《電工與電子技術》課件第4章

第4章正弦交流電的基本概念4.1引言4.2正弦交流電的三要素4.3正弦電量的相量表示法4.4正弦交流電路中的元件

4.1引言

電路中的電量有周期性變化和非周期性變化兩類。我們把波形的大小和方向隨時間作正弦周期性變化的電量稱為正弦交流電，如圖4.1所示。圖4.1正弦交流電正弦交流電的數(shù)學表達式為

i=Imsin(ωt+j)

(4.1)

式中，i表示正弦交流電的瞬時值；ω表示正弦交流電變化的快慢，稱為角速度；Im表示正弦交流電的最大值，稱為幅值；j表示正弦交流電的起始位置，稱為初相位。

正弦交流電比恒定直流電更容易產生、傳輸和分配，使用正弦交流電的電機、電器等用電設備可獲得較好的性能，并且正弦交流電的信號經過各種數(shù)學運算(如四則運算、微積分)后仍是正弦函數(shù)，這些特性使得正弦交流電成為最基本、最重要的電量形式，其應用非常廣泛。正弦交流電也可簡稱交流電。

4.2正弦交流電的三要素

4.2.1變化的快慢

正弦交流電變化的快慢可用三種方式表示。

1.周期T

交流電量往復變化一周所需的時間叫一個周期，用字母T表示，單位是秒(s)，如圖4.1所示。

2.頻率f

每秒內波形重復變化的次數(shù)稱為頻率，用字母f表示，單位是赫茲(Hz)。頻率和周期互為倒數(shù)，即(4.2)我國電網所供給的交流電頻率是50Hz，周期為0.02s。

3.電角頻率ω

交流電量角度的變化率稱為角頻率，用字母ω表示，單位是弧度/秒(rad／s)，即(4.3)上式表明，周期T、頻率f和角頻率ω三者之間可以互相換算。它們都從不同角度表示了正弦交流電的同一物理實質，即變化的快慢。4.2.2相位

1.相位和初相位

正弦電量的表達式中，(ωt+j)叫做交流電的相位。t=0時，ωt+j=j稱為初相位(簡稱初相)，它是確定交流電量初始狀態(tài)的物理量。在波形上，j表示在計時前交流電量由負值向正值增長的零點到t=0的計時起點之間所對應的最小電角度，如圖4.1所示。不知道j就無法畫出交流電量的波形圖，也寫不出完整的表達式。

2.相位差

相位差是指兩個同頻率的正弦電量在相位上的差值。由于我們討論的是同頻正弦交流電，因而相位差實際上等于兩個正弦電量的初相之差。例如：

u=Umsin(ωt+j1)

i=Imsin(ωt+j2)

則相位差

Δj=(ωt+j1)－(ωt+j2)=j1－j2(4.4)

當j1>j2時，u比i先達到正的最大值或先達到零值，此時它們的相位關系是u超前于i(或i滯后于u)。

當j1<j2時，u滯后于i(或i超前于u)。

當j1=j2時，u與i同相。

當Δj=±π/2時，稱u與i正交；而Δj=±π時，稱u與i反相。

以上五種情況分別如圖4.2中(a)、(b)、(c)、(d)和(e)所示。圖4.2正弦量的相位關系(a)u超前；(b)u滯后；(c)同相；(d)正交；(e)反相4.2.3交流電的大小

交流電的大小有三種表示方式。

1.瞬時值

瞬時值指任一時刻交流電量值的大小，如i、u和e，用小寫字母表示，它們都是時間的函數(shù)。

2.最大值

最大值指交流電量在一個周期中最大的瞬時值，它是交流電波形的振幅，如Im、Um和Em，通常用大寫字母并加注下標m表示。

3.有效值

引入有效值的概念是為了研究交流電量在一個周期中的平均效果。它的定義是:讓正弦交流電和直流電分別通過兩個阻值相等的電阻，如果在相同時間T內(T可取為正弦交流電的周期)兩個電阻消耗的能量相等，則我們把該直流電稱為交流電的有效值，如圖4.3所示。

當直流電流I流過電阻R時，該電阻在時間T內消耗的電能為

W直=I2RT

(4.5)

