重難點(diǎn)13平面向量的概念及線性運(yùn)算2023年高考數(shù)學(xué)專練

重難點(diǎn)13平面向量的概念、線性運(yùn)算與平面向量基本定理基本定理1.熟記常用結(jié)論（1）一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up7(→))＋eq\o(A2A3,\s\up7(→))＋eq\o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up7(→))＝eq\o(A1An,\s\up7(→)).特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．（2）在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論：①eq\o(GA,\s\up7(→))＋eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(GC,\s\up7(→))＝0；②eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))；③eq\o(GD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(GC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))．（3）若eq\o(OA,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＋μeq\o(OC,\s\up7(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.（4）對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有：①|(zhì)|a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．當(dāng)a，b，不共線時(shí)：①的幾何意義是三角形中的任意一邊的長(zhǎng)小于其他兩邊長(zhǎng)的和且大于其他兩邊長(zhǎng)的差的絕對(duì)值；②的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長(zhǎng)與兩對(duì)角線的長(zhǎng)之間的關(guān)系．2.平面向量的線性運(yùn)算技巧（1）不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．（2）含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．（3）平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對(duì)平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”．對(duì)平面向量減法應(yīng)抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形對(duì)向量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果．（4）在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個(gè)字母看待即可，其運(yùn)算方法類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比．3.共線向量定理的三個(gè)應(yīng)用平面向量是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，命題突出向量的基本運(yùn)算與工具性，2023年高考仍將重點(diǎn)考查向量的線性運(yùn)算及向量共線的充要條件，難度為基礎(chǔ)題或中檔題，題型為選擇題或填空題.（建議用時(shí)：40分鐘）一、單選題1．已知點(diǎn)則與同方向的單位向量為A． B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：,所以與同方向的單位向量為，故選A.2．如圖，正六邊形ABCDEF中，=(

)A．0 B． C． D．【答案】D【解析】將平移到，平移到，故，故選D.3．中，邊的高為，若，，，，，則（)A． B． C． D．【答案】D【解析】試題分析：由，，可知4．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若，,則A．（－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）【答案】B【解析】因?yàn)?，選B．5．已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連結(jié)，則為的中位線，，故選：A6．在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C7．已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，那么（）A． B．C． D．【答案】A【解析】是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，∴，且，∴，即，故選A.8．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.9.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n的值為()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B

【解析】[方法一：連接AO，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，所以eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，所以m＋n＝2.方法二：連接AO.由于O為BC的中點(diǎn)，故eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,m)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，同理，eq\o(NO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n)))eq\o(AC,\s\up6(→)).由于向量eq\o(MO,\s\up6(→))，eq\o(NO,\s\up6(→))共線，故存在實(shí)數(shù)λ使得eq\o(MO,\s\up6(→))＝λeq\o(NO,\s\up6(→))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n)))eq\o(AC,\s\up6(→)).由于eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，故得eq\f(1,2)－eq\f(1,m)＝eq\f(1,2)λ且eq\f(1,2)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n)))，消去λ，得(m－2)(n－2)＝mn，化簡(jiǎn)即得m＋n＝2.10．在中，，．若點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：，故選A．11．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】A【解析】得，故選A．或．12．已知向量，若時(shí)，；時(shí)，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，解得，故，又因?yàn)?，所以，解得，故，故選：.二、填空題13．已知向量，若，則_________．【答案】【解析】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.14．(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接CE，DF，交于點(diǎn)G.若eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.＋μeq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))不共線，所以λ＝eq\f(x,2)，μ＝x，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)【解析】由題意可設(shè)eq\o(CG,\s\up6(→))＝xeq\o(CE,\s\up6(→))(0<x<1)，則eq\o(CG,\s\up6(→))＝x(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(CD,\s\up6(→))))＝eq\f(x,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＋xeq\o(CB,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))15．已知點(diǎn)，若向量與=同向，=，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】（5，4）【解析】設(shè)，則，，則，故，，故，故.故答案為：.16．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足，若，則x＝________，y＝________.【答案】

【解析】特殊化，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)，AB為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，，，則，.三、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量．（1）若，求tanx的值；（2）若的夾角為，求x的值．【答案】（1）tanx=1；（2）【解析】1