特訓(xùn)16 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 解答壓軸題（全國(guó)期末九大題型）（解析版）-A4

第頁(yè)特訓(xùn)16指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)解答壓軸題（全國(guó)期末精選，九大題型）目錄：題型1：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)求值題型2：根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍題型3：根據(jù)方程的根、交點(diǎn)個(gè)數(shù)等求參數(shù)范圍題型4：指、對(duì)數(shù)函數(shù)中構(gòu)造或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決題型5：根據(jù)最值求參數(shù)題型6：含參的定義域與值域問題題型7：恒成立問題題型8：雙變量問題題型9：新定義綜合題型1：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)求值1．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函數(shù)．(1)解關(guān)于的不等式；(2)若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若將區(qū)間劃分成2022個(gè)小區(qū)間，且滿足，試判斷和式是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)值，若不是請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或(3)是定值，1【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案；（2）將在上有實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為在上有實(shí)數(shù)解，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域，即可求得答案；（3）利用在區(qū)間上是增函數(shù)，化簡(jiǎn)已知和式，脫掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求得答案.【解析】（1）由得，得，，所以不等式的解集為；（2）在上有實(shí)數(shù)解，在上有實(shí)數(shù)解，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增函數(shù)，故，則，即，解得或；（3）由知，在區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)任意劃分，均有，++，所以此和式為定值1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答此題的關(guān)鍵是解答第三問時(shí)，要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，化簡(jiǎn)和式，脫去絕對(duì)值符號(hào)，進(jìn)而求解.題型2：根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍2．（23-24高二下·浙江·期末）已知函數(shù)．(1)若，求的取值范圍．(2)記已知函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)．①若，求的取值范圍；②若，且是其中兩個(gè)非零的零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題意，分與代入計(jì)算，求解不等式，即可得到結(jié)果；（2）（ⅰ）將問題轉(zhuǎn)化為的實(shí)根個(gè)數(shù)問題，然后求得與時(shí)，根的個(gè)數(shù)，從而可得的范圍，然后分別檢驗(yàn)，即可得到結(jié)果；（ⅱ）結(jié)合（?。┲械慕Y(jié)論可得，再由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.【解析】（1）由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，顯然滿足條件；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，解得．綜上，的解集為，即當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，成立．（2）（?。┝钤}可轉(zhuǎn)化為的實(shí)根個(gè)數(shù)問題（二重根為一個(gè)零點(diǎn)）．當(dāng)時(shí)，即為，所以至多一個(gè)實(shí)根①；當(dāng)時(shí)，即為，所以至多兩個(gè)實(shí)根②．由①知，），所以，由②知，，所以或，所以或，且．當(dāng)時(shí)，若，則有兩個(gè)零點(diǎn)0和，符合題意．當(dāng)時(shí)，①無實(shí)根，對(duì)于②，只要，化簡(jiǎn)得，則，符合題意．當(dāng)時(shí)，若，則有三個(gè)不等實(shí)根，不符合題意．若，則有兩個(gè)零點(diǎn)0和，符合題意．若，則僅有一個(gè)零點(diǎn)0，不符合題意．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為.（ⅱ）由（?。┑卯?dāng)時(shí)，，且三個(gè)零點(diǎn)分別為，顯然，所以．易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是分段討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).題型3：根據(jù)方程的根、交點(diǎn)個(gè)數(shù)等求參數(shù)范圍3．（23-24高一上·湖南邵陽(yáng)·期末）定義在上的冪函數(shù).(1)求的解析式；(2)已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)根，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）由冪函數(shù)的定義求出的值，并由定義域?qū)Φ闹颠M(jìn)行取舍，進(jìn)而得到解析式；（2）通過換元得到的解析式，確定給定方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)的取值范圍，再將用表示出即可求解作答.【解析】（1）是冪函數(shù)，，解得或3.當(dāng)時(shí)，，與函數(shù)的定義域是R矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意..（2）由（1）可得，，代入函數(shù)中，有令，作函數(shù)圖像如下：若，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，若，即時(shí)，；由于，，則，綜上所述，，作圖如下：其與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，，且，，，，即，∵和在ln2,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，.，化簡(jiǎn)得：.即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.4．（23-24高一上·浙江麗水·期末）已知函數(shù)，且(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）列出方程，求出，得到解析式；（2）令，得到其單調(diào)性和奇偶性，換元得到在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得到，設(shè)的兩根為，的兩根為，由奇偶性得到，進(jìn)而求出.【解析】（1）由題有時(shí)，解得或，因?yàn)?，所以，故；?）由（1），則方程為設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=0時(shí)等號(hào)成立，可得則原方程可化為，令，因?yàn)?