《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)》課件第六章

第六章三維圖形變換與三維觀察6.1三維幾何變換6.2投影變換6.3三維圖形裁剪6.4三維觀察體的規(guī)范化變換6.5三維觀察流程

6.1三維幾何變換

6.1.1平移

若三維空間中點(diǎn)P′(x′,y′,z′)是由點(diǎn)P(x,y,z)在

x，y和z軸方向分別移動(dòng)距離tx，ty和tz得到的，則這兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系為

x′=x+tx,y′=y+ty,z′=z+tz

(6.1)寫成矩陣形式為三維空間中物體的平移是通過平移物體的各個(gè)點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)，對(duì)于一組多邊形面表示的物體，可將表面的各頂點(diǎn)作平移，然后繪制更新后的新位置。6.1.2縮放

設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)經(jīng)縮放變換后得到點(diǎn)P′(x′,y′,z′)，則這兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系為(6.4)縮放系數(shù)sx、sy和sz可以是任何正數(shù)。縮放系數(shù)值小于1時(shí)，物體的尺寸縮??；值大于1時(shí)，物體的尺寸放大；值等于1時(shí)，物體尺寸不變。當(dāng)sx、sy和sz相等時(shí)，會(huì)產(chǎn)生保持物體相對(duì)比例的一致縮放；sx、sy和sz不等時(shí)，則會(huì)產(chǎn)生差值縮放。相對(duì)于一給定點(diǎn)(xf,yf,zf)的縮放變換可用下列變換序列來表示：

（1）平移給定點(diǎn)至原點(diǎn)。

（2）用式（6.4）相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)縮放物體。

（3）平移給定點(diǎn)至原始位置。

任一點(diǎn)的縮放變換矩陣表示形式可以用“平移—縮放—平移”變換組合表示如下：(6.5)6.1.3旋轉(zhuǎn)

1．繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)

設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為θ，繞坐標(biāo)軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正向旋轉(zhuǎn)，如圖6.2所示。圖6.2旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸正半軸（1）繞z軸的旋轉(zhuǎn)表示式為(6.6（2）繞x軸的旋轉(zhuǎn)表示式為(6.7)（3）繞y軸的旋轉(zhuǎn)表示式為(6.8)2．一般三維旋轉(zhuǎn)圖6.3新坐標(biāo)系它們分別對(duì)應(yīng)的單位向量為根據(jù)右手規(guī)則，o

軸的方向向量為(6.9)(6.10)(6.11)參照上面所講的繞通過坐標(biāo)原點(diǎn)的任意軸作旋轉(zhuǎn)變換的實(shí)現(xiàn)方法，根據(jù)式（6.6）、式（6.9）以及式（6.11），可得變換公式為(6.12)另一種思路是先確定任意軸的方向余弦與旋轉(zhuǎn)變換的關(guān)系，然后再用組合變換的思想實(shí)現(xiàn)繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換。如圖6.4所示，設(shè)有空間任意軸ON，其方向余弦分

別為

n1=cosα，n2=cosβ，n3=cosγ為實(shí)現(xiàn)空間點(diǎn)繞任意軸ON的旋轉(zhuǎn)變換，首先要把

ON軸繞z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度－θ2，再繞y軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度

－θ1，以便使ON軸與z軸相重合，如圖6.4所示。此時(shí)，空間點(diǎn)繞ON軸的旋轉(zhuǎn)就變成和繞z軸的旋轉(zhuǎn)一樣。然后，再把ON軸反旋轉(zhuǎn)回原來的位置。其中轉(zhuǎn)角θ1和θ2的確定是關(guān)鍵，它們可通過方向余弦來求得。圖6.4繞任意組的旋轉(zhuǎn)在oz軸上取一單位向量［0011］T，將該單位向量先繞y軸旋轉(zhuǎn)θ1角，然后再繞z軸旋轉(zhuǎn)θ2角，使之與ON軸

