2024-2025學年福建省廈門一中集美分校九年級（上）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學年福建省廈門一中集美分校九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分．每小題都有四個選項，其中有且只有一個選項正確）1．（4分）下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）二次函數(shù)y＝3（x﹣2）2﹣1的圖象頂點坐標是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）3．（4分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑AD交BC于點P，等于的是（）A．∠OAB B．∠ACB C．∠CAD D．∠OPB4．（4分）已知x＝2是關(guān)于x的方程x2﹣5x﹣m＝0的一個根，則m的值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．65．（4分）如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△A′BC′，此時點C在邊A′B上，BC′＝2，則A′C的長是（）A．2 B．3 C．4 D．56．（4分）某店銷售一批戶外帳篷，經(jīng)調(diào)查，每頂帳篷利潤為200元時；單價每降價10元，每天可多售出4頂．已知該店要想平均每天盈利12160元，則下列表述正確的是（）A．每頂帳篷單價為x元 B．降價后平均每天可出售（200﹣x）頂 C．每頂帳篷單價應降價x元 D．降價后每頂帳篷利潤為元7．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的圖象所在坐標系的原點是（）A．點O1 B．點O2 C．點O3 D．點O48．（4分）如圖，以原點O為圓心的圓交x軸于點A、B兩點，交y軸的正半軸于點C，若∠DAB＝25°，則∠OCD的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．65° D．70°9．（4分）菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，將該菱形繞頂點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)30°（）A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣210．（4分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變（如圖所示），當直線y＝x+m與新圖象有3個或4個交點時，m的取值范圍是（）A． B． C．﹣6≤m≤﹣2 D．﹣7≤m≤﹣3二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）點（1，﹣3）關(guān)于坐標原點的對稱點為．12．（4分）將拋物線y＝2x2先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的拋物線解析式為．13．（4分）如圖，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°1B1（A、B分別與A1、B1對應），則∠A1OB的度數(shù)為度．14．（4分）為了解學生的睡眠狀況，調(diào)查了一個班50名學生每天的睡眠時間，繪成睡眠時間頻數(shù)分布直方圖如圖所示．15．（4分）如圖，⊙O過四邊形ABCD的四個頂點，已知∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．16．（4分）古希臘數(shù)學家丟番圖在《算術(shù)》中就提到了一元二次方程的問題，不過當時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解．在歐幾里得的《幾何原本》中2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的圖解法是：如圖，以和b為兩直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取2+mx＝16，按照圖1，構(gòu)造圖2，∠ACB＝90°，連接CD，若．三、解答題（本大題有9小題，共86分）17．（8分）解方程：x2+3x﹣1＝0．18．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AC于點E，求證：BE＝DF．19．（8分）先化簡，再求值：，其中．20．（8分）芯片目前是全球緊缺的資源，某芯片公司引進了一條內(nèi)存芯片生產(chǎn)線，開工第一季度生產(chǎn)芯片100萬個21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上．（1）尺規(guī)作圖：在⊙O中作出點D，使得點D是∠A所對的弧的中點（不寫作法，只保留作圖痕跡）；（2）連接OD，交BC于點E．探究OE與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．22．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k為常數(shù)）的兩個實數(shù)根分別為a，b．（1）若方程的兩根相等，求k的值．（2）是否存在滿足條件的常數(shù)k，使得成立，求k的值；若不存在23．（10分）如圖1所示為某公司生產(chǎn)的A型活動板房，成本是每個395元，它由長方形和拋物線構(gòu)成，寬AB＝3米，拋物線的最高點E到BC的距離為4米．（1）按如圖1所示建立平面直角坐標系；求該拋物線的解析式．（2）現(xiàn)將A型活動板房改為B型活動板房．如圖2，在拋物線與AD之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長方形窗戶框架FGMN，點G、M在AD上，長方形窗戶框架的成本為10元/米，設M（m，0）≤m≤1，當窗戶框架FGMN的周長最大時（每個B型活動板房的成本＝每個A型活動板房的成本+一扇長方形窗戶框架FGMN成本）（3）根據(jù)市場調(diào)查，以單價600元銷售（2）中窗戶框架周長最大時的B型活動板房，而單價每降低10元，每月能多售出20個．