）已知是一元二次方程的根（，，為虛數(shù)單位），則（

）A．8 B．7 C．4 D．透析題組五：復數(shù)代數(shù)形式的除法運算13．（2022·湖南·高一課時練習）計算：(1)； (2)； (3)； (4)．14．（2022·全國·高一）已知復數(shù)，是實數(shù).(1)求復數(shù)z；(2)若復數(shù)在復平面內(nèi)所表示的點在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍.15．（2021·湖北·高一期末）已知是關(guān)于的方程的一個根，其中為虛數(shù)單位．(1)求的值；(2)記復數(shù)，求復數(shù)的模．透析題型六：共軛復數(shù)的計算16．（2021·湖北·高一期末）已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），設(shè)是的共軛復數(shù)，則的虛部是（

）A． B． C． D．17．（2021·廣東·肇慶市高要區(qū)第二中學高一階段練習）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應點在射線上，且，則復數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．18．（2021·廣東海豐·高一階段練習）已知，是虛數(shù)單位，復數(shù)是的共軛復數(shù)，則（

）A． B． C． D．3透析題型六：復數(shù)的綜合運算19．（2021·全國·高一課時練習）已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)對應的點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限20．（2021·全國·高一單元測試）已知復數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù)（是的共軛復數(shù)）．（1）設(shè)復數(shù)，求；（2）設(shè)復數(shù)，且復數(shù)所對應的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍．21．（2021·江蘇張家港·高一期中）(1)已知復數(shù)是關(guān)于x的方程的一個根，求的值；(2)已知復數(shù)，，，求．【考點同練】一、單選題22．（2022·四川·眉山市彭山區(qū)第一中學模擬預測（文））已知復數(shù)z滿足，則z=（

）A． B．C． D．2－i23．（2022·河南安陽·二模（文））（

）A． B． C． D．24．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學校高三開學考試（理））若復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限25．（2022·廣東高州·二模）設(shè)（i是虛數(shù)單位，，），則（

）A． B． C．2 D．26．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預測（理））已知復數(shù)為z的共軛復數(shù)，則（

）A． B． C． D．27．（2022·江蘇南通·一模）已知復數(shù)與都是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．28．（2022·湖南·雅禮中學高三階段練習）已知復數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部為i B．C．的共軛復數(shù) D．為純虛數(shù)29．（2022·廣東·模擬預測）18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數(shù)，使復數(shù)及其運算具有了幾何意義．例如，，即復數(shù)的模的幾何意義為在復平面內(nèi)對應的點到原點的距離．在復平面內(nèi)，若復數(shù)對應的點為，為曲線上的動點，則與之間的最小距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多選題30．（2022·湖北武漢·高三階段練習）已知兩個復數(shù)滿足，且，則下面說法正確的是（

）A． B．C． D．31．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三期末）關(guān)于復數(shù)(i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是（

