15平面上的距離（2）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（2019選擇性）

1.5平面上的距離（2）（滿分100分時間：40分鐘）班級姓名得分一、單項(xiàng)選擇題：1．如圖，已知，，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)，經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)），則直線的斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，連接與直線分別交于，連接，分別與直線交于，由題意，在線段之間即可，算出兩點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合斜率公式即可得到答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，連接與直線分別交于，連接，分別與直線交于，由題意，在線段之間即可，又，直線的方程為，設(shè)，則，解得，所以，同理可得關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，所以直線：，又直線方程為：，所以，所以直線方程為：，即，由，得，所以，又易得方程為：，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)、兩直線的交點(diǎn)的問題，涉及到入射光線、反射光線，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道有一定難度的題.2．已知長方形的四個頂點(diǎn)：、、、.一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿與夾角為的方向射到上的點(diǎn)后，依次反射到、和上的點(diǎn)、、（入射角等于反射角）.設(shè)的坐標(biāo)為，若，則的范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】將矩形先向右平移個單位，再向上平移個單位得到矩形，再將矩形向右平移個單位，得到矩形，過點(diǎn)作軸，可得，計(jì)算出的取值范圍，可得出，由此可得出的取值范圍.【詳解】將矩形先向右平移個單位，再向上平移個單位得到矩形，再將矩形向右平移個單位，得到矩形，如下圖所示：延長分別交、、于點(diǎn)、、，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，則，由對稱性結(jié)合圖形可知，，且有，，，所以，，在中，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用光線反射求角的正切值的取值范圍，解題的關(guān)鍵就是利用對稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合思想求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.3．在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)），那么稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形，若△ABC是格點(diǎn)三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面積為8，則該三角形邊界上的格點(diǎn)個數(shù)不可能為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】畫出圖像，根據(jù)不同的位置得到答案.【詳解】如圖所示：當(dāng)頂點(diǎn)處于位置時，格點(diǎn)數(shù)為；當(dāng)頂點(diǎn)處于位置時，格點(diǎn)數(shù)為；當(dāng)頂點(diǎn)處于位置時，格點(diǎn)數(shù)為；無論頂點(diǎn)處于什么位置都不能是格點(diǎn)數(shù)為；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的邊界整數(shù)點(diǎn)問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.4．已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（）A． B． C．8 D．【答案】C【分析】首先求得直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用到直線的距離相等列方程，解方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).利用到直線的距離以及的長，求得三角形的面積.【詳解】直線的方程為，即.由解得.設(shè)，直線的方程分別為，即，.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，到直線的距離相等，所以，，由于，所以上式可化為，兩邊平方并化簡得，解得（），所以.所以到直線的距離為，而，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線方程的求法，考查直線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)，考查點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式，考查角平分線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法5．已知點(diǎn)，直線和，若點(diǎn)、分別是、上與、兩點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)，則等于（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，得到，得到，再計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時有最小值，故當(dāng)時有最小值，故，故故選：【點(diǎn)睛】本題考查了距離的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、多選題6．（多選題）光線自點(diǎn)射入，經(jīng)傾斜角為的直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線還經(jīng)過下列哪個點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，求出反射光線所在直線的方程，逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)中的點(diǎn)是否在反射光線所在直線上，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以，反射光線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線的方程為，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故選：BD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，由方程組可得到點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)（其中，）.7．