光纖傳輸理論

第三章光纖傳輸理論研究光纖中光能量的傳輸形式和場分布。常有兩種分析方法：光線理論和波動理論。光波如何進(jìn)入光波導(dǎo)？（模式的激勵）光波在光波導(dǎo)中如何傳播？(模式分布)光波導(dǎo)的基本特征參數(shù)？主要問題：參考文獻(xiàn)：[1]廖延彪.光纖光學(xué)，清華大學(xué)出版社，2000，3[2]劉德明，向清，黃德修.光纖光學(xué)，國防工業(yè)出版社，1999[3]馬軍山.光纖通信技術(shù)，人民郵電出版社，2004學(xué)習(xí)方法：了解光纖傳輸理論的推導(dǎo)過程。掌握其基本概念及重要結(jié)論。3.1光纖的基本結(jié)構(gòu)回顧RefractiveIndex(n)Diameter(r)CladdingPrimarycoating

(e.g.,softplastic)

Core1.4801.460SiO2Glass140

m100

m多模光纖的纖芯直徑2a為50~62.5μm，包層外直徑2b為125μm，單模光纖的2a為8.3μm，2b為125μm。幾何光學(xué)方法更簡單直觀，但用波動理論可以對光纖的傳輸特性和傳輸原理有更精確的分析光線理論（幾何光學(xué)方法）把光看作射線，并引用幾何光學(xué)中反射與折射原理解釋光在光纖中傳播的物理現(xiàn)象；波動理論（波動光學(xué)方法）把光波當(dāng)作電磁波，把光纖看作光波導(dǎo)，用電磁場分布的模式來解釋光在光纖中的傳播現(xiàn)象。3.2光纖的光線理論

幾何光學(xué)方法波動光學(xué)方法適用條件l<<2al~2a研究對象光線模式基本方程射線方程波導(dǎo)場方程研究方法折射/反射定理邊值問題主要特點(diǎn)約束光線模式波動理論和射線理論之比較3.2.1傳輸條件光的全內(nèi)反射現(xiàn)象？數(shù)值孔徑的物理意義？光的反射與折射光的全反射現(xiàn)象光的反射和全反射現(xiàn)象階躍光纖中光線的傳播在光纖中存在兩類光纖：子午光線和偏斜光線。子午光線是指在子午平面（與纖軸相交的且與纖壁垂直的所有平面）上傳播的光線。偏斜光線則是與纖軸既不相交也不平行的光線。3.2.2子午光線的傳播限制在子午平面內(nèi)傳播的鋸齒形折線。光在階躍光纖中的臨界傳播軌跡n0/n1界面，Snell定律：n1/n2界面，發(fā)生全反射時，Snell定律：光學(xué)參數(shù)數(shù)值孔徑折射率差

NA表示光纖接收和傳輸光的能力。NA（或

）越大，表示光纖接收光的能力越強(qiáng)，光源與光纖之間的耦合效率越高。NA越大，纖芯對入射光能量的束縛越強(qiáng)，光纖抗彎曲特性越好。NA太大時，則進(jìn)入光纖中的光線越多，將會產(chǎn)生更大的模色散，因而限制了信息傳輸容量，所以必須適當(dāng)選擇NA。單模光纖的NA在0.12附近，多模光纖的NA約為0.21。

數(shù)值孔徑(NumericalAperture,NA)

長度L的光纖中，總光路S′和總反射次數(shù)