不考慮其他因素（元）定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤W（元）24．（12分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ANM，點B，M．（1）如圖1，當點N落在BC的延長線上時，且∠ACB＝90°，AC＝6，求BN的長；（2）如圖2，△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°轉(zhuǎn)得到△ANM，延長BC交AN于點D，使得FN＝AD，連接DF，猜想線段HN，MH，并證明你的猜想；（3）如圖3，連接BN，CM，點R為BC的中點，連接RG．若∠ACB＝90°，AC＝6，在旋轉(zhuǎn)過程中，求出GR的最小值；若不存在25．（14分）定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個交點，并且都在坐標軸上，則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點函數(shù)．（1）判斷二次函數(shù)y＝x2﹣1是否為一次函數(shù)y＝x﹣1的軸點函數(shù)，并說明理由．（2）函數(shù)y＝x+c（c為常數(shù)，c＞0）的圖象與x軸交于點A，其軸點函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸的另一交點為點B．若，求b的值．（3）函數(shù)（t為常數(shù)，t＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于M，C兩點，使得ON＝OC．以線段MN的長度為長、線段MO的長度為寬，在x軸的上方作矩形MNDE．若函數(shù)（t為常數(shù)，t＞0）2+nx+t的頂點P在矩形MNDE的邊上，求n的值．

2024-2025學年福建省廈門一中集美分校九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分．每小題都有四個選項，其中有且只有一個選項正確）1．（4分）下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、C中的三個圖形都不是中心對稱圖形，選項D的圖形是中心對稱圖形．故選：D．2．（4分）二次函數(shù)y＝3（x﹣2）2﹣1的圖象頂點坐標是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）【解答】解：∵二次函數(shù)y＝3（x﹣2）7﹣1，∴該函數(shù)圖象的頂點坐標為（2，﹣7），故選：D．3．（4分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑AD交BC于點P，等于的是（）A．∠OAB B．∠ACB C．∠CAD D．∠OPB【解答】解：∵AD是⊙O的直徑，∴圓心O在AD上，∴∠ACB＝∠AOB，故選：B．4．（4分）已知x＝2是關(guān)于x的方程x2﹣5x﹣m＝0的一個根，則m的值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【解答】解：∵x＝2是關(guān)于x的方程x2﹣7x﹣m＝0的一個根，∴26﹣5×2﹣m＝4，解得m＝﹣6．故選：A．5．（4分）如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△A′BC′，此時點C在邊A′B上，BC′＝2，則A′C的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△A′BC′，∴AB＝A'B＝5，BC＝BC'＝2，∴A′C＝4，故選：B．6．（4分）某店銷售一批戶外帳篷，經(jīng)調(diào)查，每頂帳篷利潤為200元時；單價每降價10元，每天可多售出4頂．已知該店要想平均每天盈利12160元，則下列表述正確的是（）A．每頂帳篷單價為x元 B．降價后平均每天可出售（200﹣x）頂 C．每頂帳篷單價應降價x元 D．降價后每頂帳篷利潤為元【解答】解：∵每頂帳篷利潤為200元時，平均每天可售出60頂，每天可多售出4頂，∴所列方程中（200﹣x）表示每頂帳篷的利潤，（60+，∴x表示每頂帳篷單價降低的錢數(shù)．故選：C．7．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的圖象所在坐標系的原點是（）A．點O1 B．點O2 C．點O3 D．點O4【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a＜0），∴對稱軸為直線x＝﹣＝1，所以點O2是原點；故選：B．8．（4分）如圖，以原點O為圓心的圓交x軸于點A、B兩點，交y軸的正半軸于點C，若∠DAB＝25°，則∠OCD的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．65° D．70°【解答】解：連接OD，∵∠DAB＝25°，∴∠BOD＝2∠DAB＝50°，∴∠COD＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝70°，故選：D．9．（4分）菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，將該菱形繞頂點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)30°（）A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣2【解答】解：①如圖，將該菱形繞頂點A在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)30°，連接AC，BD相交于點O，  ∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴∠CAB＝30°＝∠CAD，AC⊥BD，BO＝DO，∵AB＝2，∴DO＝1，AO＝，∴AC＝2，∵菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB'C'D'，∴∠D'AB＝30°，AD＝AD'＝2，∴A，D'，∴CD'＝CA﹣AD'＝2﹣2，又∵∠ACB＝30°，∴D'E＝﹣5，CE＝D'E＝3﹣，∵重疊部分的面積＝△ABC的面積﹣△D'EC的面積，∴重疊部分的面積＝×＝8﹣；②將該菱形繞頂點A在平面內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)30°，同①方法可得重疊部分的面積＝3﹣，故選：A．