2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章復(fù)數(shù)10.1.1復(fù)數(shù)的概念學(xué)案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE10.1.1復(fù)數(shù)的概念必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集之間的關(guān)系是什么?2.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件是什么?1.虛數(shù)單位為了使得方程x2=-1有解,人們規(guī)定i的平方等于-1,即稱i為虛數(shù)單位.2.復(fù)數(shù)的概念當(dāng)a與b都是實(shí)數(shù)時(shí),稱a+bi為復(fù)數(shù).3.復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)一般用小寫字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a稱為z的實(shí)部,b稱為z的虛部,分別記作Re(z)=a,Im(z)=b.4.復(fù)數(shù)集全部復(fù)數(shù)組成的集合稱為復(fù)數(shù)集,復(fù)數(shù)集通常用大寫字母C表示,因此C={z|z=a+bi,a,b∈R}.5.復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)QUOTE(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)肯定能比較大小嗎?提示:不肯定,只有當(dāng)這兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí),才能比較大小.(2)復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部是a,虛部是b嗎?提示:不肯定,對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),實(shí)部才是a,虛部才是b.6.復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個(gè)復(fù)數(shù)z1與z2,假如實(shí)部與虛部都對(duì)應(yīng)相等,我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,記作z1=z2.這就是說,假如a,b,c,d都是實(shí)數(shù),那么a+bi=c+di?a=c,且b=d;特殊地,當(dāng)a,b都是實(shí)數(shù)時(shí),a+bi=0?a=0,且b=0.若復(fù)數(shù)z1,z2為z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R),且z1=z2,則a+b的值為多少?提示:4.1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)若a,b為實(shí)數(shù),則z=a+bi為虛數(shù). ()(2)若a為實(shí)數(shù),則z=a肯定不是虛數(shù). ()(3)假如兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等. ()提示:(1)×.當(dāng)b=0時(shí),z=a+bi為實(shí)數(shù).(2)√.(3)√.假如兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0,則這兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等,則這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.2.若復(fù)數(shù)2-bi(b∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù),則b的值為 ()A.-2 B.QUOTE C.-QUOTE D.2【解析】選D.復(fù)數(shù)2-bi的實(shí)部為2,虛部為-b,由題意知2=-(-b),所以b=2.3.(教材二次開發(fā):例題改編)若4-3a-a2i=a2+4ai,則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.1 B.1或-4 C.-4 D.0或-4【解析】選C.易知QUOTE解得a=-4.關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一復(fù)數(shù)的概念(數(shù)學(xué)抽象)1.已知下列命題:①?gòu)?fù)數(shù)a+bi不是實(shí)數(shù);②當(dāng)z∈C時(shí),z2≥0;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x=±2;④若復(fù)數(shù)z=a+bi,則當(dāng)且僅當(dāng)b≠0時(shí),z為虛數(shù);⑤若a,b,c,d∈C時(shí),有a+bi=c+di,則a=c且b=d.其中真命題的個(gè)數(shù)是.

【思路導(dǎo)引】依據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念進(jìn)行推斷.【解析】依據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念推斷命題的真假.①是假命題,因?yàn)楫?dāng)a∈R且b=0時(shí),a+bi是實(shí)數(shù).②是假命題,如當(dāng)z=i時(shí),則z2=-1<0.③是假命題,因?yàn)橛杉兲摂?shù)的條件得QUOTE解得x=2.當(dāng)x=-2時(shí),對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).④是假命題,因?yàn)闆]有強(qiáng)調(diào)a,b∈R.⑤是假命題,只有當(dāng)a,b,c,d∈R時(shí),結(jié)論才成立.答案:02.請(qǐng)說出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,并推斷它們是實(shí)數(shù),虛數(shù),還是純虛數(shù).①2+3i;②-3+QUOTEi;③QUOTE+i;④π;⑤-QUOTEi;⑥0.【解析】①的實(shí)部為2,虛部為3,是虛數(shù);②的實(shí)部為-3,虛部為QUOTE,是虛數(shù);③的實(shí)部為QUOTE,虛部為1,是虛數(shù);④的實(shí)部為π,虛部為0,是實(shí)數(shù);⑤的實(shí)部為0,虛部為-QUOTE,是純虛數(shù);⑥的實(shí)部為0,虛部為0,是實(shí)數(shù).精確理解復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的概念復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)中,實(shí)數(shù)a和b分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.特殊留意,b為復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位的系數(shù),b連同它的符號(hào)叫做復(fù)數(shù)的虛部.類型二復(fù)數(shù)的分類(數(shù)學(xué)抽象)【典例】當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí),復(fù)數(shù)z=QUOTE+(m2-2m-15)i.(1)是虛數(shù).(2)是純虛數(shù).【思路導(dǎo)引】(1)若復(fù)數(shù)z是虛數(shù),則其虛部不等于0,同時(shí)留意使分式有意義.(2)若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),則其實(shí)部等于0,虛部不等于0.【解析】(1)當(dāng)QUOTE即m≠5且m≠-3時(shí),z是虛數(shù).(2)當(dāng)QUOTE即m=3或m=-2時(shí),z是純虛數(shù).本例中條件不變,當(dāng)m為何值時(shí),z為實(shí)數(shù)?【解析】當(dāng)QUOTE即m=5時(shí)z是實(shí)數(shù).解決復(fù)數(shù)分類問題的方法與步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn)式:解題時(shí)肯定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實(shí)部和虛部.(2)定條件:復(fù)數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)當(dāng)滿意的條件問題,只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,列出實(shí)部和虛部滿意的方程(不等式)即可.(3)下結(jié)論:設(shè)所給復(fù)數(shù)為z=a+bi(a,b∈R),①z為實(shí)數(shù)?b=0;②z為虛數(shù)?b≠0;③z為純虛數(shù)?a=0且b≠0.已知m∈R,復(fù)數(shù)z=QUOTE+(m2+2m-3)i,當(dāng)m為何值時(shí).(1)z為實(shí)數(shù)?(2)z為虛數(shù)?(3)z為純虛數(shù)?【解析】(1)要使z為實(shí)數(shù),m需滿意m2+2m-3=0,且QUOTE有意義,即m-1≠0,解得m=-3.(2)要使z為虛數(shù),m需滿意m2+2m-3≠0,且QUOTE有意義,即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)要使z為純虛數(shù),m需滿意QUOTE=0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或-2.類型三復(fù)數(shù)相等的條件及應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(1)若復(fù)數(shù)z=(m+1)+(m2-9)i<0,則實(shí)數(shù)m的值等于.