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)之間的“折線距離”，則下列說法中正確的是（）A．若點(diǎn)在線段上，則有B．若是三角形的三個頂點(diǎn)，則有C．到兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡是直線D．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值為【答案】AC【分析】對A，根據(jù)“折線距離”的定義化簡可得；對B，由絕對值不等式可判斷；對C，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)定義列出方程即可求解；對D，由可判斷.【詳解】對A，若點(diǎn)在線段上，設(shè)，則在之間，在之間，則，故A正確；對B，在中，，故B錯誤；對C，設(shè)到兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，故C正確；對D，設(shè)，則，即的最小值為，故D錯誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查“折線距離”的應(yīng)用，屬于新定義問題，解題的關(guān)鍵是正確理解定義，并結(jié)合絕對值不等式進(jìn)行化簡判斷.8．下列結(jié)論正確的是（）A．若直線和的斜率相等，則B．已知直線，（、、、、、為常數(shù)），若直線，則C．點(diǎn)到直線的距離為D．直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離【答案】BD【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用兩直線垂直與一般方程的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用點(diǎn)到直線距離的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，若直線和的斜率相等，則與平行或重合，A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，已知直線，（、、、、、為常數(shù)）.當(dāng)直線和的斜率都存在時，則，，直線的斜率為，直線的斜率為，若，則，可得；當(dāng)直線和分別與兩坐標(biāo)軸垂直，設(shè)軸，則軸，則，，滿足.綜上所述，若直線，則，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，直線的一般方程為，所以，點(diǎn)到直線的距離為，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，由點(diǎn)到直線的距離的定義可知，直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離，D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用一般式方程判定直線的平行與垂直：已知直線和直線.（1）且；（2）.9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)?，定義為兩點(diǎn)A，B的“折線距離”，又設(shè)點(diǎn)P及直線l上任意一點(diǎn)Q，稱的最小值為點(diǎn)P到直線l的“折線距離”，記作，下列說法正確的是（）A．對任意的兩點(diǎn)A，B，都有B．對任意三點(diǎn)A?B?C，都有C．已知點(diǎn)和直線，則D．已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)P的軌跡圍成平面圖形的面積是2【答案】ABD【分析】根據(jù)“折線距離”的定義利用絕對值的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證判斷．【詳解】,所以，即，A正確；由絕對值三角不等式知，，所以，即，B正確；設(shè)是上任一點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為2，即，C錯；設(shè)，則，在平面直角坐標(biāo)系中，曲線是一個正方形，如圖，，得正方形內(nèi)部面積為，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，把新定義下的“距離”用絕對值表示后，利用絕對值性質(zhì)求解證明．三、填空題10．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)，則線段長的最小值是__________．【答案】【分析】設(shè)，得到當(dāng)直線與函數(shù)過點(diǎn)的切線垂直時，線段最短，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得答案.【詳解】設(shè)，點(diǎn)為直線與函數(shù)在第一象限的焦點(diǎn)，則，可得當(dāng)直線與函數(shù)過點(diǎn)的切線垂直時，線段最短，設(shè)切點(diǎn)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則，解得，此時，所以線段長的最小值為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩點(diǎn)間的距離公司，以及兩直線垂直的條件等知識的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及運(yùn)算與求解能力11．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_______．【答案】【分析】實(shí)數(shù)滿足表示點(diǎn)在直線上，可以看作點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，最小值是原點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足＝1所以表示直線上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故的最小值為原點(diǎn)到直線的距離，即，故的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式，此題的關(guān)鍵在于的最小值所表示的幾何意義的識別.12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)滿足，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】先設(shè)，根據(jù)，，得到，再由題意，得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，整理得：①因?yàn)橹本€上存在點(diǎn)滿足，所以方程①有解，因此，解得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，熟記公式即可，屬于?？