，故函?shù)為上的偶函數(shù)，設(shè)，，，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由偶函數(shù)得在上單調(diào)遞減，最小值為故原條件等價(jià)于方程在有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即，解得，不妨設(shè)的兩根為，的兩根為，由為上的偶函數(shù)，可得，即，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題處理思路：①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)；②分別作出內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或范圍；③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到復(fù)合函數(shù)在不同范圍下的零點(diǎn)個(gè)數(shù).5．（23-24高一上·重慶江北·期末）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若函數(shù)，且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)5(2)【分析】（1）首先化簡(jiǎn)函數(shù)Fx（2）首先化簡(jiǎn)函數(shù)?x【解析】（1），，，當(dāng)x∈2,4，，所以Fx的值域?yàn)?，所以函?shù)的最大值為5；（2），令，則，，令，整理可得①，，作出簡(jiǎn)圖，如下，當(dāng)時(shí)，，顯然不合題意，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以①式有兩個(gè)根，且一根在區(qū)間0,2內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，設(shè)，則有或，即或，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的第一個(gè)關(guān)鍵是利用換元，化簡(jiǎn)函數(shù)，并將方程轉(zhuǎn)化為，第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是通過的交點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題.題型4：指、對(duì)數(shù)函數(shù)中構(gòu)造或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決6．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)根？【答案】(1)(2)(3)或.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，列式求解，即得答案；（2）分離參數(shù)，將不等式gx<0對(duì)任意的x∈1,+∞恒成立轉(zhuǎn)化為,利用換元，即，可得（3）利用換元，即，將有實(shí)根轉(zhuǎn)化為的根的問題，繼而轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題，分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的零點(diǎn)分布，即可求得答案.【解析】（1）由函數(shù)是定義域在上的偶函數(shù)，則對(duì)于，都有f?x=fx，即即對(duì)于，都有，即，由于不恒等于0，故，得.（2）結(jié)合（1）可得，則，令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在x∈1,+∞上單調(diào)遞增，得，則不等式gx<0對(duì)任意的x∈1,+∞恒成立等價(jià)于所以即可，又，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，令，則，則原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程的根的問題，由于，令，則的圖象為開口向上的拋物線在y軸右側(cè)部分（含y軸），，①當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)對(duì)稱軸，函數(shù)在有唯一零點(diǎn)；②當(dāng)且在有唯一零點(diǎn)時(shí)，，可得：或；③當(dāng)在有兩個(gè)不相等零點(diǎn)時(shí)，設(shè)零點(diǎn)為，則，可得：.綜上：或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合考查了函數(shù)奇偶性、不等式恒成立以及方程的解的問題，綜合性較強(qiáng)，解答的關(guān)鍵是（3）中要將方程有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，然后分類討論，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)的分布，即可求解.題型5：根據(jù)最值求參數(shù)7．（23-24高一上·廣東汕尾·期末）平原上兩根電線桿間的電線有相似的曲線形態(tài)，這些曲線在數(shù)學(xué)上稱為懸鏈線．懸鏈線在工程上有廣泛的應(yīng)用．在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類曲線的函數(shù)表達(dá)式可以為，其中a、b為非零實(shí)數(shù)(1)利用單調(diào)性定義證明：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；(2)若為奇函數(shù)，函數(shù)，，探究是否存在實(shí)數(shù)a，使的最小值為?若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）由為奇函數(shù)，得，則，令，則可化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，由函數(shù)的最小值求出a的值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，且，則．因?yàn)?，所以，，則有，，所以，即，所以在0,+∞上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，得，所以，所以．令，，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，則可化為，．假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使即的最小值為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，不符合要求；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，此時(shí)，不滿足．綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：函數(shù)是否存在最小值，配方和換元是解題關(guān)鍵，，令，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，是否存在最小值，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.8．（23-24高一上·貴州遵義·期末）已知函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，設(shè)函數(shù)，且對(duì)任意都有恒成立．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)定義求得，則，結(jié)合反函數(shù)性質(zhì)得，再根據(jù)已知得為偶函數(shù)，由偶函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)n，即可得的解析式；（2）由題設(shè)，令，進(jìn)而得到，且，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)及其最小值求參數(shù)即可.【解析】（1）由題設(shè)，可得，故，由函數(shù)的圖象與函數(shù)y=gx的圖象關(guān)于對(duì)稱，即兩函數(shù)互為反函數(shù)，故，故，定義域?yàn)镽，由，即，所以為偶函數(shù)，即恒成立，故，則.