高等數(shù)學(xué)（第二版）上冊(cè)課件：定積分的計(jì)算

定積分的計(jì)算5.4.1定積分的換元積分法

對(duì)定積分和不定積分之間的聯(lián)系與區(qū)別熟悉以后,

不定積分的換元法和分部積分法

函數(shù)的奇偶性周期性等性質(zhì).就能繼續(xù)研究求解定積分的具體方法了.不定積分有換元法和分部積分法,定積分也有類似的方法.下面我們就來(lái)討論這兩種方法.預(yù)備知識(shí)定理5.6設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足條件：(1)當(dāng)（或）時(shí)，且(2)在（或）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有此式叫做定積分換元公式．分析

連續(xù)函數(shù)為可積函數(shù)，因此被積函數(shù)的原函數(shù)存在，可用N-L公式計(jì)算.證明

假設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則又由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知是的一個(gè)原函數(shù)，所以故應(yīng)用換元公式時(shí)需要注意：“換元必?fù)Q限”，即變量變換成新變量時(shí)，原積分限也要換成相應(yīng)于新變量的積分限．分析

根號(hào)下含有二次函數(shù)一般采用第二類換元法例5.4.1

計(jì)算解令則

且由0增到1.由0變到時(shí)，當(dāng)于是解

例5.4.2

計(jì)算分析

因?yàn)榭芍环e函數(shù)含有絕對(duì)值，一般要分區(qū)間求積分.例5.4.3

求

分析

此題的難點(diǎn)在于根號(hào)，因此可用根式換元法去掉根號(hào).解設(shè)即換積分限：當(dāng)時(shí)，時(shí)，于是例5.4.4

計(jì)算下列積分.分析

三角函數(shù)的平方或立方的積分,利用公式降次或變(1)(2)形,變?yōu)橐阎e分計(jì)算.解(1)(2)

上題中,第一題被積函數(shù)是奇函數(shù),第二題被積函數(shù)是偶函數(shù)，像這種奇偶函數(shù)在定積分計(jì)算中有簡(jiǎn)便方法,可以總結(jié)出一條有用的結(jié)論（簡(jiǎn)稱為“偶倍奇零”）.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則有結(jié)論(證明從略):(1)當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，(2)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，利用這兩個(gè)結(jié)論可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，尤其是第一個(gè)，比如：對(duì)于三角函數(shù)，還有如下的換元法：分析

抽象函數(shù)的運(yùn)算,應(yīng)設(shè)法改變積分變量.例5.4.5

設(shè)在上連續(xù)，證明：(1)(2)解(1)設(shè)則且當(dāng)時(shí),時(shí),于是(2)設(shè)則且當(dāng)時(shí),時(shí),于是移項(xiàng)得：5.4.2定積分的分部積分法利用不定積分的分部積分公式及牛頓萊布尼茲公式,即可得出定積分的分部積分公式.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，按不定積分的分部積分法有:從而得這就是定積分的分部積分公式．例5.4.6

計(jì)算下列積分.解(1)(2)(3)分析

對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)或常函數(shù)的乘積，將函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形，對(duì)數(shù)函數(shù)作為再分部積分.(1)(2)(3)例5.4.7

設(shè)在連續(xù),且求分析

觀察題目,本題是抽象函數(shù)的積分,需要用到分部積分法.解因?yàn)榇胗?jì)算可得：原式小

結(jié)

這一節(jié)是本章中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是定積分學(xué)的主要內(nèi)容.熟練應(yīng)用換元法和分部積分法求解定積分是學(xué)好后續(xù)章節(jié)的基礎(chǔ).但是，