新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第04講 一元二次不等式及簡單不等式（原卷版）

第04講一元二次不等式及簡單不等式【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】1、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))x≠－\f(b,2a)))R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??2、由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0對任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4ac＜0.))（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b2－4ac＜0.))3、．簡單分式不等式(1)eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))(2)eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)1不含參的不等式1(1)(2020·全國Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，則A∩B等于()A．{－4,1}B．{1,5}C．{3,5}D．{1,3}(2)不等式eq\f(1－x,2＋x)≥0的解集為()A．[－2,1] B．(－2,1]C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)考點(diǎn)2含參不等式例2解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．【變式拓展】在本例中，把a(bǔ)>0改成a∈R，解不等式．【變式】(1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3)))))，則不等式x2－bx－a≥0的解集是________．(2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．例3對于任意實(shí)數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(－2,2) D．(－2,2]考點(diǎn)3在給定區(qū)間上的恒成立問題例4已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．考點(diǎn)4給定參數(shù)范圍的恒成立問題例5若mx2－mx－1<0對于m∈[1,2]恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．【變式】(1)若不等式ax2－x＋a>0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)<－eq\f(1,2)或a>eq\f(1,2) B．a(chǎn)>eq\f(1,2)或a<0C．a(chǎn)>eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)<a<eq\f(1,2)(2)當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是()A．(－∞，4] B．(－∞，－5)C．(－∞，－5] D．(－5，－4)【拓展】設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的兩根為x1，x2，且x1<x2，相應(yīng)的二次函數(shù)為f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即為二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，它們的分布情況見下面各表(每種情況對應(yīng)的均是充要條件)．表一：(兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況)分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0(x1<0，x2<0)兩個(gè)正根即兩根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0，一個(gè)根大于0(x1<0<x2)大致圖象(a>0)得出的結(jié)論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<0，,f0>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>0，,f0>0))f(0)<0大致圖象(a<0)得出的結(jié)論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<0，,f0<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>0，,f0<0))f(0)>0綜合結(jié)論(不討論a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<0，,a·f0>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>0，,a·f0>0))a·f(0)<0表二：(兩根與k的大小比較)分布情況兩根都小于k即x1<k，x2<k兩根都大于k即x1>k，x2>k一個(gè)根小于k，一個(gè)根大于k即x1<k<x2大致圖象(a>0)得出的結(jié)論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<k，,fk>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>k，,fk>0))f(k)<0大致圖象(a<0)得出的結(jié)論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<k，,fk<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>k，,fk<0))f(k)>0綜合結(jié)論(不討論a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<k，,a·fk>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>k，,a·fk>0))a·f(k)<0表三：(根在區(qū)間上的分布)分布情況兩根都在(m，n)內(nèi)兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)(圖象有兩種情況，只畫了一種)一根在(m，n)內(nèi)，另一根在(p，q)內(nèi)，m<n<p<q大致圖象(a>0)得出的結(jié)論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,fm>0，,fn>0，,m<－\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn<0，,fp<0，,fq>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fmfn<0，,fpfq<0))大致圖象(a<0)得出的結(jié)論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,fm<0，,fn<0，,m<－\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn>0，,fp>0，,fq<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fmfn<0，,fpfq<0))綜合結(jié)論(不討論a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,fm·fn>0，,m<－\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fmfn<0，,fpfq<0))根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間(m，n)外，即在區(qū)間兩側(cè)x1<m，x2>n，(圖形分別如下)需滿足的條件是(1)a>0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn<0；))(2)a<0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn>0.))對以上的根的分布表中，兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)有以下特殊情況：(ⅰ)若f(m)＝0或f(n)＝0，則此時(shí)f(m)·f(n)<0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為m或n，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間(m，n)內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在區(qū)間(1,3)上有一根，因?yàn)閒(1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根為eq\f(2,m)，由1<eq\f(2,m)<3得eq\f(2,3)<m<2即為所求；(ⅱ)方程有兩個(gè)相等的根，且這個(gè)根在區(qū)間(m，n)內(nèi)，即Δ＝0，此時(shí)由Δ＝0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)．如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在區(qū)間(－3,0)內(nèi)，求m的取值范圍．分析：①由f(－3)·f(0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出－3<m<－eq\f(15,14)；②由Δ＝0即16m2－4(2m＋6)＝0得出m＝－1或m＝eq\f(3,2)，當(dāng)m＝－1時(shí)，根x＝－2∈(－3,0)，即m＝－1滿足題意；當(dāng)m＝eq\f(3,2)時(shí)，根x＝3?(－3,0)，故m＝eq\f(3,2)不滿足題意．綜上分析，得出－3<m<－eq\f(15,14)或m＝－1.例1已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例2已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例3已知二次函數(shù)f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)易錯(cuò)】易錯(cuò)01一元二次不等式及簡單不等式的解法例1、求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－3>0；(2)x-12x【變式】1、解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4.【變式】2、（1）解不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0則不等式SKIPIF1<0的解集為________．【變式】3、若關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0的解集為________．易錯(cuò)02含參不等式的討論例1、(1)解關(guān)于實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的不等式：SKIPIF1<0．(2)解關(guān)于實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的不等式：SKIPIF1<0．【變式】1、求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集【變式】2、解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)。易錯(cuò)03恒成立問題例3、設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若對于一切實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【變式】1、若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[－2,2]C．(－2,2] D．(－∞，－2)【變式】2、已知函數(shù)SKIPIF1<0，若對任意SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【鞏固提升】1、(2020·北京市海淀區(qū)期末)不等式x2＋2x－3<0的解集為()A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}C．{x|－1<x<3} D．{x|－3<x<1}2、若集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03、(2020·黃岡調(diào)研)關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是()A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)4、“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要條件是()A．m>eq\f(1,4) B．m<eq\f(1,4)C．m<1 D．m>15、下列四個(gè)解不等式，正確的有()A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(x\b\lc\|\rc\(x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3D．關(guān)于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，則p＋q的值為－16．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，則不等式x2－bx－a<0的解集是()A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))7.已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b