高等數(shù)學(xué)（第二版）上冊(cè)課件：微積分基本公式

微積分基本公式5.3.2微積分基本公式5.3.1積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

上一節(jié)，我們介紹了定積分的定義和性質(zhì)，但未給出一個(gè)有效的計(jì)算方法．即使被積函數(shù)很簡(jiǎn)單，如果利用定義計(jì)算其定積分也是十分麻煩的．因此必須尋求計(jì)算定積分的新方法．在此我們將建立定積分和不定積分之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)有效的方法．5.3.1積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，則對(duì)于任意一點(diǎn)一定存在，將其表示為：

函數(shù)

是積分上限

的函數(shù)，上式稱(chēng)為積分上限函數(shù)，或稱(chēng)

的變上限積分.積分上限函數(shù)具有如下重要的性質(zhì)：

，函數(shù)

在

上仍然連續(xù)，故定積分

定理5.4如果函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，則積分上限函數(shù)

在

上可導(dǎo)，且證明

我們只對(duì)

進(jìn)行證明，在端點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)也可類(lèi)似證明.

取

充分小，使

，則因?yàn)?/p>

在

上連續(xù)，故由積分中值定理有于是由于

時(shí)，

，故兩邊取極限，得：即思考

另外，若

在

上連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)為

在

上的積分下限函數(shù).推論(原函數(shù)存在定理)

如果函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，

原函數(shù).則函數(shù)

就是

在

上的一個(gè)加以推廣，復(fù)合函數(shù)變限積分的導(dǎo)數(shù)公式有如下幾個(gè)：

.(1)(2)(3)*(4)例5.3.1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)(2)(3)分析

這三道例題分別對(duì)應(yīng)變限積分的三種不同情形，按公式求解.解(1)(2)(3)思考

？例5.3.2計(jì)算分析時(shí)，分子分母都趨于0，屬于型極限，這類(lèi)問(wèn)題可用洛必達(dá)法則，同時(shí)需用變限積分的導(dǎo)數(shù)公式.解定理5.5（微積分基本公式）:證明5.3.2微積分基本公式

設(shè)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間

上的一個(gè)原函數(shù)，則已知是的一個(gè)原函數(shù)，又也是的一個(gè)原函數(shù)，令令牛頓—萊布尼茨公式微積分基本公式表明：注意求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.

當(dāng)時(shí)，仍成立.

例5.3.3

計(jì)算下列定積分的一個(gè)原函數(shù)，故解

(1)由于

是

(1)(2)(3)分析

利用微積分基本公式，先求被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)然后代入上下限再求差.(2)(3)例5.3.4

計(jì)算下列定積分(1)(2)(3)分析(隱)含有絕對(duì)值的函數(shù)，一般要根據(jù)各區(qū)間的正負(fù)情況，將函數(shù)分成幾個(gè)區(qū)間后再分別積分.解

(1)(2)(3)例5.3.5

求由所確定的隱函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。分析

采用隱含數(shù)求導(dǎo)的方法.解

等式兩邊分別