清單02全等三角形（8個(gè)考點(diǎn)梳理題型解讀核心素養(yǎng)提升中考聚焦）

清單02全等三角形（8個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)一．全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符號(hào)“全等”用符號(hào)“≌”表示．注意：在記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)位置上．（4）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．1．（2022秋?劍閣縣期末）下列說法正確的是（）A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等圖形 B．兩個(gè)全等圖形形狀一定相同 C．兩個(gè)周長相等的圖形一定是全等圖形 D．兩個(gè)正三角形一定是全等圖形【分析】根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A：兩個(gè)面積相等的圖形不一定是全等圖形，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B：兩個(gè)全等圖形形狀一定相同，故B正確，符合題意；C：兩個(gè)周長相等的圖形不一定是全等圖形，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D：兩個(gè)正三角形不一定是全等圖形，故D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等圖形，熟練運(yùn)用“能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形”是本題的關(guān)鍵．2．（2022秋?東莞市期末）下列各組圖形中，是全等形的是（）A．兩個(gè)含60°角的直角三角形 B．腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰直角三角形 C．邊長為3和4的兩個(gè)等腰三角形 D．一個(gè)鈍角相等的兩個(gè)等腰三角形【分析】綜合運(yùn)用判定方法判斷．做題時(shí)根據(jù)已知條件，結(jié)合全等的判定方法逐一驗(yàn)證．【解答】解：A、兩個(gè)含60°角的直角三角形，缺少對(duì)應(yīng)邊相等，所以不是全等形；B、腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰直角三角形，符合AAS或ASA，或SAS，是全等形；C、邊長為3和4的兩個(gè)等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3不一定全等對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確不一定全等；D、一個(gè)鈍角相等的兩個(gè)等腰三角形．缺少對(duì)應(yīng)邊相等，不是全等形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，還要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系．考點(diǎn)二．全等三角形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)2：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等說明：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線以及對(duì)應(yīng)角的平分線相等②全等三角形的周長相等，面積相等③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．②要正確區(qū)分對(duì)應(yīng)邊與對(duì)邊，對(duì)應(yīng)角與對(duì)角的概念，一般地：對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角是對(duì)兩個(gè)三角形而言，而對(duì)邊、對(duì)角是對(duì)同一個(gè)三角形的邊和角而言的，對(duì)邊是指角的對(duì)邊，對(duì)角是指邊的對(duì)角．3．（2022秋?莊河市期末）如圖，圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（）A．50° B．71° C．58° D．59°【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可知∠α是a、b邊的夾角，然后寫出即可．【解答】解：∵三角形內(nèi)角和是180°，∴a、b邊的夾角度數(shù)為：180°﹣71°﹣50°＝59°，∵圖中的兩個(gè)三角形全等，∴∠α等于59°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的夾角準(zhǔn)確確定出對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?丹陽市校級(jí)期末）已知△ABC≌△DEF，AC＝9cm，則DF＝cm．【分析】由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴DF＝AC＝9（cm）．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．考點(diǎn)三．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．5．（2022秋?莘縣期末）如圖，BC＝BD，那么添加下列選項(xiàng)中的一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠BAC＝∠BAD C．∠ABC＝∠ABD D．∠C＝∠D＝90°【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【解答】解：∵AB＝AB，BC＝BDA．添加AC＝AD，根據(jù)SSS，可以證明△ABC≌△ABD，不符合題意；B．添加∠BAC＝∠BAD，不能證明△ABC≌△ABD，符合題意；C．添加∠ABC＝∠ABD，根據(jù)SAS，可以證明△ABC≌△ABD，不符合題意；D．添加∠C＝∠D＝90°，根據(jù)HL，可以證明△ABC≌△ABD，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?嘉魚縣期末）如圖，點(diǎn)A、D在線段BC的兩側(cè)，且∠A＝∠D＝90°．試添加一個(gè)條件，使△ABC≌△DBC．并寫出證明過程．【分析】根據(jù)題意可知BC＝BC，∠A＝∠D＝90°，再利用AAS定理判定△ABC≌△DBC即可．【解答】解：添加的條件：∠ABC＝∠DBC，證明如下：在△ABC和△DBC中，，∴△ABC≌△DBC（AAS）．（答案不唯一）若是AB＝DB（或AC＝DC），則判定△ABC≌△DBC的理由是HL，若是∠ACB＝∠DCB，則判定△ABC≌△DBC的理由是AAS．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．7．（2023春?渠縣校級(jí)期末）已知：如圖，AC∥DF，點(diǎn)B為線段AC上一點(diǎn)，連接BF交DC于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AE∥BF分別交DC、DF于點(diǎn)G、點(diǎn)E，DG＝CH，求證：△DFH≌△CAG．【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C＝∠D，∠AGC＝∠DHF，再由DG＝CH可知CH+HG＝HG+DG，即CG＝DH，根據(jù)ASA定理即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵AC∥DF，AE∥BF，∴∠C＝∠D，∠AGC＝∠DHF，∵DG＝CH，∴CH+HG＝HG+DG，即CG＝DH，在△DFH和△CAG中，，∴△DFH≌△CAG（ASA）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定，熟知兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等是解答此題的關(guān)鍵．8．（2023春?鄠邑區(qū)期末）如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請(qǐng)分別說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出結(jié)論即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程組求得答案即可．【解答】解：（1）當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，則，解得；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，則，解得：；綜上所述，存在或，使得△ACP與△BPQ全等．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．在解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．考點(diǎn)四．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．9．（2022秋?衡山縣期末）下列條件，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 B．一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等 C．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等 D．