(2)已知關(guān)于x的方程(x2+x+3m)-(2x+1)i=0有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的值.【思路導(dǎo)引】(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化為虛部為零,且實(shí)部小于零;(2)依據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解.【解析】(1)因?yàn)閦<0,所以QUOTE所以m=-3.答案:-3(2)設(shè)a是原方程的實(shí)根,則(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,所以a2+a+3m=0且2a+1=0,所以a=-QUOTE且QUOTE-QUOTE+3m=0,所以m=QUOTE.復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧(1)必需是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以依據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等,虛部與虛部相等列方程組求解.(2)依據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題,為應(yīng)用方程思想供應(yīng)了條件,同時(shí)這也是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn).(3)假如兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù),可以比較大小,否則是不能比較大小的.1.關(guān)于x的方程3x2-QUOTEx-1=(10-x-2x2)i有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的值為.

【解析】由題意得,QUOTE解得a=11或a=-QUOTE.答案:11或-QUOTE2.已知x2-y2+2xyi=2i,求實(shí)數(shù)x,y的值.【解析】因?yàn)閤2-y2+2xyi=2i,所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知復(fù)數(shù)z=a2-(2-b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3,則實(shí)數(shù)a,b的值分別是 ()A.QUOTE,1 B.QUOTE,5C.±QUOTE,5 D.±QUOTE,1【解析】選C.令QUOTE得a=±QUOTE,b=5.2.下列復(fù)數(shù)中,滿意方程x2+1=0的x的取值是 ()A.1 B.-1C.i D.以上都不是【解析】選C.因?yàn)閤2+1=0,所以x2=-1,而i2=-1.3.下列命題正確的是 ()A.若a∈R,則(a+1)i是純虛數(shù)B.若a,b∈R且a>b,則a+i>b+iC.若x2+(x2+x)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x=0D.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小【解析】選D.在A中,若a=-1,則(a+1)i不是純虛數(shù),故A錯(cuò)誤;在B中,兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小,故B錯(cuò)誤;在C中,若x=0,不成立,故C錯(cuò)誤;D正確.4.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)以QUOTEi-QUOTE的虛部為實(shí)部,以8i2+QUOTEi的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是.

【解析】QUOTEi-QUOTE的虛部為QUOTE,8i2+QUOTEi=-8+QUOTEi的實(shí)部為-8.答案:QUOTE-8i5.(2024·南京高一檢測(cè))若實(shí)數(shù)x,y滿意x+yi=-1+QUOTEi(i是虛數(shù)單位),則xy=.

【解析】因?yàn)閤+yi=-1+QUOTEi,所以QUOTE解得QUOTE因此xy=QUOTE.答案:QUOTE四復(fù)數(shù)的概念(15分鐘30分)1.若a,b∈R,i是虛數(shù)單位,a+2020i=2-bi,則a2+bi= ()A.2020+2i B.2020+4iC.2+2020i D.4-2020i【解析】選D.因?yàn)閍+2020i=2-bi,所以a=2,-b=2020,即a=2,b=-2020,所以a2+bi=4-2020i.2.(2024·浙江高考)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù),則a= ()A.1 B.-1 C.2 D.-2【解析】選C.因?yàn)閍-1+(a-2)i為實(shí)數(shù),所以a-2=0,a=2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a,b∈R.“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的 ()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.因?yàn)閍,b∈R.“a=0”時(shí)“復(fù)數(shù)a+bi不肯定是純虛數(shù)”.“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”則“a=0”肯定成立.所以a,b∈R.“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件.3.i2+i是 ()A.實(shí)數(shù) B.虛數(shù) C.0 D.1【解析】選B.因?yàn)閕2=-1所以i2+i=-1+i,-1+i為虛數(shù).4.復(fù)數(shù)z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)為實(shí)數(shù)的充要條件是 ()A.|a|=|b| B.a<0且a=-bC.a>0且a≠b D.a≤0【解析】選D.復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)的充要條件是a+|a|=0,故a≤0.5.若復(fù)數(shù)z=a2-3+2ai的實(shí)部與虛部互為相反數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為.