10．（4分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變（如圖所示），當直線y＝x+m與新圖象有3個或4個交點時，m的取值范圍是（）A． B． C．﹣6≤m≤﹣2 D．﹣7≤m≤﹣3【解答】解：如圖所示，直線l，直線與新圖象有3個交點，y＝﹣x2+x+3，令y＝0，則點A（3，將點A的坐標代入y＝x+m并解得：m＝﹣6，二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，對應的函數(shù)表達式為：y＝x2﹣x﹣6，聯(lián)立y＝x3﹣x﹣6、y＝x+m并整理得：x2﹣8x﹣6﹣m＝0，Δ＝2+4（6+m）＝2，解得：m＝﹣7，故答案為：﹣7或﹣2．由圖可以看出：當﹣7＜m＜﹣3時，直線y＝x+m與這個新圖象有四個交點，故選：D．二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）點（1，﹣3）關(guān)于坐標原點的對稱點為（﹣1，3）．【解答】解：點A（1，﹣3）關(guān)于坐標原點的對稱點的坐標為（﹣2，故答案為：（﹣1，3）．12．（4分）將拋物線y＝2x2先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的拋物線解析式為y＝2（x﹣1）2+2．【解答】解：將拋物線y＝2x2先向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度2+6，故答案為：y＝2（x﹣1）3+2．13．（4分）如圖，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°1B1（A、B分別與A1、B1對應），則∠A1OB的度數(shù)為70度．【解答】解：∵將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)100°得到△OA1B1（A、B分別與A3、B1對應），∴∠A1OA＝100°，又∵∠AOB＝30°，∴∠A5OB＝∠A1OA﹣∠AOB＝100°﹣30°＝70°，故答案為：70．14．（4分）為了解學生的睡眠狀況，調(diào)查了一個班50名學生每天的睡眠時間，繪成睡眠時間頻數(shù)分布直方圖如圖所示7.5小時．【解答】解：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)、8小時，所以所調(diào)查學生睡眠時間的中位數(shù)為＝7.3（小時），故答案為：7.5小時．15．（4分）如圖，⊙O過四邊形ABCD的四個頂點，已知∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴AD＝CD，∴△ADC為等腰直角三角形，把△DAB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCE，如圖，∴DE＝DB，CE＝AB＝1，∠DCE＝∠A，∴△DBE為等腰直角三角形，∵∠A+∠DCB＝180°，∴∠DCE+∠DCB＝90°，∴點B、C、E共線，∴BE＝BC+CE＝2+3＝3，∴BD＝BE＝．故答案為：．16．（4分）古希臘數(shù)學家丟番圖在《算術(shù)》中就提到了一元二次方程的問題，不過當時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解．在歐幾里得的《幾何原本》中2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的圖解法是：如圖，以和b為兩直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取2+mx＝16，按照圖1，構(gòu)造圖2，∠ACB＝90°，連接CD，若6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝BD＝，∴AB＝＝，∴AD＝AB﹣BD＝﹣＝，∵，∴，即＝，∴5m＝3，∴25m2＝3（m2+16），解得m＝6或m＝﹣5，根據(jù)題意m＞0，∴m＝6；經(jīng)檢驗，m＝2是原方程的解；故答案為：6．三、解答題（本大題有9小題，共86分）17．（8分）解方程：x2+3x﹣1＝0．【解答】解：這里a＝1，b＝3，∵△＝3+4＝13＞0，∴x＝，則x1＝，x2＝．18．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AC于點E，求證：BE＝DF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD（平行四邊形對邊平行且相等），∴∠BAE＝∠DCF（兩直線平行內(nèi)錯角相等），∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°（垂直定義），在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF（全等三角形的對應邊相等）．19．（8分）先化簡，再求值：，其中．【解答】解：原式＝×＝，當x＝+2時＝1+6．20．（8分）芯片目前是全球緊缺的資源，某芯片公司引進了一條內(nèi)存芯片生產(chǎn)線，開工第一季度生產(chǎn)芯片100萬個【解答】解：設前三季度生產(chǎn)量的平均增長率為x，根據(jù)題意得：100（1+x）2＝144，解得：x6＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：前三季度生產(chǎn)量的平均增長率為20%．21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上．（1）尺規(guī)作圖：在⊙O中作出點D，使得點D是∠A所對的弧的中點（不寫作法，只保留作圖痕跡）；（2）連接OD，交BC于點E．