新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第12講 指數(shù)函數(shù)（原卷版）

第12講指數(shù)函數(shù)【基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖】指數(shù)與指數(shù)函數(shù)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)指數(shù)的概念【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】一、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1．根式（1）SKIPIF1<0次方根的概念與性質(zhì)SKIPIF1<0次方根概念一般地，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.性質(zhì)①當(dāng)SKIPIF1<0是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的SKIPIF1<0次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的SKIPIF1<0次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí)，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根用符號(hào)SKIPIF1<0表示.②當(dāng)SKIPIF1<0是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)，正數(shù)SKIPIF1<0的正的SKIPIF1<0次方根用符號(hào)SKIPIF1<0表示，負(fù)的SKIPIF1<0次方根用符號(hào)SKIPIF1<0表示.正的SKIPIF1<0次方根與負(fù)的SKIPIF1<0次方根可以合并寫成SKIPIF1<0.負(fù)數(shù)沒有偶次方根.③0的任何次方根都為0，記作SKIPIF1<0.（2）根式的概念與性質(zhì)根式概念式子SKIPIF1<0叫做根式，這里SKIPIF1<0叫做根指數(shù)，SKIPIF1<0叫做被開方數(shù).性質(zhì)①SKIPIF1<0.②當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0.③當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0.【注】速記口訣：正數(shù)開方要分清，根指奇偶大不同，根指為奇根一個(gè)，根指為偶雙胞生．負(fù)數(shù)只有奇次根，算術(shù)方根零或正，正數(shù)若求偶次根，符號(hào)相反值相同．負(fù)數(shù)開方要慎重，根指為奇才可行，根指為偶無意義，零取方根仍為零．2．實(shí)數(shù)指數(shù)冪（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪①我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是SKIPIF1<0.于是，在條件SKIPIF1<0下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.（2）有理數(shù)指數(shù)冪規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義之后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)冪推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對(duì)于任意有理數(shù)SKIPIF1<0，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.（3）無理數(shù)指數(shù)冪對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪，我們可以從有理數(shù)指數(shù)冪來理解，由于無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此可以取無理數(shù)的不足近似值和過剩近似值來無限逼近它，最后我們也可得出無理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).一般地，無理數(shù)指數(shù)冪SKIPIF1<0是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪.二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)SKIPIF1<0叫做指數(shù)函數(shù)，其中SKIPIF1<0是自變量，函數(shù)的定義域是SKIPIF1<0.【注】指數(shù)函數(shù)SKIPIF1<0的結(jié)構(gòu)特征：(1)底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)：僅有自變量x；(3)系數(shù)：ax的系數(shù)是1.2．指數(shù)函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與性質(zhì)SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖象定義域SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0奇偶性非奇非偶函數(shù)對(duì)稱性函數(shù)y=a?x與y=ax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱過定點(diǎn)過定點(diǎn)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)性在SKIPIF1<0上是減函數(shù)在SKIPIF1<0上是增函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0底數(shù)對(duì)圖象的影響指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小關(guān)系如下圖所示，其中0<c<d<1<a<b.①在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變?。虎谠趛軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小.即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針方向變大.【注】速記口訣：指數(shù)增減要看清，抓住底數(shù)不放松；反正底數(shù)大于0，不等于1已表明；底數(shù)若是大于1，圖象從下往上增；底數(shù)0到1之間，圖象從上往下減；無論函數(shù)增和減，圖象都過(0，1)點(diǎn)．3．有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域與值域形如SKIPIF1<0的函數(shù)的定義域就是SKIPIF1<0的定義域．求形如SKIPIF1<0的函數(shù)的值域，應(yīng)先求出SKIPIF1<0的值域，再由單調(diào)性求出SKIPIF1<0的值域．若a的范圍不確定，則需對(duì)a進(jìn)行討論．求形如SKIPIF1<0的函數(shù)的值域，要先求出SKIPIF1<0的值域，再結(jié)合SKIPIF1<0的性質(zhì)確定出SKIPIF1<0的值域．(2)判斷復(fù)合函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性令u=f(x)，x∈[m，n]，如果復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的單調(diào)性相同，那么復(fù)合后的函數(shù)SKIPIF1<0在[m，n]上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減)，那么復(fù)合函數(shù)SKIPIF1<0在[m，n]上是減函數(shù)．(3)研究函數(shù)的奇偶性一是定義法，即首先是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后分析式子SKIPIF1<0與f(?x)的關(guān)系，最后確定函數(shù)的奇偶性．二是圖象法，作出函數(shù)的圖象或從已知函數(shù)圖象觀察，若圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)或y軸對(duì)稱，則函數(shù)具有奇偶性．