2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE課時(shí)作業(yè)13拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)|基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．過點(diǎn)(2,4)作直線l，與拋物線y2＝8x只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線l有()A．1條B．2條C．3條D．4條解析：可知點(diǎn)(2,4)在拋物線y2＝8x上，∴過點(diǎn)(2,4)與拋物線y2＝8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條與拋物線的對(duì)稱軸平行．答案：B2．過拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)，作直線l交拋物線于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)，若y1＋y2＝6，則|P1P2|＝()A．5B．6C．8D．10解析：拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線為y＝－1，因?yàn)镻1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)是過拋物線焦點(diǎn)的直線l與拋物線的交點(diǎn)，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝8.答案：C3．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A．(2，±2eq\r(2))B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,2eq\r(2))解析：設(shè)A(x，y)，則y2＝4x，①又eq\o(OA,\s\up13(→))＝(x，y)，eq\o(AF,\s\up13(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))＝x－x2－y2＝－4.②由①②可解得x＝1，y＝±2.答案：B4．直線y＝x＋b交拋物線y＝eq\f(1,2)x2于A，B兩點(diǎn)，O為拋物線頂點(diǎn)，OA⊥OB，則b的值為()A．－1B．0C．1D．2解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將y＝x＋b代入y＝eq\f(1,2)x2，化簡(jiǎn)可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，則b＝2或b＝0，經(jīng)檢驗(yàn)b＝0時(shí)，不滿意OA⊥OB，故b＝2.答案：D5．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32)D.eq\f(9,4)解析：易知拋物線中p＝eq\f(3,2)，焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直線AB的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，代入拋物線方程y2＝3x，整理得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(21,2).由拋物線的定義可得弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12，結(jié)合圖象可得O到直線AB的距離d＝eq\f(p,2)·sin30°＝eq\f(3,8)，所以△OAB的面積S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,4).答案：D二、填空題(每小題5分，共15分)6．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為________．解析：拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由拋物線的定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為eq\f(5,2).因此，點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為eq\f(5,2)＋1＝eq\f(7,2).答案：eq\f(7,2)7．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________．

解析：如圖，分別過A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，因?yàn)閨BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BB1|，所以∠BCB1＝30°，所以∠AFx＝60°，連接A1F則△AA1F為等邊三角形，過F作FF1⊥AA1于F1則F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l于x軸于K，則|KF|＝|A1F1|＝eq\f(1,2)|AA1|＝eq\f(1,2)|AF|，即p＝eq\f(3,2)，所以拋物線方程為y2＝3x.答案：y2＝3x8．過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸左側(cè))，則eq\f(|AF|,|FB|)＝________.解析：由題意可得焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，故直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(p,2)，與x2＝2py聯(lián)立得A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xA＝－eq\f(\r(3),3)p，xB＝eq\r(3)p，故Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)p，\f(1,6)p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)p，\f(3,2)p))，所以|AF|＝eq\f(2,3)p，|BF|＝2p，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)三、解答題(每小題10分，共20分)9．等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p>0)上．若該三角形的斜邊長(zhǎng)為4，求拋物線的方程．解析：如圖，設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A，B在拋物線上．依據(jù)拋物線的性質(zhì)知A，B關(guān)于x軸對(duì)稱．由題意得A(2,2)在拋物線y2＝2px上，所以p＝1，拋物線的方程為y2＝2x.10．已知拋物線y2＝6x，過點(diǎn)P(4,1)引一弦，使它恰在點(diǎn)P被平分，求這條弦所在的直線方程．解析：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在拋物線上，∴yeq\o\al(2,1)＝6x1，yeq\o\al(2,2)＝6x2.兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①∵y1＋y2＝2，代入①得k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝3.∴直線的方程為y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.|實(shí)力提升|(20分鐘，40分)11．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，則k的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\f(2,3)解析：設(shè)拋物線C：y2＝8x的準(zhǔn)線為l：x＝－2，直線y＝k(x＋2)(k>0)恒過定點(diǎn)P(－2,0)，如圖過A，B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，則|AM|＝2|BN|，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，連接OB，則|OB|＝eq\f(1,2)|FA|，所以|OB|＝|BF|，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2eq\r(2))，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得k的值為eq\f(2\r(2),3).答案：C12．平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x2＝2py(p>0)交于點(diǎn)O，A，B.若△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為________．解析：由題意，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,x2＝2py，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2pb,a)，,y＝\f(2pb2,a2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))故Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2pb,a)，\f(2pb2,a2))).所以kAF＝eq\f(\f(2pb2,a2)－\f(p,2),\f(2pb,a))＝eq\f(4b2－a2,4ab).因?yàn)镕為△OAB的垂心，所以直線AF與另一條漸近線垂直，故kAF·(－eq\f(b,a))＝－1，即eq\f(4b2－a2,4ab)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))＝－1，整理得b2＝eq\f(5,4)a2，所以c2＝a2＋b2＝eq\f(9,4)a2，故c＝eq\f(3,2)a，即e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)13．已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．(1)若|AF|＝4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求線段AB的長(zhǎng)的最小值．解析：由y2＝4x，得p＝2，其準(zhǔn)線方程為x＝－1，焦點(diǎn)F(1,0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由拋物線的定義可知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，從而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2eq\r(3).∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2eq\r(3))或(3，－2eq\r(3))．(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)．與拋物線方程聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.∵直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則k≠0，并設(shè)其兩根為x1，x2，∴x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2).由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋eq\f(4,k2)>4.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝1，與拋物線相交于A(1,2)，B(1，－2)，此時(shí)|AB|＝4，∴|AB|≥4，即線段AB的長(zhǎng)的最小值為4.14．點(diǎn)M(m,4)(m>0)為拋物線x2＝2py(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，已知|FM|＝5.(1)求m與p的值；(2)以M點(diǎn)為切點(diǎn)作拋物線的切線，交y軸于點(diǎn)N，求△FMN的面積．解析：(1)由拋物線定