新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第21講 弧度制及任意角的三角函數(shù)（解析版）

第21講弧度制及任意角的三角函數(shù)【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】考點(diǎn)01角的概念與推廣1．任意角的概念：正角、負(fù)角、零角2．象限角與軸線角：與SKIPIF1<0終邊相同的角的集合：SKIPIF1<0第一象限角的集合：SKIPIF1<0第二象限角的集合：SKIPIF1<0第三象限角的集合：SKIPIF1<0第四象限角的集合：SKIPIF1<0終邊在SKIPIF1<0軸上的角的集合：SKIPIF1<0終邊在SKIPIF1<0軸上的角的集合：SKIPIF1<0終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：SKIPIF1<0考點(diǎn)02任意角與弧度制1．任意角：(1)定義:角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

(2)分類:按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角;按終邊位置分為象限角和軸線角.

(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S={β|β=α+k·360°,k∈Z}2．弧度制：(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角.弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值 |α|=l/r(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算 ①1°=SKIPIF1<0rad,②1rad=SKIPIF1<0弧長(zhǎng)公式 弧長(zhǎng)l=|α|r扇形面積公式 S=SKIPIF1<0lr=SKIPIF1<0|α|r2【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】1、已知SKIPIF1<0是第三象限角,求角SKIPIF1<0的終邊所處的位置.【答案】SKIPIF1<0是第二或第四象限角【解析】方法一：∵SKIPIF1<0是第三象限角，即，∴SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0是第二象限角，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0是第四象限角，yx123412yx12341234方法二：由圖知:SKIPIF1<0的終邊落在二，四象限.【總結(jié)】（1）要熟練掌握象限角的表示方法．本題容易誤認(rèn)為SKIPIF1<0是第二象限角，其錯(cuò)誤原因?yàn)檎J(rèn)為第三象限角的范圍是SKIPIF1<0．解決本題的關(guān)鍵就是為了湊出SKIPIF1<0的整數(shù)倍，需要對(duì)整數(shù)進(jìn)行分類．（2）確定“分角”所在象限的方法：若SKIPIF1<0是第k(1、2、3、4)象限的角，利用單位圓判斷SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0)是第幾象限角的方法：把單位圓上每個(gè)象限的圓弧n等份，并從x正半軸開始，沿逆時(shí)針方向依次在每個(gè)區(qū)域標(biāo)上1、2、3、4，再循環(huán)，直到填滿為止，則有標(biāo)號(hào)k的區(qū)域就是角SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)終邊所在的范圍。如：k=3，如下圖中標(biāo)有號(hào)碼3的區(qū)域就是SKIPIF1<0終邊所在位置．【變式1-1】已知SKIPIF1<0是第二象限角,求角SKIPIF1<0的終邊所處的位置.【答案】SKIPIF1<0是第一或第二或第四象限角【解析】方法一：∵SKIPIF1<0是第二象限角，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0是第一象限角，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0是第二象限角，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0是第四象限角，∴SKIPIF1<0是第一或第二或第四象限角.方法二：k=2，如下圖中標(biāo)有號(hào)碼2的區(qū)域就是SKIPIF1<0終邊所在位置．【考點(diǎn)易錯(cuò)】1.與角eq\f(9π,4)的終邊相同的角可表示為()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)【答案】C【解析】eq\f(9,4)π＝eq\f(9,4)×180°＝360°＋45°＝720°－315°，∴與角eq\f(9,4)π的終邊相同的角可表示為k·360°－315°，k∈Z.故選：C2.已知弧度為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A．2 B．sin2C．eq\f(2,sin1) D．2sin1【答案】C【解析】由題設(shè)知，圓弧的半徑r＝eq\f(1,sin1)，∴圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l＝2r＝eq\f(2,sin1).故選：C【鞏固提升】1.若α為第四象限角，則A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α為第四象限角，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0此時(shí)SKIPIF1<0的終邊落在第三、四象限及SKIPIF1<0軸的非正半軸上，所以SKIPIF1<0，故選：D．方法二：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由SKIPIF1<0在第四象限可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；故選：D．2.已知SKIPIF1<0是第一象限角，那么SKIPIF1<0是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角【答案】D【解析】依題意得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是第一象限角當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是第三象限角故選：D.3.已知角SKIPIF1<0為第四象限角，SKIPIF1<0的終邊與單位圓交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因?yàn)榻荢KIPIF1<0為第四象限角，SKIPIF1<0的終邊與單位圓交于點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以由任意角的三角函數(shù)的定義得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：A4.已知點(diǎn)P(sinθ，cosθ)是角α終邊上的一點(diǎn)，其中θ＝eq\f(2π,3)，則與角α終邊相同的最小正角為________.【答案】eq\f(11π,6).【解析】因?yàn)棣龋絜q\f(2π,3)，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，故α為第四象限角且cosα＝eq\f(\r(3),2)，所以α＝2kπ＋eq\f(11π,6)，k∈Z，則最小的正角為eq\f(11π,6).5、已知角SKIPIF1<0的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與SKIPIF1<0軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】B【解析】SKIPIF1<0角SKIPIF1<0的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與SKIPIF1<0軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選SKIPIF1<0．