當正弦電流i流過電阻R時,在相同時間T內電阻消耗的電能為

(4.6)圖4.3有效值的概念(a)交流；(b)直流根據有效值的定義

W直=W交

則有此式叫均方根值，即有效值的定義式。設i=Imsin(ωt+j)，并帶入上式得到(4.7)(4.8)同理有(4.9)(4.10)即正弦量的最大值等于有效值的倍。有效值是一個非常重要的概念，所有用電設備銘牌上標注的都是有效值。

4.3正弦電量的相量表示法

由于復數(shù)可用來表示矢量，矢量可用來表示正弦量，因而復數(shù)也就可以表示正弦量。為了與一般的復數(shù)及表示空間矢量的復數(shù)相區(qū)別，我們把表示正弦時間函數(shù)的復數(shù)叫做相量，并用在大寫字母上方加點表示。

設正弦電量是i=Imsin(ωt+j)，現(xiàn)在討論復數(shù)指數(shù)函數(shù)Imej(ωt+j)的展開式:

Imej(ωt+j)=Im[cos(ωt+j)+jsin(ωt+j)]

=Imcos(ωt+j)+jImsin(ωt+j)

上式的虛部恰好就是正弦電流的表達式，即

i=Im[Imej(ωt+j)]=Imsin(ωt+j)

(4.11)因為正弦電量是由振幅、頻率和相位這三要素決定的，在頻率相同的正弦電量激勵下，電路中的各個電量都具有相同的頻率，所以確定一個正弦電量就只需振幅和相位兩個要素，則

i＝Im[Imej(ωt＋

)]＝Im[Imejjejwt]＝Im[?mejωt]

(4.12)

式中

?m＝Imej

(4.13)

?m叫做電流的最大值相量，它由振幅和初相位確定；ej

叫旋轉因子，它是模為1、輻角為ωt且隨時間不斷旋轉的單位相量。

相量也可以畫在復平面上，用有向線段表示，叫相量圖，如圖4.4所示。圖4.4相量圖利用相量圖，?？墒瓜嗔恐g的關系更加清楚。

同理，電壓相量的最大值表示為

(4.14)

電流和電壓的有效值相量表示為

(4.15)

(4.16)

【例4.1】

已知

試畫出它們的相量圖，求出u=u1+u2及其有效值。解

u1和u2的有效值相量為故的相量圖如圖4.5所示。

圖4.5例4.1相量圖

4.4正弦交流電路中的元件

4.4.1電阻元件

對線性電阻，在正弦交流電的激勵下，其伏安關系在任一瞬間都服從歐姆定律，故有(4.17)其參考正方向如圖4.6(a)所示。圖4.6電阻元件(a)電路；(b)波形；(c)相量圖；(d)模型電路設i＝Imsin(ωt＋

)，則

u＝Ri＝RImsin(ωt＋

)＝Umsin(ωt＋

)

其中

(4.18)

有效值

(4.19)

上式表明電阻的電壓和電流是兩個同頻率、同相位的正弦量，如圖4.6(b)所示。

將電流、電壓分別用相量式表示：(4.20)(4.21)則4.4.2電感元件

設一電感元件，其電壓、電流和電感電勢采用關聯(lián)參考方向，如圖4.7(a)所示。

圖4.7電感元件(a)電路；(b)XL的頻率特性；(c)相位關系；(d)相量關系；(e)電路模型設通過電感的電流為

i=Imsin(ωt+ji)

則(4.22)式中：ULm＝ωLIm或UL＝ωLI。定義XL＝ωL＝2πfL，稱XL為感抗，則(4.23)感抗XL所呈現(xiàn)的物理意義是:對于一定的電感L，當頻率增高時，其所呈現(xiàn)的感抗增大；反之亦然，如圖4.7(b)所示。又有(4.24)由式(4.22)可知電感上的電壓和電流同頻，如圖4.7(c)所示。由式(4.24)可知電感上電壓的相位超前電流90°，如圖4.7(d)所示。由于(4.25)因而(4.26)4.4.3電容元件

若一電容元件上的電壓和電流采用關聯(lián)參考方向，如圖4.8(a)所示。設電容電壓為

u(t)=Umsin(ωt+ju)

則電容電流為

(4.27)上式中UmωC=Im或(4.28)XC稱為電容的容抗。它的物理意義是:當電容C一定時，頻率越高，電容對交流電流所呈現(xiàn)的阻礙作用越小，即容抗越小。當f=0時，XC→∞，電容相當于開路。XC的頻率特性如圖4.8(b)所示。

又有(4.29