數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究平面的基本性質(zhì)與推論

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1根據(jù)圖形，寫出圖形中點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系。圖1-2—1-4圖1—2—1-4(1）可以用幾何符號(hào)表示為:___________________________________________.圖1—2-1—4(2）可以用幾何符號(hào)表示為：___________________________________________.思路解析:本題關(guān)鍵是找出圖中基本元素點(diǎn)、直線、平面,然后再仔細(xì)分析點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面、直線與平面的位置關(guān)系,最后用文字語言和符號(hào)語言寫出。答案：圖1-2—1—4(1）可以用幾何符號(hào)表示為：α∩β=AB,aα,bβ，a∥AB，b∥AB.圖1-2-1—4(2）可以用幾何符號(hào)表示為:α∩β=MN，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)滿足條件A∈MN，B∈α，C∈β，BMN，CMN.綠色通道：熟練掌握圖形、文字、符號(hào)三者之間的相互轉(zhuǎn)化是學(xué)習(xí)立體幾何的基本要求之一。要正確解決此類問題需要從兩個(gè)方面入手：一是從觀察圖形方面,可以聯(lián)想圖形對應(yīng)的實(shí)物情形；二是正確理解對應(yīng)符號(hào)的含義，可以結(jié)合集合的含義加以理解。變式訓(xùn)練1(1）觀察下面的三個(gè)圖形,說出它們有何異同；(2)用虛線畫出圖1-2-1—5（4）正方體和圖1—2-1-5(5）三棱錐中被遮擋的棱,完成圖形.圖1—2-1—5思路解析：要注意不同側(cè)面觀察出的結(jié)果是不同的，可以結(jié)合實(shí)物加以理解.答案:(1)圖（1）可能是平面圖形,也可能是空間圖形的直觀圖;圖(2)是MN凸在外面的一個(gè)空間圖形的直觀圖;圖（3)是MN凹在里面的一個(gè)空間圖形的直觀圖。(2)補(bǔ)充后如圖1—2-1-6：圖1-2—1-6例2求證:兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線共面.思路分析：可以結(jié)合公理3及其推論進(jìn)行證明.需要注意的是,要根據(jù)條件畫出滿足條件的所有圖形的情況進(jìn)行證明.答案:已知a、b、c、d是兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線，求證:a、b、c、d共面。圖1—2—1—7證明:(1)無三線共點(diǎn)情況,如圖1-2—1—7，設(shè)a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=Q,a∩c=R，b∩c=S.∵a∩d=M，∴a、d可確定一個(gè)平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理，cα.∴a、b、c、d共面.(2)有三線共點(diǎn)的情況，如圖1—2—1—8,圖1-2-1-8設(shè)b、c、d三線相交于點(diǎn)K,與a分別交于N、P、M且Ka，∵Ka，∴K和a確定一個(gè)平面，設(shè)為β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ。同理，cβ，dβ,∴a、b、c、d共面。由(1)（2）知a、b、c、d共面。變式訓(xùn)練2四條直線兩兩平行，任意三條不共面,過其中的任意兩條作一個(gè)平面，共可以作平面__________.思路解析：任意兩條確定一個(gè)平面,四條直線確定6個(gè)平面.答案：6問題探究問題(1）一個(gè)平面將空間分成幾部分?(2）兩個(gè)平面將空間分成幾部分？（3）三個(gè)平面將空間分成幾部分？畫出圖形（要求:至少有兩種情況有畫法過程).導(dǎo)思：可以根據(jù)實(shí)際例子進(jìn)行聯(lián)想，也可以根據(jù)直線將平面分成多少部分進(jìn)行類比。采用從簡單到復(fù)雜遞進(jìn)的方法，首先對兩個(gè)平面在空間的位置分類討論，再讓第3個(gè)平面以不同情況介入，然后分類解決.探究:（1）一個(gè)平面將空間分成兩部分.（2）兩個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成三部分;兩個(gè)平面相交時(shí)，將空間分成四部分.(3）情況比較復(fù)雜,需分類予以處理.情況1：當(dāng)平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)，將空間分成四個(gè)部分，其圖形如圖1-2—1-9。圖1—2—1—9情況2：當(dāng)平面α與平面β平行,平面γ與它們相交，（即α∥β，γ與其相交)，將空間分成六部分，其圖形如圖1-2—1—10。圖1-2—1-10情況3：當(dāng)平面α、平面β、平面γ都相交,且三條交線重合（即α∩β=l且α∩γ=l）。將空間分成六部分,其圖形如圖1—2—1-11.圖1—2-1-11共點(diǎn),但互不重合(即α∩β=l，且γ與α、β都相交，三條交線共點(diǎn)）。將空間分成八部分，其圖形如圖1—2—1—12。圖1—