′分別為：單位長度內(nèi)的總光路和全反射次數(shù)的表達(dá)式：光線在光纖中傳播的光路長度只取決于入射角和相對折射率，而與光纖直徑無關(guān)；全反射次數(shù)則與纖芯直徑成反比。3.2.3偏斜光線的傳播光纖中斜光線傳輸滿足的條件：斜光線的全反射條件為：單位長度光纖中斜光線的總光路和全反射次數(shù)為：斜光線的數(shù)值孔徑：斜光線的數(shù)值孔徑比子午光線的要大，其具有較大的入射孔徑角，對入射光線所允許的最大可接收角要比子午光線入射得大。分析：斜光線繞光纖軸線成螺旋形傳播。斜光線是三維空間光線，而子午光線只在二維平面內(nèi)傳播。補(bǔ)充：光纖的彎曲光線彎曲時的孔徑角：單位長度內(nèi)全反射的次數(shù)：單位長度內(nèi)的總光路：光纖端面的傾斜效應(yīng)為端面的傾斜角，和′是端面傾斜時光線的入射角和折射角。當(dāng)折射率不變時，傾斜角越大，接收角就越小。當(dāng)光纖入射端面傾斜后，要接收入射角為的光線，其值大于正常端面的孔徑角。反之，若光線入射方向和傾斜端面的法線方向分別在光纖中心軸的兩側(cè)，接收光的范圍增大。3.2.4變折射率光纖的光線理論程函方程/光線方程：見光纖光學(xué)（劉德明，向清，黃德修）P9面若媒介是各向同性而又均勻，有軌跡為直線。變折射率光纖，折射率分布的一般形式：徑向分量：軸向分量：圓周分量：光線方程求解光線方程的過程：光纖入射端處折射光線波矢量K的圓柱分量:不變變化自聚焦透鏡的折射率服從平方率分布規(guī)律：光線路徑在z方向的周期為P，與光線的初始位置r0及軸向角有關(guān)，不同角度的子午光線并不能會聚于一點(diǎn)。但對于近軸光線，有則平方率分布光纖對于近軸光線具有相當(dāng)好的會聚效果。由一點(diǎn)發(fā)出的各角度光線經(jīng)過一周期長度P的傳播后會聚于一點(diǎn)。稱這種平方率光纖為自聚焦透鏡。

2n1n3.3光纖的波動理論光線理論分析法雖然可簡單直觀地得到光線在光纖中傳輸?shù)奈锢韴D像，但由于忽略了光的波動性質(zhì)，不能了解光場在纖芯、包層中的結(jié)構(gòu)分布以及其他許多特性。尤其是對單模光纖，由于芯徑尺寸小，光線理論就不能正確處理單模光纖的問題。在光波導(dǎo)理論中，更普遍地采用波動光學(xué)的方法，即把光作為電磁波來處理，研究電磁波在光纖中的傳輸規(guī)律，得到光纖中的傳播模式、場結(jié)構(gòu)、傳輸常數(shù)及裁止條件。分析思路1、光纖介質(zhì)的特性響應(yīng)的局部性各向同性線性均勻無損(1)響應(yīng)的局部性。在介質(zhì)中，介質(zhì)對所加電場的響應(yīng)是局部的，即介質(zhì)在某處的極化P只與該處所加電場E有關(guān)，而其他部分所加的電場E對P沒有影響，這一特性對工作在0.5～2μm波長的光纖是一個很好的近似。

(2)各向同性與各向異性（雙折射）。各向同性介質(zhì)是指材料的電磁特性（如折射率、偏振、傳播常數(shù)等）在所有的方向都是一樣的，且其電場矢量E、極化矢量P取向相同的介質(zhì)。SiO2材料的圓柱形光纖都是各向同性介質(zhì)。如果光纖的圓柱特性被破壞，如不對稱，則不是各向同性介質(zhì)。如果材料的折射率在任意兩個方向上不同，如X、Y方向，則稱為雙折射。由于光纖沿長度方向很難保證圓柱對稱性，因而它是雙折射材料。(3)線性與非線性特性。當(dāng)介質(zhì)所加的電場E較弱時，其電極化強(qiáng)度P與電場E近似成線性關(guān)系。電極化P與所加電場E之間的線性關(guān)系只有在光纖中信號的功率和所傳比特率適中的情況下才保持正確，當(dāng)光功率增加到一定的閾值時，系統(tǒng)的非線性會影響系統(tǒng)的性能。