一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等【分析】根據(jù)SAS，AAS，ASA，SSS，HL，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩個(gè)直角三角形全等，故A符合題意；B、一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等，利用AAS可以判定兩個(gè)直角三角形全等，故B不符合題意；C、兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等，利用SAS可以判定兩個(gè)直角三角形全等，故C不符合題意；D、一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等，利用HL可以判定兩個(gè)直角三角形全等，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?磁縣期末）如圖，若要用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ABD，則還需補(bǔ)充的條件是（）A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BD C．∠BAC＝∠BAD D．以上都不對(duì)【分析】根據(jù)HL，還缺少一條直角邊相等，由此判斷即可．【解答】解：因?yàn)楣策匒B為兩個(gè)直角三角形的斜邊，所以要用HL證明Rt△ABC和Rt△ABD全等，只需AC＝AD或者BC＝BD．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．11．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)期末）如圖，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AD＝BE，∠1＝∠2．求證：△ADE≌△BEC．【分析】此題比較簡(jiǎn)單，根據(jù)已知條件，利用直角三角形的特殊判定方法可以證明題目結(jié)論．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°．∴△ADE和△EBC是直角三角形，Rt△ADE和Rt△BEC中，，∴△ADE≌△BEC（HL）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)；主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性質(zhì)：等角對(duì)等邊，做題時(shí)要綜合利用這些知識(shí)．12．（2023春?懷化期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足，AE＝CF．求證：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理證明△ACE和△CBF全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因?yàn)椤螮AC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根據(jù)平角定義可得∠ACB＝90°．【解答】證明：如圖，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?雄縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是過點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點(diǎn)E；（1）若B、C在DE的同側(cè)（如圖所示）且AD＝CE．求證：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的兩側(cè)（如圖所示），且AD＝CE，其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由已知條件，證明Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE＝90°，即可證明AB⊥AC；（2）同（1），先證Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE＝90°，即可證明AB⊥AC．【解答】（1）證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一樣可證得Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，∵∠CAE+∠ECA＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．【點(diǎn)評(píng)】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，借助全等三角形的性質(zhì)得到相等的角，然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法，注意掌握、應(yīng)用．考點(diǎn)五．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．14．（2022秋?大田縣期末）如圖，正方形ABCD是一張邊長為12cm的皮革．皮雕師傅想在此皮革兩相鄰的角落分別切下△PDQ與△PCR后得到一個(gè)五邊形PQABR，其中P，Q，R三點(diǎn)分別在邊CD，AD，BC上，且PD＝2DQ，PC＝CR．（1）若DQ＝x，將△PDQ的面積用含x的代數(shù)式表示；（2）五邊形PQABR的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)條件表示出PD，從而得到△PDQ的面積；（2）分別求出正方形ABCD、△PDQ、△PCR的面積，再作差求出五邊形的面積，最后確定出取極值時(shí)的x值．即可求出最大值．【解答】解：（1）依題意，PD＝2DQ＝2x．∴△PDQ的面積．（2）設(shè)DQ＝x，則，∴0＜x＜6，∵PC＝CR＝（12﹣2x），∴△PCR的面積．∴S五邊形PQABR＝S正方形ABCD﹣S△PDQ﹣S△PCR，＝122﹣x2﹣2（6﹣x）2＝﹣3x2+24x+72＝﹣3（x﹣4）2+120．當(dāng)x＝4時(shí)，上式取得最大值120，所以，當(dāng)DQ＝4cm時(shí)，五邊形PQABR的面積取得最大值120cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，三角形面積的計(jì)算、五邊形面積計(jì)算的方法，計(jì)算三角形的面積及利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式求最值是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?榮昌區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，BE⊥AD，垂足為E，CF⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)F，G是DA延長線上一點(diǎn)，連接BG．（1）求證：BE＝CF；（2）若BG＝CA，求證：GA＝2DE．【分析】（1）利用AAS證明△BED≌△CFD，得BE＝CF；（2）利用HL證明Rt△BGE≌Rt△CAF，得GE＝AF，從而解決問題．【解答】證明：（1）∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠F，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE＝CF；（2）在Rt△BGE和Rt△CAF中，，∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL），∴GE＝AF，∴AG＝EF．∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF，∴GA＝2DE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用HL證明Rt△BGE≌Rt△CAF是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?宿城區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分別是這兩個(gè)等腰三角形的底邊，且∠BAC＝∠DAE，求證：BD＝CE．【分析】根據(jù)△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分別是這兩個(gè)等腰三角形的底邊得到AE＝AD，AB＝AC，根據(jù)∠BAC＝∠DAE得到∠BAD＝∠CAE，即可得到△DAB≌△EAC，即可得到證明．【解答】證明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分別是這兩個(gè)等腰三角形的底邊，∴AE＝AD，AB＝AC，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△DAB與△EAC中，，△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形得到三角形全等的條件．17．（2022秋?孝南區(qū)期末）如圖，已知，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求證：AC∥DE；（2）若BF＝21，EC＝9，求BC的長．【分析】（1）由AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D，根據(jù)SAS即可證明；（2）由△ABC≌△DFE，推出BC＝EF，推出BE＝CF，由BF＝21，EC＝9，推出BE+CF＝12，可得BE＝CF＝6，由此即可解決問題；【解答】（1）證明：在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACB＝∠DEF，∴AC∥DE．（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF，∴BE＝CF，∵BF＝21，EC＝9，∴BE+CF＝12，∴BE＝CF＝6，∴BC＝BE+CE＝6+9＝15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．考點(diǎn)六．