碱}型.四、解答題13．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，對于任意兩點(diǎn)，定義它們之間的“曼哈頓距離”為.（1）求線段上一點(diǎn)到原點(diǎn)的“曼哈頓距離”；（2）求所有到定點(diǎn)的“曼哈頓距離”均為的動點(diǎn)圍成的圖形的周長；（3）眾所周知，對于“歐幾里得距離”，有如下三個正確的結(jié)論：①對于平面上任意三點(diǎn)，都有;②對于平面上不在同一直線上的任意三點(diǎn)，若，則是以為直角的直角三角形；③對于平面上兩個不同的定點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；上述結(jié)論對于“曼哈頓距離”是否依然正確？說明理由.【答案】（1）2；（2）；（3）①正確，②錯誤，③錯誤，理由見解析【分析】（1）直接根據(jù)新定義計(jì)算；（2）不妨取點(diǎn)為原點(diǎn)，求出所有到定點(diǎn)的“曼哈頓距離”均為的動點(diǎn)圍成的圖形，然后再求圖形的周長．（3）用“曼哈頓距離”表示出三個命題的條件，代入檢驗(yàn)判斷三個命題是否正確．【詳解】（1）因?yàn)樵诰€段上，所以，；（2）不妨設(shè)點(diǎn)就是原點(diǎn)（否則把到平移到原點(diǎn)，不改變圖形的周長），若在第一象限（含軸正半軸），則，因此點(diǎn)在線段上，其長度為，根據(jù)對稱性，它在第二象限、第三象限、第四象限的部分（含相應(yīng)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)）都是一條線段，長度均為，所以總長度為．（3）對平面上任意三點(diǎn)，“曼哈頓距離”為：，，①由絕對值的性質(zhì)顯然有,,所以，且（或不等號全部改變方向）時等號成立．①正確；②，與不一定相等，因此不能得出“歐幾里得距離”這個傳統(tǒng)意義上的勾股定理的形式，不能判斷是直角三角形．②錯誤；③不妨設(shè)，，，由得，平方后得，顯然＝不一定成立，因此也不一定成立，即不能得出“歐幾里得距離”相等，不一定在線段的垂直平分線上．③錯誤．【點(diǎn)睛】本題考查新運(yùn)算與絕對值的結(jié)合，應(yīng)注意點(diǎn)不同位置，弄清新命題的運(yùn)算規(guī)則，是本題的關(guān)鍵，設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，代入關(guān)系式計(jì)算，14．已知三條直線l1:2xy+a=0(a>0)，直線l2:4x2y1=0和直線l3:x+y1=0，且l1和l2的距離是.(1)求a的值.(2)能否找到一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)同時滿足下列三個條件：①P是第一象限的點(diǎn)；②P點(diǎn)到l1的距離是P點(diǎn)到l2的距離的；③P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離之比是?若能，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由.【答案】（1）a=3；（2）P().【分析】(1)根據(jù)兩條直線是平行關(guān)系，利用兩條平行線的距離公式即可求得a的值．(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，討論當(dāng)P點(diǎn)滿足②與③兩種條件下求得參數(shù)的取值，并注意最后結(jié)果的取舍．【詳解】(1)l2的方程即為，∴l(xiāng)1和l2的距離d=，∴.∵a>0,∴a=3.(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，若P點(diǎn)滿足條件②，則P點(diǎn)在與l1和l2平行的直線l′:2xy+c=0上，且,即c=或c=.∴2x0y0+或2x0y0+.若點(diǎn)P滿足條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式，∴x02y0+4=0或3x0+2=0.由P在第一象限，∴3x0+2=0不合題意.聯(lián)立方程2x0y0+和x02y0+4=0，解得x0=3,y0=,應(yīng)舍去.由2x0y0+與x02y0+4=0聯(lián)立，解得x0=,y0=.所以P()即為同時滿足三個條件的點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了直線與直線的平行關(guān)系、平行線間的距離等，關(guān)鍵計(jì)算量比較大，注意不要算錯，15．如圖，的直角邊OA在x軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線CD交AB于點(diǎn)，交x軸于點(diǎn).(1)求直線CD的方程；(2)動點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度向x軸正方向運(yùn)動，過點(diǎn)P作直線l垂直于x軸，設(shè)運(yùn)動時間為t.①點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在某個位置，使得?若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；②請?zhí)剿鳟?dāng)t為何值時，在直線l上存在點(diǎn)M，在直線CD上存在點(diǎn)Q，使得以O(shè)B為一邊，O，B，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，并求出此時t的值.【答案】(1)；(2)①滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或，②滿足條件的t的值為或.【分析】（1）利用兩點(diǎn)式求出直線方程，再化為一般方程；

（2）①根據(jù)題意作DP∥OB，利用相似三角形求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性求得P′的坐標(biāo)；

②分情況討論，OP＝OB＝10時，作PQ∥OB交CD于Q，求得點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，t＝0；

OQ＝OB時，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，計(jì)算M的橫坐標(biāo)，求得t的值；Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時，求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出t的值.【詳解】解：（1）直線CD過點(diǎn)C（12，0），D（6，3），直線方程為＝，化為一般形式是x+2y﹣12＝0；（2）①如圖1中，作DP∥OB，則∠PDA＝∠B，由DP∥OB得，＝，即＝，∴PA＝；∴OP＝6﹣＝，∴點(diǎn)P（，0）；根據(jù)對稱性知，當(dāng)AP＝AP′時，P′（，0），∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）或（，0）；②如圖2中，當(dāng)OP＝OB＝10時，作PQ∥OB交CD于Q，則