(4)均勻性與不均勻性。如介質(zhì)在其所有點(diǎn)上的電磁特性都相同,則介質(zhì)稱為均勻介質(zhì)。光纖不是均勻介質(zhì)，因?yàn)槔w芯的折射率與包層的折射率不相等。然而對于階躍光纖,在其纖芯域和包層域分別是均勻介質(zhì)。梯度光纖在纖芯域不是均勻介質(zhì)。(5)無損耗特性。盡管光纖不是無損耗介質(zhì)，但其損耗值較小，可以忽略不計(jì)，因此在討論傳播模時可以假設(shè)損耗為零。玻璃光纖中傳導(dǎo)電流J=0，電導(dǎo)率σ=0；無自由電荷ρ=0，所以光纖中麥克斯韋方程組微分形式為：電位移矢量D與電場強(qiáng)度E：磁感應(yīng)矢量B與磁場強(qiáng)度H：2、光纖中麥克斯韋方程組ε介電系數(shù)μ導(dǎo)磁系數(shù)同性介質(zhì)高斯定理：對任意閉合曲面S及其包圍的體積V，下述積分變換成立：即，矢量場A通過任意閉合曲面S的凈通量，等于它在S所包圍的體積V內(nèi)各點(diǎn)散度的積分。在連續(xù)可微的矢量場A中，對于包含某一點(diǎn)(x,y,z)的小體積△V，其閉合曲面為S，定義矢量場A通過S的凈通量與△V之比的極限

為矢量場A在該點(diǎn)的散度。在連續(xù)可微的矢量場A中，我們設(shè)想將A繞著某個很小的閉合路徑L積分，△S=△S是L圍成的面積元矢量,并且約定：面積元△S的法向，與路徑積分繞行方向符合右旋規(guī)則。當(dāng)△S縮小成某點(diǎn)P（x,y,z）的無限小鄰域，定義如下極限

為矢量場A的旋度。斯托克斯定理：對任意閉合路徑L及其圍成的曲面S，下述積分變換成立：即，矢量場A沿任意閉合路徑L的環(huán)量，等于它在L所圍的任意曲面S上各點(diǎn)旋度的面積分。

分離變量電矢量與磁矢量分離:

可得到只與電場強(qiáng)度E(x,y,z,t)有關(guān)的方程式及只與磁場強(qiáng)度H(x,y,z,t)有關(guān)的方程式；時、空坐標(biāo)分離:

亥姆霍茲方程，是關(guān)于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；空間坐標(biāo)縱、橫分離：波導(dǎo)場方程，是關(guān)于E(x,y)和H(x,y)的方程式；邊界條件：在兩種介質(zhì)交界面上電磁場矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要連續(xù)。電矢量與磁矢量分離：波動方程時空坐標(biāo)分離：亥姆霍茲方程邊界條件：光纖纖壁處電磁場滿足邊界條件：E與H的切向分量以及D與B的法向分量均連續(xù)。對折射率均勻分布的光纖：1、只是說明是x,y變量的函數(shù)，但在x,y,z方向上都有可能存在分量。2、的正負(fù)決定了解的性質(zhì)：振蕩解還是衰減解。3圓柱坐標(biāo)系下正規(guī)光波導(dǎo)的波動方程圓柱坐標(biāo)系下用縱向場表示橫向場光纖中場的縱向分量：貝塞爾函數(shù)4階躍折射率光纖中的場解數(shù)學(xué)模型圓柱坐標(biāo)系中的波導(dǎo)場方程邊界條件本征解與本征值方程本征值與模式分析數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：階躍折射率分布光纖是一種理想的數(shù)學(xué)模型，即認(rèn)為光纖是一種無限大直圓柱系統(tǒng)，芯區(qū)半徑a，折射率為n1；包層沿徑向無限延伸，折射率為n2。光纖材料為線性、無損、各向同性的電介質(zhì)。由電磁場的特性（電磁分離、時空分離、縱橫坐標(biāo)分離），采用分離變量法表示電場光纖圓波導(dǎo)中電磁波在時間上正弦振動，并沿z軸傳播。光纖圓波導(dǎo)中電磁波在φ方向具有2π的周期，