（2）由（1）得，且，令，則，即，所以，且，開口向上，對(duì)稱軸為，所以在上的最小值為，當(dāng)，即時(shí)，，可得；當(dāng)，即時(shí)，，所以，可得或，均不滿足前提；綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問，注意對(duì)數(shù)函數(shù)定義、反函數(shù)性質(zhì)及偶函數(shù)判斷并求參；第二問，將含指數(shù)函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)換元，轉(zhuǎn)化二次函數(shù)，再利用最值求參.題型6：含參的定義域與值域問題9．（23-24高一上·黑龍江牡丹江·期末）已知函數(shù)且.(1)若，求不等式的解集；(2)若，是否存在，使得在區(qū)間上的值域是，若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）把代入，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式化為一元二次不等式求解.（2）由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，再由一元二次方程根的分布求解即可.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，不等式，則有，即，整理得，解得，所以不等式的解集是.（2）函數(shù)中，，解得，即的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)在上都單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，假定存在，使得在區(qū)間上的值域是，于是，即，則，因此關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)，則有，整理得，顯然此不等式組無解，所以不存在這樣的滿足條件.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)把對(duì)數(shù)不等式化為一元二次不等式求解，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.10．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函數(shù)（且）．(1)求的定義域；(2)若當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(1,+∞)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，若存在，求出?shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0結(jié)合分析不等式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意分析可知在上有且只有一個(gè)解，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)單調(diào)性運(yùn)算求解；（3）根據(jù)定義域和值域可得，且，結(jié)合單調(diào)性分析可知有兩個(gè)大于1相異實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布運(yùn)算求解.【解析】（1）由，得或．所以的定義域?yàn)椋?）令，可知在(1,+∞)上為增函數(shù)，可得，且，可知的值域?yàn)?，因?yàn)?，則在定義域內(nèi)為減函數(shù)，可得，所以函數(shù)fx在上的值域?yàn)?，又因?yàn)楹瘮?shù)在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且只有一個(gè)解，所以b的范圍是．（3）存在，理由如下：假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，由且，可得，且．令，可知在上為增函?shù)，因?yàn)?，則在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，可得，可知在上有兩個(gè)互異實(shí)根，可得，即有兩個(gè)大于1相異實(shí)數(shù)根．則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用函數(shù)思想確定方程解的個(gè)數(shù)的兩種方法（1）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建不等式(方程)求解；（2）分離參數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解．題型7：恒成立問題11．（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)滿足：對(duì)，都有，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值，并寫出函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)無需證明；(2)函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，零點(diǎn)是；(2)存在，【分析】（1）根據(jù)，即可求出的值，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可寫出函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)；（2）根據(jù)的定義域，得到在是增函數(shù)，若恒成立，則首先要滿足?x>0恒成立，再利用換元法，結(jié)合在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，即可求解．【解析】（1）由題意可得：，且當(dāng)時(shí)，，則，解得，在上單調(diào)遞減，由于，且時(shí)，增大的幅度比增大的幅度越來越快，故在上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，故函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)是；（2）令，可得，即，定義域?yàn)椋?，則對(duì)，，且，可得，且在是增函數(shù)，則，即，在是增函數(shù)，若恒成立，則首先要滿足?x>0又，，令，令，，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意時(shí)恒成立，而在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在0,3上是增函數(shù)，又，故恒成立，只需恒成立，即，解得，綜上所述：存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)以及指對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問題，涉及到函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)和不等式恒成立問題，綜合性強(qiáng)，解答的難點(diǎn)在于（2）中求解是否存在的問題；解答時(shí)要根據(jù)的定義域，得到在是增函數(shù)，若恒成立，則首先要滿足?x>0恒成立，然后利用換元法結(jié)合在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，進(jìn)行求解．12．（23-24高一上·河南駐馬店·期末）設(shè)的定義域?yàn)镽，若，都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”．(1)若在R上單調(diào)遞減，證明是“函數(shù)”；(2)已知函數(shù)．①證明是上的奇函數(shù)，并判斷是否為“函數(shù)”（無需證明）；②若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析，是；②【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式，整理為函數(shù)的定義的形式，由此證得是“函數(shù)”.（2）①根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證得是上的奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義判斷出是“函數(shù)”.②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化簡(jiǎn)不等式，利用分離常數(shù)法，結(jié)合換元法、函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）若在R上單調(diào)遞減，則，即，即，整理得：，所以是“函數(shù)”．