探究OE與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，點D即為所求；（2）結(jié)論：AC＝2OE．理由：∵＝，∴OD⊥BC，∴CE＝EB，∵OA＝OB，∴AC＝2OE．22．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k為常數(shù)）的兩個實數(shù)根分別為a，b．（1）若方程的兩根相等，求k的值．（2）是否存在滿足條件的常數(shù)k，使得成立，求k的值；若不存在【解答】解：（1）Δ＝[﹣2（k+1）]8﹣4（k2+k+5）＝4k2+2k+4﹣4k7﹣4k﹣12＝4k﹣5．∵原方程有兩個相等的實數(shù)根，∴4k﹣8＝5，∴k＝2；（2）不存在，∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+8＝0（k為常數(shù)）的兩個實數(shù)根分別為a，b．∴a+b＝2（k+7），ab＝k2+k+3，∵，∴a2+b5＝16，∴（a+b）2﹣2ab＝16，∴[﹣5（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16，∴k4+3k﹣9＝2，∴k＝，∵一元二次方程x2﹣8（k+1）x+k2+k+8＝0（k為常數(shù)）的兩個實數(shù)根，∴Δ＝[﹣2（k﹣2）]2﹣4（k4+k+3）≥0，∴k≥3，∴不存在常數(shù)k，使得．23．（10分）如圖1所示為某公司生產(chǎn)的A型活動板房，成本是每個395元，它由長方形和拋物線構(gòu)成，寬AB＝3米，拋物線的最高點E到BC的距離為4米．（1）按如圖1所示建立平面直角坐標系；求該拋物線的解析式．（2）現(xiàn)將A型活動板房改為B型活動板房．如圖2，在拋物線與AD之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長方形窗戶框架FGMN，點G、M在AD上，長方形窗戶框架的成本為10元/米，設M（m，0）≤m≤1，當窗戶框架FGMN的周長最大時（每個B型活動板房的成本＝每個A型活動板房的成本+一扇長方形窗戶框架FGMN成本）（3）根據(jù)市場調(diào)查，以單價600元銷售（2）中窗戶框架周長最大時的B型活動板房，而單價每降低10元，每月能多售出20個．不考慮其他因素（元）定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤W（元）【解答】解：（1）∵長方形的長 AD＝4米，寬 ，拋物線的最高點 E到 ，∴OH＝AB＝3米，EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1米，8），0），由題意知拋物線的函數(shù)表達式為 y＝ax2+8，把點 ，0）代入，得 a＝﹣，∴該拋物線的函數(shù)表達式為 y＝﹣x8+1；（2）∵M（m，0），∴N（m，﹣m2+7），∴MN＝﹣m6+1，∴C矩形MNFG＝2（MG+MN）＝5[2m+（﹣m2+1）]＝﹣m2+7m+2，∵﹣＜0，且≤m≤1，∴當m＝1時，C有最大值，∴長方形窗戶框架的成本為×10＝55（元），∴395+55＝450（元），答：每個B型活動板房的成本是450元；（3）根據(jù)題意，得 W＝（n﹣450）[100+2+20000，∵﹣6＜0，∴當 n＝550 時，且最大值為20000，答：公司將銷售單價n定為 550 ，每月銷售B型活動板房所獲利潤W最大．24．（12分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ANM，點B，M．（1）如圖1，當點N落在BC的延長線上時，且∠ACB＝90°，AC＝6，求BN的長；（2）如圖2，△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°轉(zhuǎn)得到△ANM，延長BC交AN于點D，使得FN＝AD，連接DF，猜想線段HN，MH，并證明你的猜想；（3）如圖3，連接BN，CM，點R為BC的中點，連接RG．若∠ACB＝90°，AC＝6，在旋轉(zhuǎn)過程中，求出GR的最小值；若不存在【解答】解：（1）∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ANM，∴AB＝AN＝10，∵∠ACB＝90°，∴∠ACN＝90°，∵AC＝6，∴BC＝＝＝6＝＝8，∴BN＝BC+CN＝16；即BN的長為16；（2）HN﹣MH＝CD，證明如下：在NM上取點Q，使NQ＝CD，如圖：由△ABC繞點A順時針旋60°轉(zhuǎn)得到△ANM得：AN＝AB，∠BAN＝60°，∴△ABN是等邊三角形，∴∠ANB＝60°，∴∠FNQ＝180°﹣∠ANB﹣∠ANM＝180°﹣60°﹣∠ANM＝120°﹣∠ANM，在△ABD中，∠ADB＝180°﹣∠BAN﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠ANM＝∠ABC，∴∠ADB＝∠FNQ，∵FN＝AD，∴△FNQ≌△ADC（SAS），∴∠FQN＝∠ACD，F(xiàn)Q＝AC，∴180°﹣∠FQN＝180°﹣∠ACD，即∠FQH＝∠ACB，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠M＝∠ACB，∴∠FQH＝∠M，∵AM＝AC，∴FQ＝AM，∵∠FHQ＝∠AHM，∴△FQH≌△AMH（AAS），∴QH＝MH，∵HN﹣QH＝NQ，∴HN﹣MH＝CD；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，GR存在最小值8過B作BP∥MN交MC延長線于P，連接NC∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ANM，∴AC＝AM，∠ACB＝∠AMN＝90°，∴∠ACM＝∠AMC，而∠BCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACM＝90°﹣∠ACM，∠NMP＝∠AMN﹣∠AMC＝90°﹣∠AMC，∴∠BCP＝∠NMP，∵BP∥MN，∴∠P＝∠NMP，∴∠P＝∠BCP，∴BP＝BC，∴BP＝MN，在△BPG和△NMG中，，∴△BPG≌△NMG（AAS），∴BG＝NG，即G是BN中點，∵點R為BC的中點，∴GR是△BCN的中位線，∴GR＝NC，要使GR最小，只需NC最小，而AN＝AB＝10，