波導(dǎo)場方程：

波動光學(xué)方法的最基本方程。它是一個典型的本征方程。當(dāng)給定波導(dǎo)的邊界條件時，求解波導(dǎo)場方程可得本征解及相應(yīng)的本征值。通常將本征解定義為“模式”。模式的基本特征每一個模式對應(yīng)于沿光波導(dǎo)軸向傳播的一種電磁波；每一個模式對應(yīng)于某一本征值并滿足全部邊界條件；模式具有確定的相速群速和橫場分布。模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。給定的波導(dǎo)中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的，外界激勵源只能激勵起光波導(dǎo)中允許存在的模式而不會改變模式的固有性質(zhì)。數(shù)學(xué)表達(dá)式：物理意義：光波導(dǎo)中所有模式（導(dǎo)模、漏摸、輻射摸）相互正交，模式獨(dú)立載運(yùn)光能量，光波場總功率等于各個模式攜帶功率的迭加；光波導(dǎo)實(shí)際場分布可以表示為各個模式本征函數(shù)的迭加。模式正交歸一性模式命名根據(jù)場的縱向分量Ez和Hz的存在與否，可將模式命名為：

(1)橫電磁模(TEM)：Ez＝0，Hz＝0；

(2)橫電模(TE)： Ez＝0，Hz≠0；

(3)橫磁模(TM)： Ez≠0，Hz＝0；

(4)混雜模(HE或EH)：Ez≠0，Hz≠0。第一類貝塞爾函數(shù)曲線第二類貝塞爾函數(shù)曲線當(dāng)r趨向0時，纖芯處的解為有限值。當(dāng)r趨向無窮時，包層處的解為零。由波導(dǎo)場方程求取Ez；場解的選取依據(jù)：導(dǎo)模場分布特點(diǎn)：在空間各點(diǎn)均為有限值；在芯區(qū)為振蕩形式，而在包層則為衰減形式；導(dǎo)模場在無限遠(yuǎn)處趨于零。貝塞爾函數(shù)形式：Jn呈振蕩形式，Kn則為衰減形式。本征解選?。涸诶w芯中選取貝賽爾函數(shù)Jn，在包層中選取變態(tài)漢克爾函數(shù)Kn。求解方程有電磁場解的軸向分量形式：由波導(dǎo)場方程求取Ez；光纖中電磁場的縱向分量和在纖芯內(nèi)沿徑向場量用第一類貝塞爾函數(shù)描述，場量在徑向呈駐波分布；包層內(nèi)沿徑向場量用第二類貝塞爾函數(shù)來描述，隨r的增加呈指數(shù)迅速衰減。在圓周方向，場量按規(guī)律變化，呈駐波分布，m是貝塞爾函數(shù)的階數(shù)；沿z軸方向呈行波狀態(tài)，傳播常數(shù)為解的分析：徑向歸一化相位常數(shù)U：徑向歸一化衰減常數(shù)W：歸一化頻率V：有效折射率neff： 歸一化傳播常數(shù)b：導(dǎo)波模：電磁場能量在纖芯中按簡諧函數(shù)變化，在包層中按指數(shù)規(guī)律衰減的模式。輻射模：電磁波能量在向z軸方向傳輸?shù)耐瑫r又在包層中形成徑向的輻射。5、階躍光纖中光波的模式方程導(dǎo)波模存在條件：n2k0＜β＜n1k0場分布特點(diǎn):

在rg1<r<rg2的區(qū)域內(nèi)為傳播場;在其它區(qū)域內(nèi)為消逝場。因此導(dǎo)模被限制在rg1＜r＜rg2的園筒內(nèi)向前傳播。對于SIOF,rg2＝a,對于GIOF,rg2＜a;對于TE?；騎M模(ι＝0,與子午光線對應(yīng)),rg1＝0;對于EH?；騂E模(與偏斜光線對應(yīng))，rg1＞0。輻射模存在條件：0<β<√n22k02－(ι2－1/4)／a2場分布特點(diǎn):在r>rr1的所有區(qū)域均為傳播場。這時,光能量直接地、不受阻擋地向包層中輻射并被損耗掉,光纖已經(jīng)完全失去了波導(dǎo)約束模式功率的作用。很明顯,輻射模,是一種不受約束的模式。泄漏模存在條件：√n22k02－(ι2－1/4)／a2<β<n2k0場分布特點(diǎn):