）A．|z|＝1 B．z＋z2＝－1 C．z3＝－1 D．(z＋1)3＝i32．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)是復數(shù)，則下列命題中的真命題是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則三、填空題33．（2022·湖南·高一課時練習）若復數(shù)，，則的虛部為___________．34．（2022·浙江·模擬預測）若關(guān)于的復系數(shù)一元二次方程的一個根為，則另一個根________．35．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知復數(shù)對應的點在復平面第一象限內(nèi)，甲、乙、丙三人對復數(shù)的陳述如下為虛數(shù)單位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陳述中，有且只有兩個人的陳述正確，則復數(shù)______．36．（2021·上海市徐匯中學高二期末）設(shè)，復數(shù)，，若是純虛數(shù)，則a=______【答案精講】1．A【解析】【分析】按照復數(shù)的加法和減法法則進行求解.【詳解】故選：A.2．（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的加減法法則，實部與實部對應加減，虛部與虛部對應加減，即可運算得到結(jié)果；（2）根據(jù)復數(shù)的加法、減法法則運算即可.【詳解】（1）；（2），，，3．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)復數(shù)，利用復數(shù)的乘法運算以及復數(shù)相等即可求解.（2）利用共軛復數(shù)的概念以及復數(shù)的加法運算求出，然后再利用復數(shù)模的求法即可求解.【詳解】（1）設(shè)復數(shù)，則由復數(shù)相等得，解得（2）由（1）得∴∵∴∴.【點睛】本題考查了復數(shù)的乘法運算、復數(shù)相等、共軛復數(shù)的概念、復數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.4．【解析】利用向量的幾何意義畫出圖形，數(shù)形結(jié)合即可解答.【詳解】解：如圖，設(shè)對應的復數(shù)為，對應的復數(shù)為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，向量表示的復數(shù)為,,則為等邊三角形,,則,,表示的復數(shù)為,.【點睛】本題考查復數(shù)幾何意義的應用，屬于基礎(chǔ)題.5．（1）－3－2i；（2）5－2i；（3）1＋6i．【解析】【分析】結(jié)合復數(shù)的幾何意義和向量的線性運算即可求解.【詳解】（1）因為，所以向量對應的復數(shù)為－3－2i；（2）因為＝－，所以向量對應的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；（3）因為＝＋，所以向量對應的復數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．【點睛】本題考復數(shù)的幾何意義，向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題6．，【解析】利用求得點表示的復數(shù),利用求得點表示的復數(shù)【詳解】因為,分別表示復數(shù),,所以表示的復數(shù)為,即點表示的復數(shù)為,又,所以表示的復數(shù)為,即點表示的復數(shù)為【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題7．(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】利用復數(shù)的運算法則，直接計算求解即可(1)(2)(3)(4)8．(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）利用復數(shù)的乘方運算即可求解.（2）利用復數(shù)的乘法運算即可求解.（3）利用復數(shù)的乘法運算即可求解.（4）利用復數(shù)的乘方以及乘法運算即可求解.(1)(2)(3)(4)9．(1)(2)(3)5(4)【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則即可得到答案.(1).(2).(3).(4).10．B【解析】【分析】結(jié)合實系數(shù)的一元二次方程在復數(shù)范圍內(nèi)的兩根的關(guān)系求出另外一根，進而結(jié)合韋達定理以及復數(shù)的乘法運算即可求出結(jié)果.【詳解】因為方程的一個根為，故方程的一個根為，結(jié)合韋達定理可得，即，故選：B.11．B【解析】【分析】由方程根的意義，把代入方程計算整理，借助復數(shù)為0的條件列式求解即得.【詳解】因是關(guān)于的方程的根，則有，即，而，于是得，解得，所以實數(shù).故選：B12．C【解析】【分析】將代入到方程，根據(jù)復數(shù)相等可求出，由此求出結(jié)論．【詳解】解：∵是一元二次方程的根，∴，即，∴，解得，∴，故選：C．13．(1)，(2)，(3)，(4).【解析】【分析】這四個小問都是同一個問題，就是分母實數(shù)化，運用復數(shù)除法法則進行計算求解結(jié)果.(1)；(2)；(3)；(4)；故答案為：，，，.14．(1)(2)【解析】【分析】（1）先將代入化簡，再由其虛部為零可求出的值，從而可求出復數(shù)，（2）先對化簡，再由題意可得從而可求得結(jié)果(1)因為，所以，因為是實數(shù)，所以，解得.故.(2)因為，所以.因為復數(shù)所表示的點在第二象限，所以解得，即實數(shù)m的取值范圍是.15．(1)(2)【解析】【分析】（1）由題知，即，再根據(jù)復數(shù)相等求解即可；（2）由（1）得，故，再求模即可.(1)解：知是關(guān)于的方程的一個根，所以，即，所以，解得.所以(2)解：由（1）得復數(shù)，所以所以復數(shù)的模為16．B【解析】【分析】先求出共軛復數(shù)，從而可求出其虛部【詳解】由，得，所以的虛部是，故選：B17．A【解析】【分析】不妨設(shè)，由復數(shù)的模長公式求出的值，利用共軛復數(shù)的定義可求得復數(shù)的虛部.【詳解】不妨設(shè)，則，可得，，因此，復數(shù)的虛部為.故選：A.18．D【解析】【分析】按照復數(shù)的除法法則對其進行運算，根據(jù)共軛復數(shù)的概念列出關(guān)于的方程組，解出即可.【詳解】∵復數(shù)，復數(shù)為其共軛復數(shù)，∴解得∴，故選：D.19．D【解析】【分析】先化簡，再利用復數(shù)的除法化簡得解.【詳解】.所以復數(shù)對應的點在第四象限，故選：D【點睛】結(jié)論點睛：復數(shù)對應的點為，點在第幾象限，復數(shù)對應的點就在第幾象限.20．（1）；（2）【解析】【分析】(1)先根據(jù)條件得到，進而得到，由復數(shù)的模的求法得到結(jié)果；（2）由第一問得到，根據(jù)復數(shù)對應的點在第一象限得到不等式，進而求解.【詳解】∵，∴.∴.又∵為純虛數(shù)，∴，解得．∴.（1），∴；（2）∵，∴，又∵復數(shù)所對應的點在第一象限，∴，解得：．【點睛】如果是復平面內(nèi)表示復數(shù)的點，則①當，時，點位于第一象限；當，時，點位于第二象限；當，時，點位于第三象限；當，時，點位于第四象限;②當時，點位于實軸上方的半平面內(nèi)；當時，點位于實軸下方的半平面內(nèi)．21．(1)12；(2).【解析】【分析】(1)把代換中的x，化簡，再由復數(shù)相等解得；(2)把z1，z2代入式中，利用復數(shù)運算計算出z而得解.【詳解】(1)因為是方程的一個根，∴∴，而∴∴，∴(2)∵，，∴，∴22．C【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算求解即可.【詳解】，故答案為：C．23．C【解析】【分析】直接利用復數(shù)的除法運算和模的公式化簡求值.【詳解】解：原式=.故選：C24．D【解析】【分析】利用復數(shù)的除法求出復數(shù)z即可判斷作答.【詳解】依題意，，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為，所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限.故選：D25．B【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法求出x、y，即可求出.【詳解】因為，所以，所以.故選：B26．A【解析】【分析】利用共軛復數(shù)、復數(shù)除法運算等知識求得正確答案.【詳解】，.故選：A27．C【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，根據(jù)復數(shù)的四則運算可得出關(guān)于的等式與不等式，求出的值，即可得解.【詳解】因為為純虛數(shù)，設(shè)，則，由題意可得，解得，因此，.故選：C.28．D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算法則，結(jié)合復數(shù)模的定義、共軛復數(shù)的定義，結(jié)合復數(shù)虛部的定義、純虛數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】解：∵，∴z的虛部為1，為純虛數(shù)，，∴正確的結(jié)論是D．故選：D．29．B【解析】【分析】化簡，得到，再根據(jù)的幾何意義和圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因為，所以，又因為曲線表示以為圓心，1為半徑的圓，所以，故與之間的最小距離為.故選：B.30．ABD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算和相等復數(shù)的概念求出，進而結(jié)合復數(shù)的幾何意義和共軛復數(shù)的概念依次判斷選項即可.【詳解】由題意知，設(shè)為實數(shù))，則，即，所以，解得，所以，故A正確；，