提示c>d>1>a>b>0.【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)01指數(shù)運(yùn)算、化簡(jiǎn)、求值1.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。2.計(jì)算下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.3．計(jì)算：SKIPIF1<0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋eq\r(4,3－π4)＋SKIPIF1<0＝______.4．計(jì)算：SKIPIF1<0＝________.(a>0，b>0)5．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝________.6．已知SKIPIF1<0則a，b，c的大小關(guān)系是________．考點(diǎn)02指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用7.(多選)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2021a＝2022b，下列等式可以成立的是()A．a(chǎn)＝b＝0 B．a(chǎn)<b<0C．0<a<b D．0<b<a8.若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．9.(2022·山東師大附中月考)函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是()10.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>1，b<0B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0考點(diǎn)03指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較指數(shù)式的大小11.若2x－2y<3－x－3－y，則()A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<012.[高考改編題]若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列結(jié)論一定成立的是()A．a(chǎn)＋b≤0 B．a(chǎn)－b≥0C．a(chǎn)－b≤0 D．a(chǎn)＋b≥0命題點(diǎn)2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式13.(1)若SKIPIF1<0，則函數(shù)y＝2x的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)14.已知實(shí)數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為______．命題點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用15.(1)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是________．(2)不等式4x－2x＋1＋a>0對(duì)任意x∈R都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【考點(diǎn)易錯(cuò)】易錯(cuò)01根式、指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值【典例1】鏡片的厚度是由鏡片的折射率決定，鏡片的折射率越高，鏡片越薄，同時(shí)鏡片越輕，也就會(huì)帶來更為舒適的佩戴體驗(yàn)．某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙、丙三位同學(xué)分別制作了三種不同的樹脂鏡片，折射率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則這三種鏡片中，制作出最薄鏡片和最厚鏡片的同學(xué)分別為（）A．甲同學(xué)和乙同學(xué) B．丙同學(xué)和乙同學(xué)C．乙同學(xué)和甲同學(xué) D．丙同學(xué)和甲同學(xué)【典例2】計(jì)算：21【變式1】1.計(jì)算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－2.計(jì)算：×0＋×－＝________.易錯(cuò)02：根式、指數(shù)冪的條件求值【典例3】已知x+x?1=3【典例4】設(shè)，求的值．【變式3】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）易錯(cuò)03：指數(shù)函數(shù)的圖象

【典例5】如圖，①②③④中不屬于函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一個(gè)是（）A．① B．② C．③ D．④【典例6】函數(shù)y＝ax－SKIPIF1<0(a>0，且a≠1)的圖象可能是（）A． B．C． D．易錯(cuò)04：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【典例7】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例8】（2021·北京高三其他模擬）已知函數(shù)SKIPIF1<0則不等式SKIPIF1<0的解集是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例9】函數(shù)的值域是_________.【典例10】已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，（1）求值；（2）求函數(shù)的值域；【鞏固提升】1．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是()3.已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域和值域都是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____________.4.下列各式比較大小正確的是()A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.15．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]6．與函數(shù)y＝(a－1)x2－2x－1在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是()7.已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是()A．a(chǎn)<0，b<0，c<0B．a(chǎn)<0，b≥0，c>0C．2－a<2cD．2a＋2c<28.函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x－x2的值域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(0,2]9.設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010.已知函數(shù)SKIPIF1<0，則fx是A．奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在0,+∞上是增函數(shù)C．奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D．偶函數(shù)，且在0,+∞上是減函數(shù)11.若函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012.函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)開_______．13．已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的圖象過定點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為_______.14．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=__________.15．已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1