在rι1＜r＜rι2的區(qū)域以及r＞rι3的區(qū)域均為傳播場；在其它區(qū)域?yàn)橄艌觥＿@時，原來限制在纖芯內(nèi)傳播的導(dǎo)模功率透過rι2＜r＜rι3的隧道泄漏到包層之中，故又稱為“隧道?！薄Ｓ捎诎鼘硬牧暇哂休^大損耗，這就引起了傳輸損耗。邊界條件：邊界條件：光波導(dǎo)方程的導(dǎo)出以上四方程構(gòu)成線性齊次方程組有解，必須當(dāng)其系數(shù)矩陣的行列式為0，才能有唯一解。故有關(guān)于傳播常數(shù)

的本征方程。又稱特征方程，或色散方程。其中U與W通過其定義式與β相聯(lián)系,因此它實(shí)際是關(guān)于β的一個超越方程。當(dāng)n1、n2、a和λ0給定時,對于不同的n值,可求得相應(yīng)的β值。由于貝塞爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)具有周期振蕩性質(zhì),所以本征值方程可以有多個不同的解βmn

(m=0,1,2,3...n=1,2,3...),每一個βmn都對應(yīng)于一個導(dǎo)模。本征值方程本征方程解（模式）的討論：當(dāng)m=0時，Ez=0的模式，稱為TE0n模（橫電模），Hz=0的模式，稱為TM0n模（橫磁模）。當(dāng)m不等0時，所有模式均為混合模式EHmn或HEmn。

當(dāng)m=0時，就可得到兩個本征值方程：TE0n模TM0n模模式分類的物理意義偏振特性:

TE模與TM模是偏振方向相互正交的線偏振波；HE模與EH模則是橢圓偏振波,其中HE模偏振旋轉(zhuǎn)方向與波行進(jìn)方向一致(符合右手定則),EH模偏振旋轉(zhuǎn)方向則與光波行進(jìn)方向相反。場強(qiáng)關(guān)系: EH模電場占優(yōu)勢,而HE模磁場占優(yōu)勢;(Ez,Hz)<<(Et,Ht),模式近似為橫場分布；相位關(guān)系: EH模的Hz分量超前于Ez90°,HE模的Hz分量落后于Ez90°。

補(bǔ)充：當(dāng)

=k2時，模式截止，橫電模和橫磁模的截止條件為：第一個根為ua=2.405，對應(yīng)的橫電模和橫磁模的截止條件。當(dāng)m不等0時，當(dāng)m=1時，得到混合模EH1n和HE1n模的截止條件為J1（ua）=0，其第一個根對應(yīng)u=0，也就是說它所對應(yīng)的模在任何條件下都不會截止，這個模為最低階模，稱為基模，HE11。uam=0m=16、線偏振模LinearlyPolarizedMode采用簡單有效的近似方法分析光纖的模式。（弱導(dǎo)光纖）TE0n模TM0n模弱導(dǎo)條件：n1

n2n光線與纖軸的夾角??；芯區(qū)對光場的限制較弱；消逝場在包層中延伸較遠(yuǎn)。弱導(dǎo)光纖的特點(diǎn)：HEl+1,m模式與EHl-1,m色散曲線相近；場的橫向分量線偏振，且遠(yuǎn)大于縱向分量；可以在直角坐標(biāo)系中討論問題可以得到簡化的本征解與本征值方程。HE模在弱導(dǎo)近似下，由相同j和m表征的所有模式滿足相同的本征值方程。（這些模式是簡并的。這些簡并模式稱為線偏振模LP）線偏振模:弱導(dǎo)近似下得到的標(biāo)量模，是矢量疊加而成的線性偏振模，矢量模的簡并模式。線偏振模LP模的基本出發(fā)點(diǎn)是：不考慮EM,TM,EH,HE模的具體區(qū)別，僅僅注意它們的傳輸常數(shù)，并用LP模把所有弱導(dǎo)近似下傳輸常數(shù)相等的模式概括起來。LPlm模只有四個不為零的場分量,可以是Ey、Hx、Ez和Hz；也可以是與之正交的Ex、Hy、Ez和Hz。它們分別沿y方向和x方向偏振。LPlm模由HEl+1,m模式與EHl-1,m迭加構(gòu)成。導(dǎo)波模截止是指電磁能量已不能集中在纖芯中傳輸而向包層彌散的臨界狀態(tài)。導(dǎo)波模遠(yuǎn)離截止是指歸一化頻率遠(yuǎn)大于歸一化截止頻率、能量幾乎完全集中在纖芯中的模式狀態(tài)。導(dǎo)波模截止和遠(yuǎn)離截止條件模式的截止與遠(yuǎn)離截止:臨近截止:W=0,場在包層中不衰減遠(yuǎn)離截止:W→∞,場在包層中不存在截止與遠(yuǎn)離截止條件:

