數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一判斷兩條直線的位置關(guān)系1．（1）判斷兩條直線平行，需要判斷其斜率相等（斜率存在時(shí)），即k1＝k2。兩條直線斜率相等,則兩條直線可能平行也可能重合，還需要再進(jìn)一步判斷截距不相等，即b1≠b2.如果兩條直線的斜率不存在,兩條直線的方程為x＝a1,x＝a2，只需a1≠a2即可；（2)判斷兩條直線平行，也可用系數(shù)比．2．判斷兩條直線垂直：（1)如果斜率都存在，只判斷k1k2＝－1,如果一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率必等于零，從斜率的角度判斷,應(yīng)注意上面的兩種情況；(2)利用A1A2＋B1B2＝0判斷．【典型例題1】判斷下列各組直線的位置關(guān)系,若相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．（1)l1：4x＋3y－2＝0與l2：x＋2y＋2＝0；(2)l1：x＋2y－＝0與l2：2x＋4y－1＝0；(3）l1：x－3y＝0與l2:y＝x＋1.思路分析：判斷兩直線位置關(guān)系的解法有三種:一是根據(jù)方程組的解的個(gè)數(shù)判定；二是根據(jù)方程的系數(shù)間的關(guān)系判定;三是化成斜截式方程判定．解法一：（1)解方程組①×2－②×3得5x－10＝0,所以x＝2.將x＝2代入①得y＝－2，所以兩直線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－2）．（2）解方程組①×2－②得0＝0，即此方程組有無數(shù)多個(gè)解，所以兩直線重合．（3)解方程組由①得x＝3y,代入②得y＝y(tǒng)＋1,即0＝1不成立，所以方程組無解，所以兩直線平行．解法二：（1）由于A1＝4，B1＝3，C1＝－2,A2＝1，B2＝2,C2＝2，所以D1＝A1B2－A2B1＝4×2－1×3＝5≠0，所以兩直線相交．解方程組得所以兩直線的交點(diǎn)為（2，－2)．（2）由于A1＝1,B1＝2，C1＝－，A2＝2，B2＝4，C2＝－1，所以D1＝A1B2－A2B1＝1×4－2×2＝0,D2＝A1C2－A2C1＝1×（－1)－2×＝－1＋1＝0，所以兩直線重合．（3）由于A1＝1，B1＝－3，C1＝0，A2＝,B2＝－1，C2＝1,所以D1＝A1B2－A2B1＝1×（－1)－×(－3）＝－1＋1＝0,D2＝A1C2－A2C1＝1×1－×0＝1－0＝1≠0，所以兩直線平行．解法三:(1）l1:y＝－x＋，l2：y＝－x－1。因?yàn)閗1≠k2,所以兩直線相交．（2)l1：y＝－x＋，l2：y＝－x＋。因?yàn)閗1＝k2且b1＝b2，所以兩直線重合．(3）l1：y＝x，l2：y＝x＋1.因?yàn)閗1＝k2且b1≠b2，所以兩直線平行．點(diǎn)評(píng)根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判斷兩直線位置關(guān)系，當(dāng)x，y的系數(shù)是未知數(shù)時(shí)不好用;利用方程的系數(shù)間的關(guān)系判定難記憶；化成斜截式易操作．探究二利用兩條直線的位置關(guān)系確定參數(shù)利用兩直線的位置關(guān)系求字母參數(shù)取值時(shí)，提倡直接根據(jù)兩直線平行、相交或垂直的系數(shù)整式條件列方程或不等關(guān)系，這樣不易丟解或增解;若用比例式求解，一定要對(duì)特殊情況單獨(dú)討論．【典型例題2】（1）直線l1：（m＋2)x＋（m2－3m）y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3）y－1＝0，如果l1∥l2,求m的值；（2）直線l1：ax＋(1－a)y＝3與l2:（a－1）x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．思路分析：既可以用直線一般式方程形式判斷,也可以用斜率的關(guān)系求解，但需考慮斜率不存在的情況．(1）解法一:當(dāng)l1，l2的斜率都存在時(shí)，由l1∥l2，得＝,解得m＝－4；當(dāng)l1，l2的斜率不存在時(shí)，l1與l2的方程分別為x＝－,x＝,顯然l1∥l2，m＝3.故m＝－4或m＝3即為所求．解法二：若l1∥l2，則有解得m＝－4。當(dāng)m＝3時(shí)，直線l1與l2的方程分別為x＝－,x＝，顯然l1∥l2，綜上所述m＝－4或m＝3。（2）解法一：當(dāng)a＝1時(shí)，l1為x＝3，l2為y＝,故l1⊥l2;當(dāng)a＝－時(shí),l1的方程為－x＋y＝3,l2的方程為－x＝2，顯然l1，l2不垂直；當(dāng)a≠1，且a≠－時(shí)，由k1·k2＝－1，得×＝－1，解得a＝－3.綜上所述，當(dāng)a＝1或a＝－3時(shí)，l1⊥l2.解法二:利用A1A2＋B1B2＝0，即a（a－1)＋（1－a)(2a＋3)＝0,解得a＝1或a＝－3.探究三求與已知直線平行或垂直的直線方程1．求與直線y＝kx＋b平行的直線的方程時(shí)，根據(jù)兩直線平行的條件可設(shè)為y＝kx＋m（m≠b），然后通過待定系數(shù)法，求參數(shù)m的值．2．求與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程時(shí)，可設(shè)方程為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知條件求出m即可．3．求與直線y＝kx＋b（k≠0）垂直的直線方程時(shí)，根據(jù)兩直線垂直的條件可設(shè)為y＝－x＋m(k≠0)，然后通過待定系數(shù)法，求參數(shù)m的值．4．求與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為零）垂直的直線時(shí)，可巧設(shè)為Bx－Ay＋m＝0（A，B不同時(shí)為零），然后用待定系數(shù)法，求出m.【典型例題3】已知點(diǎn)A(2,2）和直線l：3x＋4y－20＝0.求：(1）過點(diǎn)A和直線l平行的直線方程；(2)過點(diǎn)A和直線l垂直的直線方程．