（2）①定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是上的奇函數(shù)．在R上單調(diào)遞減，是“函數(shù)”.②是R上的奇函數(shù)，并為“函數(shù)”，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，可得在上恒成立，故在上恒成立，即在上恒成立，又注意到，結(jié)合，知，得：．令，其中易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．令，即恒成立，其中函數(shù)與函數(shù)均在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．故，得，則的范圍為．【點(diǎn)睛】解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.題型8：雙變量問題13．（23-24高一上·浙江·期末）已知函數(shù)，（，a為常數(shù)）．(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若與在上的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，且，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程，解出即可.（2）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性，可得，且，從而用分析法轉(zhuǎn)化不等式證明即可.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?且，若函數(shù)是偶函數(shù)，則，即，化為，則，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，故實(shí)數(shù)的值為（2）因?yàn)楹瘮?shù)，，則方程，化為，設(shè)當(dāng)時(shí)，，易得在0,1上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，易得在上單調(diào)遞增；因?yàn)閥=fx與在上的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故在有兩個(gè)不同的根，且兩個(gè)根分別在區(qū)間0,1和內(nèi)，又，所以，且，則故即，要證，即證，即證，只需證，即證，即證，即證，因?yàn)?，所以，所以成立，則成立.要證，只需證，即證，即證，即證，即證，因?yàn)?，不等式顯然成立，故成立，綜上知，.【點(diǎn)睛】本題第二問的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性得到，且，從而用分析法將問題轉(zhuǎn)化為單變量不等式，由此可證.14．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知函數(shù)，．(1)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知點(diǎn)，是函數(shù)圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，(2)或(3)【分析】（1）去掉絕對(duì)值化簡(jiǎn)后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析即可.（2）由小問（1）的單調(diào)性，畫出函數(shù)的草圖，結(jié)合圖象分析即可.（3）由題意得，得出的范圍，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)得與的關(guān)系式，借助關(guān)系式用來表示，即，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性可得值域，即的取值范圍.【解析】（1），則的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，．（2）函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在的最小值為，同理，在的最小值為，故結(jié)合圖象可得，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)需滿足解得：．或解得：．綜上所述：或．（3）由題意得：，則．且，則，因?yàn)?，，所以，故．所以．又，故單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，故．因此的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：要求的范圍，未知數(shù)較多，遇到未知數(shù)多時(shí)需要通過減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)來降低解決問題的難度；判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：①結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象或結(jié)合圖象變換分析單調(diào)性；②復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；③多個(gè)函數(shù)加減的單調(diào)性：，，，；題型9：新定義綜合15．（23-24高一上·山東濟(jì)寧·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域；(2)試判斷的單調(diào)性，并說明理由；(3)定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”．若函數(shù)存在“完美區(qū)間”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增，理由見解析(3)【分析】（1）由函數(shù)解析式直接求定義域；（2）法一：利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定；法二：定義法證明單調(diào)性；（3）由題意可知方程在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以與在上至少存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)．再利用基本不等式求出函數(shù)的值域即可.【解析】（1）要使函數(shù)的表達(dá)式有意義，須使，解得，所以函數(shù)的定義域是．（2）在上單調(diào)遞增．理由如下：法一：因?yàn)?，又在上為增函?shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增．法二：因?yàn)?，?duì)任意，，且，可知，則，又，可知，所以，即．故在上單調(diào)遞增，（3）由（2）可知在上單調(diào)遞增，設(shè)區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”．則，．可知方程在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以與在上至少存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)．令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以．故實(shí)數(shù)b的取值范圍為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第三問由題意，可將問題轉(zhuǎn)化為方程在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以與在上至少存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)．接下來利用換元法求出函數(shù)的值域即可.16．（23-24高一上·廣西賀州·期末）設(shè)區(qū)間是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)子集，若存在，使得成立，則稱是的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，也稱在區(qū)間上存