模式 臨近截止 遠(yuǎn)離截止

TE0m(TM0m) J0(Uc)＝0 J1(U∞)＝0

HElm

Jl-2(Uc)＝0 Jl-1(U∞)＝0

EHlm

Jl(Uc)＝0 Jl+1(U∞)＝0*除了HE1m模式以外,U不能為零模式本征值:

Uc

<U<U∞數(shù)學(xué)條件階躍光纖中的導(dǎo)模數(shù)目V模式導(dǎo)模總數(shù)0--2.4052.405--3.8323.832--5.1365.136--5.5205.520--6.380..LP01LP11LP02,LP21LP31LP12.22+4=66+6=1212+4=1616+4=20..近似估算V值光纖中允許存在的導(dǎo)模數(shù)目。LP模場分布圖LP01模LP11模LP21模LPlm模沿徑向的亮斑數(shù)為m，沿角向的亮斑數(shù)為2l。LP02模3.3.2單模光纖的模式理論光纖單模傳輸?shù)臈l件及截止波長纖芯中功率流及模場直徑單模光纖的偏振現(xiàn)象單模條件:單模光纖尺寸:單模光纖截止波長:單模光纖截止頻率:僅當(dāng)波長大于截止波長時方可在光纖中實(shí)現(xiàn)單模傳輸。這時，在光纖中傳輸?shù)氖荋E11模，稱為基?；蛑髂?。緊鄰HE11模的高階模是TE01、TM01模和HE21模，其截止值均為2.405。光纖單模工作條件2.405單模傳輸原理纖芯中功率流及模場直徑導(dǎo)波電磁場的能量一部分由纖芯承載，另一部分由包層承載。遠(yuǎn)離截止條件的導(dǎo)模的能量大部分集中在纖芯內(nèi)，而接近截止的模式能量更多在包層中傳輸。光功率流（軸向波印廷矢量）：經(jīng)驗(yàn)公式：基模LP01場分布近似為高斯分布：LP01模的模場直徑：2a2wE0/e經(jīng)驗(yàn)公式：e=2.71828模場直徑：基模場強(qiáng)在空間分布集中程度的一種度量，其大小對光纖連接及與其他光器件的耦合有重要意義。單模光纖的偏振現(xiàn)象一般軸對稱單模光纖可同時傳輸兩個線偏振正交模式。（沿x方向偏振的線偏振模和沿y方向偏振的線偏振模；也可分為沿左旋方向的圓偏振模和沿右旋方向的圓偏振模）。理想的均勻各向同性的直圓柱單模光纖的兩個正交模式具有相同的傳播常數(shù)，合成光場是一個方向不隨時間變化的線偏振模。但實(shí)際光纖由于存在非軸對稱和彎曲，兩個模式不再具有相同的傳播常數(shù)，兩正交模式在傳播過程中，發(fā)生模式耦合，導(dǎo)致基模的偏振態(tài)沿光纖長度方向變化，產(chǎn)生線偏振—橢圓偏振—圓偏振—橢圓偏振—線偏振周期變化。橢圓偏振的特征參量：EmaxEmin仰角ξ：橢圓度η：偏振度P：差拍長度Lb：η為正，電場向量沿偏振橢圓逆時針旋轉(zhuǎn)，η為負(fù)，電場向量沿偏振橢圓順時針旋轉(zhuǎn)。η=0（P=1）代表圓偏振；η=1（P=0）代表線偏振；0<η<1（0<P<1）代表