全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．18．（2023春?長安區(qū)期末）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）求兩堵木墻之間的距離．【分析】（1）根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【解答】（1）證明：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由題意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：兩堵木墻之間的距離為20cm．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．19．（2022秋?永城市校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線l上（點(diǎn)F，C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A，D在l的異側(cè)，AB∥DE，∠A＝∠D，測(cè)得AB＝DE．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的長．【分析】（1）先證明∠ABC＝∠DEF，再根據(jù)ASA即可證明．（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】（1）證明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4（m），答：FC的長是4m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形的條件，記住平行線的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．20．（2022秋?新化縣期末）【問題背景】在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是EF＝BE+FD．【探索延伸】在四邊形ABCD中如圖2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【分析】探索延伸：延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，證明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，得到答案；結(jié)論運(yùn)用：連接EF，延長AE、BF交于點(diǎn)C，得到EF＝AE+BF，根據(jù)距離、速度和時(shí)間的關(guān)系計(jì)算即可．【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，故答案為：EF＝BE+FD，探索延伸：結(jié)論仍然成立，證明：如圖2，延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，∴FG＝DG+FD＝BE+DF；結(jié)論運(yùn)用：解：如圖3，連接EF，延長AE、BF交于點(diǎn)C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件∴結(jié)論EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意要正確作出輔助線．考點(diǎn)七．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE21．（2022秋?雙流區(qū)期末）已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥AB，BD平分∠ABC交AD于D點(diǎn)．（1）求證：∠ADE＝∠AED；（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面積．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠DAB＝90°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠D+∠ABD＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，再利用角平分線的定義可得∠CBE＝∠ABD，從而可得∠D＝∠CEB，最后利用對(duì)頂角相等可得∠CEB＝∠AED，從而利用等量代換即可解答；（2）過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，利用角平分線的性質(zhì)可得EC＝EF＝2，然后利用三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵∠C＝90°，∴∠CEB+∠CBE＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABD，∴∠D＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠ADE＝∠AED；（2）過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，∵BD平分∠ABC，EF⊥AB，EC⊥BC，∴EC＝EF＝2，∵AB＝6，∴△ABE的面積＝AB?EF＝×6×2＝6，∴△ABE的面積為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?鞏義市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分線AD交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，此時(shí)點(diǎn)E恰為AB的中點(diǎn)．（1）求∠CAD的大小；（2）若BC＝9，求DE的長．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定及性質(zhì)得出AD＝BD，再根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B＝∠BAD，然后根據(jù)角平分線得出∠CAD＝∠BAD，最后根據(jù)余角的概念即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DC＝DE，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出BD＝2DE，然后根據(jù)等量代換及線段的和差即可得出答案．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，且E為AB的中點(diǎn)，∴DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AD是∠CAB的平分線，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠C＝90°，∴3∠CAD＝90°，∴∠CAD＝30°；（2）∵AD是∠CAB的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE，∴BD＝2DC，∵BC＝9，∴BD+CD＝9，∴3DE＝BC，∴3DE＝9，∴DE＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直平分線的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及余角的定義，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)八．作圖—尺規(guī)作圖的定義（1）尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．（2）基本要求它使用的直尺和圓規(guī)帶有想像性質(zhì)，跟現(xiàn)實(shí)中的并非完全相同．直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè)．只可以用它來將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上畫刻度．圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度．它只可以拉開成你之前構(gòu)造過的長度．23．（2022秋?長安區(qū)校級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形．其作法錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【分析】A．由作法知AD＝AC，可判斷A；B．由作法知所作圖形是線段BC的垂直平分線，可判斷B；C由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，可判斷C；D．由作法知AD是∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判斷D．【解答】解：A．由作法知AD＝AC，∴△ACD是等腰三角形，故選項(xiàng)A不符合題意；B．由作法知所作圖形是線段BC的垂直平分線，∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故選項(xiàng)B符合題意；C由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴△ABD是等腰三角形，故選項(xiàng)C不符合題意；D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC＝60°，由作法知AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝30°＝∠B，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了尺規(guī)作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖的五個(gè)基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．24．（2022秋?青秀區(qū)校級(jí)期末）如