線重合。這樣，便可以列出ON軸線的方向余弦與轉(zhuǎn)角θ1和轉(zhuǎn)角θ2之間的關(guān)系：于是，空間一點(diǎn)繞任意軸ON旋轉(zhuǎn)θ角的變換可分為三步進(jìn)行：

（1）通過兩次旋轉(zhuǎn)變換，使ON軸與坐標(biāo)系z(mì)軸重合。（2）繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角。

（3）通過兩次逆旋轉(zhuǎn)變換，使ON軸轉(zhuǎn)回到原來的位置。因此，整個(gè)變換過程是5次簡(jiǎn)單基本變換的級(jí)聯(lián)。

(1)繞z軸旋轉(zhuǎn)－θ2角，其變換矩陣為：(6.14)

(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)－θ1角，其變換矩陣為：(6.15)

(3)繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角，其變換矩陣為：(6.16)

(4)繞y軸旋轉(zhuǎn)θ1角，其變換矩陣為：(6.17)

(5)繞z軸旋轉(zhuǎn)θ2角，其變換矩陣為：(6.18)6.1.4對(duì)稱

(1)關(guān)于坐標(biāo)平面xoy的對(duì)稱，其變換公式是(6.19)

(2)關(guān)于坐標(biāo)平面xoz的對(duì)稱，其變換公式是(6.20)

(3)關(guān)于坐標(biāo)平面yoz的對(duì)稱，其變換公式是(6.21)6.1.5錯(cuò)切

（1）沿x軸方向含y的錯(cuò)切指錯(cuò)切平面沿x軸方向錯(cuò)移并且離開y軸。變換矩陣為(6.22)（2）沿x軸方向含z的錯(cuò)切指錯(cuò)切平面沿x軸方向錯(cuò)移并且離開z軸。變換矩陣為(6.23)（3）沿y軸方向含x的錯(cuò)切指錯(cuò)切平面沿y軸方向錯(cuò)移并且離開x軸。變換矩陣為(6.24)（4）沿y軸方向含z的錯(cuò)切指錯(cuò)切平面沿y軸方向錯(cuò)移并且離開z軸。變換矩陣為(6.25)（5）沿z軸方向含x的錯(cuò)切指錯(cuò)切平面沿z軸方向錯(cuò)移并且離開x軸。變換矩陣為(6.26)（6）沿z軸方向含y的錯(cuò)切指錯(cuò)切平面沿z軸方向錯(cuò)移并且離開y軸。變換矩陣為(6.27)6.1.6復(fù)合變換

和二維變換一樣，我們用變換序列中的各次運(yùn)算的矩陣乘積來形成復(fù)合變換。該合并從右到左實(shí)現(xiàn)，其中最右邊的矩陣是第一個(gè)作用于物體的變換，最左邊的變換是最后一個(gè)變換。一系列基本的三維幾何變換組合成了一個(gè)復(fù)合變換矩陣，然后用它來對(duì)物體的坐標(biāo)進(jìn)行定義。

6.2投影變換

6.2.1透視投影及其分類

透視投影變換由投影平面和投影中心所確定。物體投影的大小和投影中心到物體的距離成反比。任何一束不平行于投影平面的平行線，其透視投影后將會(huì)聚到一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為滅點(diǎn)（VanishingPoint）。在三維空間中平行線只會(huì)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處相交，所以滅點(diǎn)也可看作是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的透視投影。在所有滅點(diǎn)中，平行于三個(gè)坐標(biāo)軸之一的直線束的滅點(diǎn)稱為主滅點(diǎn)（PrincipalVanishingPoint），主滅點(diǎn)最多只能有三個(gè)。透視投影可按主滅點(diǎn)的數(shù)目分為一點(diǎn)透視、兩點(diǎn)透視和三點(diǎn)透視。

