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文檔簡介

§3.5函數的極值與最值§3.6導數與微分在經濟學中的應用§3.4函數的單調性與凹凸性§3.3泰勒定理及應用§3.2洛比達法則§3.1中值定理

導數的應用

3.1.3

柯西中值定理3.1.2拉格朗日定理

3.1.1羅爾定理3.1中值定理

極值

3.1.1羅爾定理若存在點

設函數在區(qū)間I上有定義。的某鄰域則稱點

是函數有極大值點（或極小值點）并稱函數值

是函數極大值（或極小值）如圖所示，一個函數在某區(qū)間上可以有不止一個極大值（極小值），而且可能某個極小值要比極大值大。定義

3.1

費馬引理可導極值點處導數為零曲線在點處存在切線并且切線斜率為0,即在極值點處曲線的切線平行于軸.幾何意義：定理3.1

設函數

在區(qū)間I上有定義．

若函數

在處可導且

是函數

的極值點，則

費馬引理的證明：羅爾定理

如果函數

滿足：(1)在閉區(qū)間

連續(xù)，（2)在區(qū)間

內可導，(3)在區(qū)間兩端點處函數值等，即

，則在

內至少

如圖所示，羅爾定理指出了對于且在區(qū)間兩端點處函數值相等區(qū)間

上的一條連續(xù)光滑曲，即

，那么在曲線上至少存在一點，使得在該點處有水平切線．定理3.2存在一個點

，使得羅爾定理的證明：例題3.1.1解拉格朗日中值定理弦AB所在直線的斜率：過點的曲線的斜率為即該切線平行于弦AB．即羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例使得：定理3.3拉格朗日定理的證明：解：例題3.1.2例題3.1.3證明例題

3.1.4證明推論3.1證明：

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