【解析】由條件知a2-3+2a=0,解得a=1或a=-3.答案:1或-36.假如(m2-1)+(m2-2m)i>1,則實(shí)數(shù)m的值為.

【解析】由題意得QUOTE解得m=2.答案:2(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.(2024·南寧高一檢測(cè))若復(fù)數(shù)z滿意z=1-2i,i為虛數(shù)單位,則z的虛部為 ()A.-2i B.2 C.-2 D.2i【解析】選C.因?yàn)閦=1-2i,所以z的虛部為-2.2.若a是實(shí)數(shù),復(fù)數(shù)z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是純虛數(shù),則 ()A.a=0或a=2 B.a=0C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2【解析】選B.因?yàn)閺?fù)數(shù)z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是純虛數(shù),所以a2-2a=0且a2-a-2≠0,所以a=0.3.下列命題正確的是 ()A.(a2+1)i(a∈R)是純虛數(shù)B.-i2=-1C.若a>b,則a+i>b+iD.若z∈C,則z2>0【解析】選A.?a∈R,a2+1>0恒成立,所以A正確;-i2=-QUOTE=1,B錯(cuò)誤;虛數(shù)無法比較大小,C錯(cuò)誤;若z=i,則z2=-1<0,D錯(cuò)誤.4.若sin2θ-1+i(QUOTEcosθ+1)是純虛數(shù),則θ的值為 ()A.2kπ-QUOTE(k∈Z) B.2kπ+QUOTE(k∈Z)C.2kπ±QUOTE(k∈Z) D.QUOTEπ+QUOTE(k∈Z)【解析】選B.由題意,得QUOTE解得QUOTE(k∈Z),所以θ=2kπ+QUOTE,k∈Z.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.已知i為虛數(shù)單位,下列說法正確的是 ()A.若x,y∈R且x+yi=1+i,則x=y=1B.隨意兩個(gè)虛數(shù)都不能比較大小C.若復(fù)數(shù)z1,z2滿意QUOTE+QUOTE=0,則z1=z2=0D.i的平方等于1【解析】選AB.對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閤,y∈R,且x+yi=1+i,依據(jù)復(fù)數(shù)相等的性質(zhì),則x=y=1,故正確;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)樘摂?shù)不能比較大小,故正確;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)槿魪?fù)數(shù)z1=i,z2=1滿意QUOTE+QUOTE=0,則z1≠z2≠0,故不正確;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閺?fù)數(shù)i2=-1,故不正確.6.(2024·濰坊高一檢測(cè))已知i為虛數(shù)單位,下列命題中正確的是 ()A.若a≠0,則ai是純虛數(shù)B.虛部為-QUOTE的虛數(shù)有多數(shù)個(gè)C.實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集D.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的一個(gè)必要條件是它們的實(shí)部相等【解析】選BCD.對(duì)于A,若a=i,則ai=i2=-1,不是純虛數(shù),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,虛部為-QUOTE的虛數(shù)可以表示為m-QUOTEi(m∈R),有多數(shù)個(gè),故B正確;依據(jù)復(fù)數(shù)的分類,推斷C正確;兩個(gè)復(fù)數(shù)相等肯定能推出實(shí)部相等,必要性成立,但兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等推不出兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,充分性不成立,故D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,則實(shí)數(shù)m=,n=.

【解析】由復(fù)數(shù)相等的充要條件有QUOTE解得QUOTE答案:2±28.若復(fù)數(shù)z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2-5m)i,m為實(shí)數(shù),且z1>z2,則實(shí)數(shù)m的取值集合為【解析】因?yàn)閦1>z2,所以QUOTE解得m=0,所以實(shí)數(shù)m的取值集合為{0}.答案:{0}四、解答題(每小題10分,共20分)9.假如loQUOTE(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然數(shù)m,n的值.【解析】因?yàn)閘oQUOTE(m+n)-(m2-3m)i>-1,所以loQUOTE(m+n)-(m2-3m)i是實(shí)數(shù),從而有QUOTE由①得m=0或m=3,當(dāng)m=0時(shí),代入②得n<2,又m+n>0,所以n=1;當(dāng)m=3時(shí),代入②得n<-1,與n是自然數(shù)沖突,綜上可得m=0,n=1.10.已知關(guān)于x的方程x2+k