（1）一點(diǎn)透視。投影平面只和一個(gè)坐標(biāo)軸相交，即投影平面與坐標(biāo)面平行。所生成的物體投影圖真實(shí)感較差。

（2）兩點(diǎn)透視。投影平面和二個(gè)坐標(biāo)軸相交，即投影平面與一個(gè)坐標(biāo)軸平行。所生成的物體投影圖具有較好

的真實(shí)性，比較容易構(gòu)造。常用于建筑工程、工業(yè)設(shè)計(jì)和廣告等領(lǐng)域。

（3）三點(diǎn)透視。投影平面和三個(gè)坐標(biāo)軸相交，這類透視投影的構(gòu)造比兩點(diǎn)透視難一些，用的較少。6.2.2透視投影的確定

令z′=0，得代入式（6.28）的前兩式，可求得點(diǎn)Q

的透視投影為(6.29)寫成矩陣形式，則透視投影變換為(6.30)投影平面上投影點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)為(6.31)有時(shí)為了三維裁剪或消隱的目的，常常要把一個(gè)對(duì)象的透視投影圖看成是另一個(gè)對(duì)象在同一投影平面上的正視圖，且要求兩個(gè)對(duì)象對(duì)應(yīng)點(diǎn)的z坐標(biāo)分量排序一致。此外，還要求原對(duì)象上的直線在另一個(gè)對(duì)象上也是直線，那么后一個(gè)對(duì)象可以通過前一個(gè)對(duì)象做射影變換得到。該射影變換由式（6.31）和式（6.32)構(gòu)成。式(6.32)如下：其中A、B為常數(shù)。顯然，射影變換把三維空間的直線也變成了直線。(6.32)6.2.3平行投影及其分類

1.正平行投影

（1）正投影。投影平面垂直于某一坐標(biāo)軸，因此，該坐標(biāo)軸方向就是投影方向。最常見的正投影有六種：前(主)視圖、后視圖、左(側(cè))視圖、右視圖、頂(俯)視圖、底(仰)視圖，工程制圖中常用前視圖、側(cè)視圖和頂視圖三種。正投影能較好地描述物體的一個(gè)面，但卻丟失了物體

的許多三維信息，即使使用所有的六種正視圖，有時(shí)也難以重構(gòu)該物體的三維結(jié)構(gòu)。（2）正軸側(cè)投影（AxonometricOthographicProjection)。投影平面與任一坐標(biāo)軸不垂直，因而，它所描述的不僅是物體的一個(gè)面，有時(shí)是兩個(gè)面或多個(gè)面，所以具有一定的立體感。在正軸側(cè)投影中，線的平行性保持不變，平行于同一坐標(biāo)軸的線段均以相同的比例縮放，其縮放系數(shù)與投影方向有關(guān)，但正軸側(cè)投影中的角度經(jīng)投影后將發(fā)生變化。（3）等軸側(cè)投影（IsometricProjection）。它是最常用的正投影之一，投影平面和三個(gè)坐標(biāo)軸的截距相同，或者說投影方向與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角相等。若投影平面的法向量為(a，b，c)，則|a|=|b|=|c|，所以有八種等軸側(cè)投影。它們組成四對(duì)，每對(duì)中的兩個(gè)投影平面法向相反，得到的投影圖互相對(duì)稱（未消隱）。在等軸側(cè)投影中，沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向物體有相同的變形系數(shù)，即沿著軸向的量度具有相同的比例系數(shù)，三個(gè)坐標(biāo)軸投影之間的夾角為120°。

2.斜平行投影

在斜平行投影中，投影方向和投影平面不垂直，兩種最常用最重要的斜平行投影為：斜等側(cè)投影（AvalierProjection）和斜二側(cè)投影（Cabinet）。