思路分析:本題可根據(jù)兩條直線平行與垂直時(shí)斜率間的關(guān)系，求出所求直線的斜率后用點(diǎn)斜式求解，也可利用直線系方程來求解．(1）解法一:利用直線方程的點(diǎn)斜式求解．由l：3x＋4y－20＝0，得直線l的斜率kl＝－.設(shè)過點(diǎn)A且平行于l的直線為l1,則直線l1的斜率kl1＝kl＝－，所以l1的方程為y－2＝－（x－2），即3x＋4y－14＝0.解法二:利用直線系方程求解．設(shè)過點(diǎn)A且平行于直線l的直線l1的方程為3x＋4y＋m＝0（m≠－20）．由點(diǎn)A(2,2)在直線l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14.故直線l1的方程為3x＋4y－14＝0。(2)解法一：設(shè)過點(diǎn)A與l垂直的直線為l2，直線l的斜率為kl，直線l2的斜率為。因?yàn)閗l＝－1，所以kl2＝，故直線l2的方程為y－2＝（x－2），即4x－3y－2＝0.解法二：設(shè)過點(diǎn)A且垂直于直線l的直線l2的方程為4x－3y＋m＝0。因?yàn)閘2經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0,解得m＝－2。故l2的方程為4x－3y－2＝0.探究四對(duì)稱問題關(guān)于對(duì)稱問題，主要有中心對(duì)稱和軸對(duì)稱兩種：（1)對(duì)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，只需運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可；(2)對(duì)于直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱,根據(jù)所求直線與已知直線平行可先設(shè)出方程,然后利用已知直線上任取一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)一定在所求直線上即可求出方程．結(jié)論為l關(guān)于點(diǎn)P(x0，y0）對(duì)稱的直線方程是A(2x0－x）＋B（2y0－y)＋C＝0.對(duì)于點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱,一般按下列步驟處理．若兩點(diǎn)P1(x1，y1）與P2（x2，y2）關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱,則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上,而且連接P1,P2的直線垂直于對(duì)稱軸l。由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中A≠0,x1≠x2)．【典型例題4】（1）求點(diǎn)A（3，2)關(guān)于點(diǎn)B(－3,4）的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2）求直線3x－y－4＝0關(guān)于點(diǎn)P(2，－1)對(duì)稱的直線l的方程；(3)求點(diǎn)A（2,2)關(guān)于直線2x－4y＋9＝0的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)．思路分析:（1)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程求解；（2)根據(jù)所求直線上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P（2，－1）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足已知直線方程來求解；（3）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及垂直關(guān)系聯(lián)合列式求解．解:(1)設(shè)C(x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得故所求的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為C（－9，6）．（2）取直線l上任一點(diǎn)（x，y），則它關(guān)于點(diǎn)P（2,－1）的對(duì)稱點(diǎn)(4－x,－2－y）在直線3x－y－4＝0上．所以3(4－x)－（－2－y)－4＝0。所以3x－y－10＝0。所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0.（3）設(shè)B（a，b)是A(2，2）關(guān)于直線2x－4y＋9＝0的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)直線AB與已知直線垂直，且線段AB的中點(diǎn)在已知直線2x－4y＋9＝0上，則有解得所以所求的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1,4）．探究五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：忽視了兩條直線垂直的特殊情況而致誤【典型例題5】求經(jīng)過點(diǎn)A（2,1）且與直線2x＋ay－10＝0垂直的直線l的方程．錯(cuò)解：因?yàn)樗笾本€與2x＋ay－10＝0垂直，所以根據(jù)l1⊥l2k1k2＝－1，得所求直線的斜率為，所以根據(jù)點(diǎn)斜式得l:y－1＝（x－2），整理得ax－2y－2a＋2＝0。錯(cuò)因分析：漏掉了當(dāng)a＝0時(shí)這一特殊情況的討論，其實(shí)斜率為0的直線與斜率不存在的直線也是相互垂直的，但卻不能用k1k2＝－1來求．正解：①當(dāng)a＝0時(shí)，已知直線化為x＝5,此時(shí)直線斜率不存在,則所求直線l的斜率為0，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)A（2,1)，所以直線l的方程為y－1＝0（x－2)，即y