5.若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0<0，則角SKIPIF1<0是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】由題,因?yàn)镾KIPIF1<0,則SKIPIF1<0的終邊落在第二象限或第三象限；因?yàn)镾KIPIF1<0,則SKIPIF1<0的終邊落在第三象限或第四象限；綜上,SKIPIF1<0的終邊落在第三象限故選：C.7、下列與角eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)【答案】：C【解析】：與角eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確．8、在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,8)，sin\f(π,8)))，且0<α<2π，則α＝()A.eq\f(π,8) B.eq\f(3π,8) C.eq\f(5π,8) D.eq\f(7π,8)【答案】D【解析】(1)因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,8)，sin\f(π,8)))，且0<α<2π，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知cosα＝－coseq\f(π,8)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,8)))＝coseq\f(7π,8)，則α＝eq\f(7π,8).故選D.9．若α是第四象限角，則π－α是第()象限角．A.一 B.二 C.三 D.四【答案】：C【解析】：∵α是第四象限角，∴－eq\f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－2kπ<－α<－2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，故π－α是第三象限角．10．若扇形的面積為eq\f(3π,8)、半徑為1，則扇形的圓心角為()A.eq\f(3π,2) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(3π,8) D.eq\f(3π,16)【答案】：B【解析】：設(shè)扇形的圓心角為α，∵扇形的面積為eq\f(3π,8)、半徑為1，∴eq\f(3π,8)＝eq\f(1,2)α·12，∴α＝eq\f(3π,4).11、關(guān)于角度，下列說法正確的是()A．時(shí)鐘經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度是60°B．鈍角大于銳角C．三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第一或第三象限角【答案】：BD【解析】：對(duì)于A，時(shí)鐘經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角是－60°，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，鈍角一定大于銳角，顯然正確；對(duì)于C，若三角形的內(nèi)角為90°，則是終邊在y軸正半軸上的角，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵角α的終邊在第二象限，∴2kπ＋eq\f(π,2)＜α＜2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，2nπ＋eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)＜2nπ＋eq\f(π,2)，n∈Z，得eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，(2n＋1)π＋eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)＜(2n＋1)π＋eq\f(π,2)，n∈Z，得eq\f(α,2)是第三象限角，故正確．12、已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R．(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？【解析】：(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓．∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，∴l(xiāng)＝eq\f(10,3)π(cm)．∴S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10,3)π×10－eq\f(1,2)×102·sin60°＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))cm2．(2)∵扇形周長(zhǎng)C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2＋α)))eq\s\up12(2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(α,4＋4α＋α2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(C2,16)，當(dāng)且僅當(dāng)α＝eq\f(4,α)，即α＝2(α＝－2舍去)時(shí)，扇形面積有最大值eq\f(C2,16)．13、已知扇形的圓心角是α，半徑是r，弧長(zhǎng)為l.(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)為20，求扇形面積的最大值，并求此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù)．【解析】(1)因?yàn)棣粒?00°＝100×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,9)，所以S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,9)×4＝eq\f(10π,9).(2)由題意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，故S扇形＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，當(dāng)r＝5時(shí)，S的最大值為25，此時(shí)l＝10，則α＝eq\f(l,r)＝214、已知sinα＜0，tanα＞0．(1)求α角的集合；(2)求eq\f(α,2)終邊所在的象限；(3)試判斷taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符號(hào)．【解析】：(1)由sinα＜0，知α的終邊在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tanα＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合為{α|(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}．(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)終邊在第二、四象限．(3)當(dāng)eq\f(α,2)在第二象限