（1）斜等側(cè)投影的投影平面和一坐標(biāo)軸垂直，投影方向和投影平面成45°角，因此，與投影平面垂直的直線段的投影與該直線段本身等長(zhǎng)。

(2)斜二側(cè)投影的投影平面和一坐標(biāo)軸垂直，投影方向和投影平面成arctg1/2度角，因此，與投影平面垂直的直線段的投影長(zhǎng)度為實(shí)際長(zhǎng)度的1/2。因而，該軸向的變形系數(shù)為1/2，這可使物體的立體感更好一些，與人的視覺經(jīng)驗(yàn)較一致。6.2.4平行投影的確定

(6.33)令z′=0，則有t=－z/zd，代入式（6.33）的前兩式，可得點(diǎn)Q的平行投影為(6.34)寫成矩陣形式，則平行投影變換為(6.35)投影平面上投影點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)為(6.36)6.2.5一般投影變換

垂直的平面(圖6.5)。圖6.5觀察坐標(biāo)系

2.坐標(biāo)系變換公式

設(shè)觀察坐標(biāo)系oxyz的原點(diǎn)o

在用戶坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)為(x0，y0，z0)，坐標(biāo)軸ox、oy

和oz

的單位方向向量

的用戶坐標(biāo)分別為(a11，a12，a13)、(a21，a22，a23)和(a31，a32，a33)，那么由觀察坐標(biāo)系的確定可知(6.38)

oz

軸的單位方向向量為(6.39)而ox軸的方向和向量U×N一致，所以(6.40)根據(jù)右手規(guī)則，oy軸的單位方向向量為(6.41)從而，從用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換公式是(6.42)寫成齊次坐標(biāo)表示，則有其中(6.43)(6.44)

3.透視投影變換公式

設(shè)透視中心C在用戶坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)為(xc，yc，zc)，那么由式（6.43）可知，C在觀察坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

(xc，yc，zc)確定式為(6.45)由透視變換公式（6.30）、式（6.31）和坐標(biāo)變換公式（6.43）可知(6.46)寫成非齊次坐標(biāo)表示，則有(6.47)考慮到式（6.31）和式（6.32）確定的射影變換公式，同樣可以建立從三維空間oxyz到三維空間oxyz

的射影變換公式為6.48)其非齊次坐標(biāo)表示為6.4９)

4.平行投影變換公式

因此，D的觀察坐標(biāo)系坐標(biāo)由下式確定(6.50)根據(jù)平行投影變換公式（6.35）和坐標(biāo)變換公式（6.43），可得平行投影變換公式為(6.51)相應(yīng)的非齊次坐標(biāo)表示為(6.52)同透視變換一樣，利用式（6.36）和式（6.43）也可確定從三維用戶空間到三維觀察空間的射影變換式：其非齊次坐標(biāo)表示為(6.54)

6.3三維圖形裁剪

6.3.1三維觀察體

在攝影中，照相機(jī)所使用的鏡頭類型是決定進(jìn)入膠片的攝入景物多少的一個(gè)因素，廣角鏡頭比一般鏡頭所攝入的景物多。同樣，在三維觀察中，觀察平面中的矩形觀察窗口或投影窗口的使用具有與相機(jī)鏡頭相同的效果。投影平面中觀察窗口的邊平行于x

軸和y

軸，觀察邊界位置由觀察坐標(biāo)給出，如圖6.6所示。觀察窗口可以位于觀察平面的任何位置。圖6.6觀察平面上的窗口描述給出觀察窗口描述后，我們可以利用窗口邊界來設(shè)置觀察體。只有在觀察體中的物體才能在輸出設(shè)備中顯示或繪制，其他所有物體均被裁剪掉。觀察體的大小依賴于窗口的大小，而觀察體的形狀則取決于生成顯示的投影類型。不管何種情況，觀察體的四側(cè)面都是過窗口邊界的平面。對(duì)平行投影而言，觀察體的四側(cè)面會(huì)形成無限長(zhǎng)的管道，如圖6.7所示。對(duì)透視投影來說，觀察體是頂點(diǎn)在投影中心的四棱錐（圖6.8）。圖6.7平行投影觀察體圖6.8透視投影觀察體

