高等數學（第二版）上冊課件：定積分的性質

定積分的性質§5.2.1定積分的基本性質才有意義，為了使也有意義，作如下規(guī)定：時，規(guī)定1當時，

規(guī)定2當性質1

，在上可積，則在上也可積.即：定積分定義中只說明了當性質1對于任意有限個函數都是成立的．由此可推導出以下性質.分析利用定積分定義，轉化為函數極限的四則運算.性質2

為常數，則在上可積，在上也可積.即：是常數性質3（積分區(qū)間可加性）設，

在和上都可積，則分析函數在區(qū)間怎樣分，積分和極限總是不變的，因此可以作為兩個區(qū)間的積分再取極限.

證明上的積分和等于上的積分和加上的積分和，記為令上式兩端同時取得極限，即得按定積分的補充規(guī)定，不論是的相對位置如何，總有等式成立，因此性質可取消的大小限制3中

性質4如果在區(qū)間上，則性質5(定積分保號性)如果在區(qū)間上，則分析積分的保號性轉化為函數極限的保號性.

證明因為，所以又由于，因此令

，利用極限的性質以便得到要證的不等式推論1(定積分保序性)如果在區(qū)間上

，則

分析構造函數，利用定積分保號性.

證明因為由性質5得再利用性質1，便得到要證的不等式．推論2

分析利用絕對值不等式及推論1可證得.證明因為分別是函數性質6設及在區(qū)間上的最大值及最小值，則分析根據在區(qū)間上可以采用積分保序性.證明因為所以由性質5推論1得再由性質2及性質4，即得到所要證的不等式．性質7(定積分中值定理)如果函數在閉區(qū)間c上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點，使下式成立：這個公式叫做積分中值公式．分析由性質6易得.證明將同除以，則得這表明，確定的數值介于函數的最小值及最大值之間．根據閉區(qū)間上連續(xù)函數的介值定理，在上至少存在一點,使得函數在點處的值與這個確定的數值相等，即應有兩端各乘以，即得所要證的等式．

積分中值公式的幾何解釋如下：在區(qū)間上至少存在一點，使得以區(qū)間為底邊、以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個矩形的面積．可以理解為函數在區(qū)間上的平均值．5.2.2定積分性質的應用

例5.2.1

估計定積分的值．分析

被積函數在積分區(qū)間上單調遞增，因此可求其最值，進而求積分范圍.解

在

上的最小值，最大值，由性質6可得：即：例5.2.2比較下列積分值的大?。?1)與；(2)與.

分析

積分值的大小與積分區(qū)間以及被積函數有關.同一區(qū)間的兩個定積分，被積函數越大，積分值越大,反之，亦成立.解

(1)在閉區(qū)間上，始終小于等于（從圖像也可看出），根據定積分的保序性得：(2)在閉區(qū)間上，始終大于等于（從圖像也可看出），根據定積分的保序性得：

定積分的性質較多，同時也非常重要，是我們解決定積分問題的基礎.現在產生了一個關鍵問題，那就是定積分與原函數之間是什么關系？這個問題的本質就是定積分和不定積分有沒有內在的聯(lián)系？留待