解題技巧專(zhuān)題：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中點(diǎn)四邊形、新定義問(wèn)題壓軸題五種模型全攻略（原卷版）

專(zhuān)題18解題技巧專(zhuān)題：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中點(diǎn)四邊形、新定義問(wèn)題壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一矩形、菱形、正方形中求定值問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二矩形、菱形、正方形中求最小值問(wèn)題】 10【考點(diǎn)三矩形、菱形、正方形中求最大值問(wèn)題】 18【考點(diǎn)四矩形、菱形、正方形中點(diǎn)四邊形問(wèn)題】 24【考點(diǎn)五矩形、菱形、正方形中新定義問(wèn)題】 33【典型例題】【考點(diǎn)一矩形、菱形、正方形中求定值問(wèn)題】例題：（2023上·江西吉安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，P是上不與A和D重合的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作和的垂線，垂足為E，F(xiàn)；的值是定值嗎？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果是定值請(qǐng)求出這個(gè)定值．

【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川德陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，邊長(zhǎng)為定值的正方形的中心與正方形的頂點(diǎn)重合，且與邊、相交于、，圖中陰影部分的面積記為，兩條線段、的長(zhǎng)度之和記為，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，則有（

）A．變化，不變 B．不變，變化 C．變化，變化 D．與均不變2．（2022上·廣東梅州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上一點(diǎn)，有且，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊，的距離之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值3．（22-23八年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期中）如圖1，在正方形中，E為的中點(diǎn)，將正方形沿著翻折得到四邊形，直線與直線相交于點(diǎn)F，連接．

(1)的度數(shù)是；(2)若將正方形變?yōu)榱庑?，①如圖2，若，，求的長(zhǎng)度；②如圖3，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2023上·福建漳州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、過(guò)點(diǎn)作，交點(diǎn)，以、為鄰邊作矩形，連接．

(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，的最小值，最小值是多少？【考點(diǎn)二矩形、菱形、正方形中求最小值問(wèn)題】例題：（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，點(diǎn)M為中點(diǎn)，則最小值為（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2023上·寧夏銀川·九年級(jí)銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，邊長(zhǎng)為8的正方形中，為邊上一點(diǎn)，且，是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．2．（2023上·甘肅張掖·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，連接，若，則的最小值為．3．（2024上·廣東河源·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，E，F(xiàn)分別是過(guò)，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，G，H分別為，的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．4．（2023下·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形中，，，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)P作邊點(diǎn)Q，點(diǎn)R線段上的一點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)R為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，為的中位線，求的值；(2)當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)確定點(diǎn)R的位置，并求出的最小值；(3)當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，在備用圖中作出此時(shí)點(diǎn)P，Q的位置，寫(xiě)作法并寫(xiě)出的最小值．【考點(diǎn)三矩形、菱形、正方形中求最大值問(wèn)題】例題：（2023上·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），，分別是，的中點(diǎn)，則的最大值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江蘇南京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，E為邊的中點(diǎn)，P為邊上的一動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），F(xiàn)為的中點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最大值為．2．（2023下·北京海淀·八年級(jí)清華附中?？计谥校┚匦沃校?，點(diǎn)A是y軸正半軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸正半軸上．連接．則線段的長(zhǎng)度最大值是．3．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最大值為．

4．（2022上·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，，為正三角形，點(diǎn)，分別在菱形的邊，上滑動(dòng)，且，不與，，重合．當(dāng)點(diǎn)在，上滑動(dòng)時(shí)，求面積的最大值．

【考點(diǎn)四矩形、菱形、正方形中點(diǎn)四邊形問(wèn)題】例題：（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，E、F分別是、的中點(diǎn)，G、H分別是、的中點(diǎn)．

(1)請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．(2)四邊形滿足什么條件時(shí)，四邊形是菱形，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)四邊形滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別是四邊形邊的中點(diǎn)．則正確的是（

）

A．若，則四邊形為矩形B．若，則四邊形為菱形C．若是平行四邊形，則與互相平分D．若是正方形，則與互相垂直且相等2．（2023下·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形邊、、、的中點(diǎn)，下列說(shuō)法；①若，則四邊形為矩形：②若，則四邊形為菱形；③若四邊形是平行四邊形，則與互相平分；④若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等．其中正確的個(gè)數(shù)有個(gè)

3．（2023下·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，是線段上的一點(diǎn)，在的同側(cè)作和，使，，，連接，點(diǎn)，，，分別是，，，的中點(diǎn)，順次連接，，，．(1)猜想四邊形的形狀，直接回答，不必說(shuō)明理由；(2)點(diǎn)在線段的上方時(shí)，如圖2，在的外部作和，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；(3)如果（2）中，，其他條件不變，先補(bǔ)全圖3，再判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．4．（2023上·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．【概念理解】：（1）下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是______．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形【性質(zhì)探究】：（2）如圖1，四邊形是“中方四邊形”，觀察圖形，直接寫(xiě)出四邊形的對(duì)角線，的關(guān)系；【問(wèn)題解決】：（3）如圖2．以銳角的兩邊，為邊長(zhǎng)，分別向外側(cè)作正方形和正方形，連接，，．求證：四邊形是“中方四邊形”；【拓展應(yīng)用】：如圖3，已知四邊形是“中方四邊形”，M，N分別是，的中點(diǎn)．（4）試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（5）若，求的最小值．

【考點(diǎn)五矩形、菱形、正方形中新定義問(wèn)題】例題：（22-23九年級(jí)下·江西九江·階段練習(xí)）新定義題型構(gòu)思巧妙，立意新穎，重在考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，實(shí)踐能力及創(chuàng)新精神，讓我們?cè)囋嚢桑何覀兌x：有一組鄰角相等的凸四邊形叫作“等鄰角四邊形”．(1)定義理解：

如圖①，已知四邊形為等鄰角四邊形，且，求的度數(shù)．(2)定義運(yùn)用：如圖②，在五邊形中，，對(duì)角線平分，求證：四邊形為等鄰角四邊形；(3)定義拓展：如圖③，在等鄰角四邊形中，，點(diǎn)為邊邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，試猜想，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值是否會(huì)發(fā)生改變，并說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）新定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．(1)如圖1，若四邊形是“等對(duì)角四邊形”，，，，則的度數(shù)為_(kāi)_____．(2)如圖2，“等對(duì)角四邊形”，已知：，，你認(rèn)為成立嗎？若成立，請(qǐng)你證明此結(jié)論，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)在“等對(duì)角四邊形”中，，，，．求對(duì)角線的長(zhǎng)．2．（22-23八年級(jí)下·安徽合肥·期末）定義：在三角形中，若有兩條中線互相垂直，則稱(chēng)該三角形為中垂三角形．

(1)如圖（a），是中垂三角形，分別是邊上的中線，且于點(diǎn)，若，求證：是等腰三角形．(2)如圖（b），在中垂三角形中，分別是邊上的中線，且于點(diǎn)，求證：．(3)如圖（c），四邊形是菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．求證：是中垂三角形；3．（22-23八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）新定義：我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．(1)初步嘗試：如圖1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=5，P為AC上一點(diǎn)，當(dāng)AP=_____時(shí)，△ABP