高等數(shù)學（經(jīng)濟類-上冊第2版）課件：函數(shù)的極限

極限函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義二、極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限四則運算法則四、小結一、函數(shù)極限的定義

在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數(shù)值無限接近于某個確定的數(shù)，那么這個確定的數(shù)就叫做自變量在這一變化過程中函數(shù)的極限.下面主要在兩種情形下研究函數(shù)

的極限：(2)自變量

時，函數(shù)的變化情形；(1)自變量

時，函數(shù)的變化情形；1、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限假定函數(shù)在點的某個去心鄰域內(nèi)有定義，若，函數(shù)無限接近于一個確定的數(shù)A，則稱A是函數(shù)當時的極限.

自變量

時，函數(shù)的變化情形：0.750.800.850.900.950.9911.011.051.101.151.201.254.254.44.554.704.854.9755.035.155.305.455.605.75越接近1，就越接近5，無限接近1時，可任意小.也就是說對于任意給定的

，要使只要取就可以.解：取值列表如下用描述這個任意小.描述了x趨近于1的程度.

例1函數(shù)

,考察時函數(shù)的變化趨勢.例1函數(shù)

,考察時函數(shù)的變化趨勢.0.750.800.850.900.950.9911.011.051.101.151.201.254.254.44.554.704.854.9755.035.155.305.455.605.75解：取值列表如下當x進入x=1的鄰域時，恒成立,這時，我們稱x趨于1時，函數(shù)以5為極限.0.940.950.960.970.980.991.011.021.031.041.051.061.941.951.961.971.981.992.012.022.032.042.052.06越接近1，就越接近2，無限接近1時，可任意小.也就是說對于任意給定的

，要使只要取就可以.解：取值列表如下用描述這個任意小.描述了x趨近于1的程度.

例2函數(shù)

，考察時函數(shù)的變化趨勢.例2函數(shù)

，考察時函數(shù)的變化趨勢.0.940.950.960.970.980.991.011.021.031.041.051.061.941.951.961.971.981.992.012.022.032.042.052.06解：取值列表如下當x進入x=1

的去心鄰域時，恒成立,這時，我們稱x趨于1時，函數(shù)以2為極限.當

時，函數(shù)以A為極限，刻畫了與數(shù)A

的接近程度，刻畫了與的接近程度.

是任意給定的，一般是隨而確定的.研究趨于時的極限問題與函數(shù)在點處是否有定義是無關的.說明：(1)(2)(3)定義1

設函數(shù)

在某個去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)，使得對于任意的，總存在正數(shù)，

使得當時，恒有

成立，則稱當時，以為極限.記作

否則稱時，沒有極限.或函數(shù)極限的精確定義.幾何解釋：任給

，作平行直線和的帶型區(qū)域存在著的去心鄰域使得的圖形落入帶型區(qū)域內(nèi).例3

證明

，為常數(shù).證明由于，因此對任給的，可取任意的正數(shù)，當時，不等式恒成立,所以例4證明

分析對任給的，要證明使得即要找到，只需取即可.證明對任給的，要使使得當時，只需取，恒有所以例4證明

證明對任給的，由于使得當時，只需取，恒有所以例5

證明,是任一實數(shù).類似的，可定義時的左極限或結論：左右極限統(tǒng)稱單側極限.定義2

設函數(shù)

在的右鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)，使得對于任意的，總存在正數(shù)，

使得當時，恒有

成立，則稱為時的右極限,記作

或例6證明函數(shù)

證明，當時極限存在.所以，進而例7證明函數(shù)

證明，當時極限不存在.所以，進而不存在.2.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義3

設函數(shù)

當大于某個正數(shù)時有定義，若存在常數(shù)，使得對于任意的，總存在正數(shù)，

使得當時，恒有

成立，則稱為時的極限,記作

或函數(shù)極限的精確定義.幾何解釋：任給

，作平行直線和的帶型區(qū)域存在著正數(shù)，使得當或時，函數(shù)

的圖形落入帶型區(qū)域內(nèi).類似可定義如下極限：使當時，恒有使當時，恒有結論：二、極限的性質(zhì)性質(zhì)1

（唯一性）如果的極限存在，則極限是唯一的.性質(zhì)2

（局部有界性）如果存在，則存在常數(shù)

和，使得當時，恒有性質(zhì)3（保號性）如果，且或（）

則存在常數(shù)，使得當時，有

或（）.推論1

如果，且，則存在常數(shù)，

使得當時，有

推論2如果，且在的某個去心鄰域內(nèi)有

（），則（）.三、函數(shù)極限四則運算法則定理1