兩個(gè)平面都必須在投影中心的同一側(cè)，后平面與投影中心的距離遠(yuǎn)于前平面的距離，所產(chǎn)生的觀察體包括前后平面共6個(gè)平面，如圖6.9所示。在平行投影里，6個(gè)面形成一平行六面體，透視投影中，前后平面將無限四棱錐截成四棱臺(tái)。圖6.9前、后平面和頂、底及側(cè)面圍成的觀察體6.3.2三維裁剪

三維的規(guī)范化觀察體分為兩種，對(duì)于平行投影，規(guī)范化觀察體為一單位立方體，由x=0，x=1，y=0，y=1，z=0，z=1六個(gè)平面圍成。透視投影時(shí)，其規(guī)范化觀察體

由平面x=±z，y=±z和z=zmin，z=1所圍成（圖6.10）。圖6.10規(guī)范化觀察體

1.Sutherland-Cohen算法

三維圖形裁剪的Sutherland-Cohen算法和二維裁剪一樣，對(duì)窗口的六個(gè)面所分的27個(gè)區(qū)域進(jìn)行編碼。每一個(gè)區(qū)域的點(diǎn)采用同一編碼，編碼由六位組成。編碼規(guī)則如下：直線段和觀察體的邊界面交點(diǎn)計(jì)算時(shí)采用參數(shù)方程，例如，對(duì)于起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為P0=(x0，y0，

z0)、P1=

(x1，y1，z1)的直線段，其參數(shù)方程為：

x=x0+(x1－x0)t，y=y0+(y1－y0)t，z=z0+(z1－z0)t，0≤t≤1和規(guī)范化觀察體的邊界面求交時(shí)，例如邊界面為y=1，可由y0+(y1－y0)t′=1求得交點(diǎn)參數(shù)t′=(1－y0)/(y1－y0)，代入直線段參數(shù)方程，即可求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。和平面x=z求

交點(diǎn)時(shí)，其交點(diǎn)參數(shù)則為代入直線段參數(shù)方程即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)。（6.55）

2.梁友棟-Barsky算法

三維圖形裁剪的梁友棟-Barsky算法也是對(duì)二維圖形裁剪的推廣。當(dāng)規(guī)范化觀察體為立方體時(shí)，可直接得出這種推廣，即：當(dāng)規(guī)范化觀察體為棱臺(tái)時(shí)，則

6.4三維觀察體的規(guī)范化變換

6.4.1平行投影情況下的變換

第一步：將點(diǎn)P1移至坐標(biāo)原點(diǎn)，變換的矩陣為(6.56)圖6.11平行投影的觀察體圖6.12平行六面體在二坐標(biāo)平面上的投影第二步：對(duì)平行六面體沿x

方向和y方向做錯(cuò)切變換，以其使變?yōu)殚L(zhǎng)方體，其錯(cuò)切變換的變換矩陣是：(6.58)第三步：將第二步的長(zhǎng)方體變?yōu)閱挝涣⒎襟w，這個(gè)變換的變換矩陣為(6.59)6.4.2透視投影下的變換

第一步：將投影中心移至坐標(biāo)原點(diǎn)，其變換的矩陣為

(6.61)圖6.13透視投影的觀察體變換后，棱臺(tái)oxz平面和

oyz

平面上的投影如圖6.14

所示。圖6.14棱臺(tái)在二坐標(biāo)平面上的投影第二步：沿x

方向和方向y

做錯(cuò)切變換，把經(jīng)過

TR變換后的棱臺(tái)變成正棱臺(tái)，該變換矩陣為(6.62)第三步：做縮放變換，使正棱臺(tái)變?yōu)橐?guī)范化觀察體，其變換矩陣是(6.63)6.5三維觀察流程

考慮到實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)圖形在實(shí)時(shí)模擬等方面的重要性以及圖形系統(tǒng)的完整性，一般地，三維圖形的顯示流程如圖6.15所示。觀察圖6.15所示流程，除