數(shù)學學案：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學人教B選修1-1第三章3。3.1利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性1．通過函數(shù)的圖象直觀地了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系．2．會利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的單調(diào)性．用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的法則設函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，1．如果在(a，b）內(nèi)，________，則f(x）在此區(qū)間是增函數(shù)；2．如果在(a，b)內(nèi)，________，則f（x)在此區(qū)間是減函數(shù)．此法則只說明函數(shù)y＝f（x）在某區(qū)間上f′（x）＞0（或＜0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增（減)函數(shù)的充分條件，但并非必要條件．【做一做1－1】若函數(shù)y＝f(x）的導函數(shù)f′（x)在（a，b）上恒大于0，則函數(shù)y＝f（x）在(a,b）上是__________函數(shù)（填“增”或“減”）．【做一做1－2】函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)f′（x）＜0在（1,2)上恒成立,則區(qū)間（1,2）是函數(shù)y＝f（x)的__________區(qū)間(填“增”或“減”)．利用求導的方法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、判斷函數(shù)的單調(diào)性需注意哪些問題？剖析：（1)在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在定義域內(nèi)，通過討論導數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2)在對函數(shù)劃分區(qū)間時,除了必須注意確定使導數(shù)等于零的點外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導點．題型一函數(shù)的圖象與導數(shù)的關系【例1】已知導函數(shù)f′（x)的下列信息:當1＜x＜4時，f′(x）＞0;當x＞4或x＜1時,f′(x)＜0；當x＝4或x＝1時,f′（x）＝0.試畫出函數(shù)f（x)圖象的大致形狀．分析：題中給出的信息是函數(shù)y＝f（x）在實數(shù)集R上的部分，根據(jù)導函數(shù)的正負，畫出曲線的一個上升或下降的趨勢即可．反思：本題考查函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系．知道導數(shù)在區(qū)間上的符號(正、負)，可知函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性，進而可畫出其大致圖象．題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝x3－3x＋3；（2）f（x）＝x（ex－1)－eq\f（1，2）x2.分析:利用函數(shù)單調(diào)性判定法則解題．反思:求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間的方法和步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；（2)求導數(shù)f′（x）；(3）在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式f′(x)＞0和f′（x）＜0;(4）確定f(x)的單調(diào)區(qū)間．溫馨提示：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間不能用“或",“∪”聯(lián)結．題型三易錯題型【例3】(1）求函數(shù)f（x)＝x＋eq\f（1,x）的單調(diào)區(qū)間；(2)已知f(x)＝x＋eq\f(a,x)在［1，＋∞）上是增函數(shù),求a的取值范圍．(1)錯解:f′(x)＝1－eq\f（1,x2）。令1－eq\f（1,x2）＞0，解得x＞1或x＜－1。因此，f(x)的增區(qū)間為（－∞,－1)和（1,＋∞)．令1－eq\f（1,x2)＜0，解得－1＜x＜1.因此,f(x)的減區(qū)間為(－1,1）．錯因分析：沒有注意到函數(shù)的定義域是(－∞,0)∪（0，＋∞)．（2）錯解：f′(x）＝1－eq\f(a,x2）。由題意得1－eq\f（a,x2）＞0在［1,＋∞）上恒成立,即a＜x2在[1，＋∞)上恒成立．因為x2在[1，＋∞)上的最小值為1，所以a＜1,即a的取值范圍為（－∞，1）．錯因分析：f（x）在[1,＋∞）上是增函數(shù)時，導函數(shù)f′（x）≥0在［1，＋∞）上恒成立；而錯解用了f（x）在[1，＋∞）上是增函數(shù)時，f′(x)＞0在[1,＋∞)上恒成立．1函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（）A．（a,x1）B．（x2，b)C．(a,x1）∪(x2，b）D．(a，x1）和(x2，b）2在區(qū)間（a，b）內(nèi)，f′（x)＜0是f（x)在（a，b)上是減函數(shù)的（)A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋9的單調(diào)增區(qū)間為__________．4若函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋4在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為__________．5函數(shù)f(x)＝xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．答案:基礎知識·梳理1．f′(x)＞02．f′（x)＜0【做一做1－1】增【做一做1－2】減典型例題·領悟【例1】解：當1＜x＜4時，f′(x)＞0,可知f（x）在區(qū)間（1,4)上是增函數(shù)，曲線應呈“上升"趨勢；當x＞4或x＜1時，f′(x)＜0，可知f（x)在區(qū)間(－∞,1）和(4，＋∞）上是減函數(shù),曲線應呈“下降”趨勢；當x＝4或x＝1時，f′(x)＝0，這兩點比較特殊，我們稱它們?yōu)椤芭R界點"．綜上，函數(shù)f(x）圖象的大致形狀如圖所示．【例2】解：（1）f′（x)＝3x2－3＝3(x2－1）＝3（x＋1)（x－1)．令3(x＋1)（x－1)＞0,解得x＞1或x＜－1。因此，f（x)的增區(qū)間為(－∞，－1)和（1，＋∞）．令3（x＋1）（x－1)＜0,解得－1＜x＜1.因此，f（x)的減區(qū)間為（－1，1）．(2)f′（x)＝ex－1＋xex－x＝（ex－1)(x＋1)．令(ex－1)（x＋1）＞0，解得x＜－1或x＞0.因此,f(x）的增區(qū)間為（－∞,－1)和（0，＋∞)．令(ex－1）（x＋1)＜0，解得－1＜x＜0.因此，f(x）的減區(qū)間為(－1,0)．【例3】(1）正解：f′（x)＝1－eq\f(1,x2）.令1－eq\f（1，x2）＞0，解得x＞1或x＜－1.因此，f(x)的增區(qū)間為（－∞,－1）和(1，＋∞)．令1－eq\f(1,x2)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.因此，f（x）的減區(qū)間為（－1，0）和(0，1)．（2）正解：f′（x)＝1－eq\f（a，x2）。由題意得1－eq\f(a,x2）≥0在［1,＋∞）上恒成立，即a≤x2在［1，＋∞)上恒成立．因為x2在[1,＋∞)上的最小值為1，所以a≤1，即a的取值范圍為（－∞,1]．隨堂練習·鞏固1．D2．A3．（－∞，0)和（2,＋∞)4．(－∞，－3]f′(x)＝3x2＋2ax.由題意得3x2＋2ax≤0在（0，2）內(nèi)恒成立，即a≤－eq\f(3，2)x在（0,2)內(nèi)恒成立．因為當x∈(0,2)時,－eq\f（3，2）x＞－3，所以a≤－3.5．eq\b\lc\(\