2024屆高考數(shù)學一輪復習講義之圓錐曲線（教師版）

2024屆高考數(shù)學一輪復習之圓錐曲線

目錄

專題01圓錐曲線中的弦長問題

專題02圓錐曲線中的面積問題

專題03圓錐曲線中的中點弦問題

專題04圓錐曲線中的范圍問題

專題05圓錐曲線中的定點問題

專題06圓錐曲線中的定值問題

專題07圓錐曲線中的向量共線問題

專題0圓錐曲線中的弦長問題

一、單選題

1.設橢圓長半軸長為a,短半軸長為伉半焦距為C,則過焦點且垂直于長軸的弦長是()

A.—B.—C.—D.—

aaaa

【答案】。

【分析】

設橢圓焦點在/軸上，橢圓的標準方程為：+且7=1(0>6>0),將力=?；?=一。代入橢圓的標

ab

準方程，求出g,由此可求得結(jié)果.

【詳解】

、T2y2

設橢圓焦點在力軸上，橢圓的標準方程為；+4=1(a>b>0),

ab

2222

_a2—c2__b2

?IT?(女4，、小句嗎包、Z7糕，于，，一

abbaa2a9

解得片±3因此，過焦點且垂直于長軸的弦長是等

故選：D.

2.已知橢圓C：Y+娟=1,直線I過橢圓C的左焦點F且交橢圓于A,B兩點，AB的中垂線交立軸于M點、,

則端的取值范圍為()

[X與

A.(16，4)C(3)D.心’21

【答案】B

【分析】

當Z:沙=0時，F(xiàn)M=g,設—=my—1W0)與橢圓聯(lián)立可得：(vr？+z)/—2mg—1=0,然后

\AB\8

求得八3的中垂線方程，令y=0，得八八一一」,0),然后分別利用兩點間的距離公式和弦長公式

\m+21

求得\MF\,\AB\2,建立粵^求解.

\AB\~

【詳解】

2

橢圓。：今+才=1的左焦點為F(—1,0),

當，：沙=0時，A(-V2,0),B(V2,0),M(0,0),\FM\=\,\AB\=272,

FM_i

所以畫一百,

x=my—1

設/：/=nzg—l(mWO)與橢圓聯(lián)立《/2_1，可得:

(5+沙=1

(rr^+2)y2—2my—1=0,

?1?

?ooO^Ooo-

2m

yi+y2=

由韋達定理得:-1

"曲=薪而

—2m

取AB中點為。

m2+2'm2+2)'

所以AB的中垂線方程為:

j_1/m\2

IDM：H=------[y-2IC，

m\m2+2>m2+2

令“=。,得M/o）,

所以|叱|=嗎3,

m+2

又j（l+表）［（%+紡）J4%?%］=北魯,

所以端7（裔）=-?

綜上所述

故選：8.

【點睛】

思路點睛：i、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,

消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”

解決，往往會更簡單.

2、設直線與橢圓的交點坐標為，4（曲，yj,B（x:,y.J,

22

則弦長為\AB\=V（^i-<E2）+（yi-y2）=J（1+。）［（g+a^）?-g］=

+5）［（%+紡）2—4%?紡］（k為直線斜率）.

注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式大于零.

3.過橢圓9/+25婿=225的右焦點且傾斜角為廳的弦長的長為（）

90

A.5B.6C.音D.7

【答案】。

【分析】

求出焦點坐標和直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和弦長公式可得答案.

【詳解】

由9/+25/=225得，1+舁=1,<?=25,*=9,所以c'=16,右焦點坐標為（4,0）,直線AB的方程

259

y=x—4

為0=/一4,所以"I,_得34/2—20Ckc+175=0,

,25+T=1

設4（電,助）,6（72，劭），所以①1+/2=爺~01工2=您~,

22

|AB|=V（a?i-T2）+（yi-y2）=J（1+肥）［（為+?。菀?皿g］

-2?

?ooO^Ooo-

=機+】）[（愣Mx*卡

故選：C.

【點睛】

本題主要考查直線與橢圓的弦長公式=J（1+a2）[（g+g）2—,由韋達定理的應用.

22

4.橢圓。:％+*=l（a>6>0）的左、右焦點分別是E、E,斜率為1的直線/過左焦點后且交。于A,B

ab2

兩點，且△ABE的內(nèi)切圓的周長是2兀,若橢圓。的離心率為eC則線段的長度的取值范圍

是（）

【答案】3

【分析】

先利用等面積法可得：yx4Q?丁=1x2c?\yi-y2\,求解出01—仍1的值，然后根據(jù)弦長公式\AB\

J1+白幼一例|的取值范圍.

【詳解】

設內(nèi)切圓半徑為r,由題意得yX4a-rX2c-|y1-y2|

得而—如=/e[,4],L=JiTj\yt-y2\=V5\y1-y2\G[-^-,4V5].

故選：8.

【點睛】

本題考查橢圓焦點三角形問題，考查弦長的取值范圍問題，難度一般.解答時，等面積法、弦長公式的

運用是關(guān)鍵.

二、多選題

5.已知拋物線y2=2Px（p>0）的焦點為F,過點F的直線/交拋物線于4、B兩點,以線段AB為直徑的圓

交“軸于朋\N兩點，則（）

A.若拋物線上存在一點E（2工）到焦點F的距離等于3,則拋物線的方程為“=4/

B.若以F|=2|BR|,則直線/的斜率為20

C.若直線/的斜率為四，則|AB|=￥

D.設線段的中點為P,若點F到拋物線準線的距離為2,則in/PMN的最小值為-

【答案】AD

【分析】

由拋物線的定義求得夕的值，可判斷4選項的正誤;設直線/的方程為x=my-\-設點？1（力1,%）、

6（七,紡），將直線/的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理可求得小的值，可判斷8選項的正誤;

利用韋達定理結(jié)合拋物線的焦點弦長公式可判斷。選項的正誤;設直線I的方程為x=my+1,設點

4%%）、石（力2,統(tǒng)），聯(lián)立直線,與拋物線的方程，求得點廣到夕軸的距離和\AB\，可得出sinAPMN

?3?

關(guān)于小的表達式，可判斷。選項的正誤.

【詳解】

對于4選項，由拋物線的定義可得出印=2+?=3,解得0=2,

所以，拋物線的標準方程為才=4%A選項正確；

對于B選項，如下圖所示：

拋物線的焦點為網(wǎng)多0),設點4處功)、B(72,m)，設直線AB的方程為力=my+y,

聯(lián)立<xmy+2，消去/并整理得，_2館「夕—22=0,△=4m2/)2+4p2>0恒成立，

巖2=2px

由韋達定理可得%+紡=2mp,/紡=一

由于|/斤|=2舊同，由圖象可得#=2屈，即((■—如一S)=2(g-],夕2),

yi=—2y2j—

yi+y-2=27np,解得m=±管,

{,曲=一/

所以，直線/的斜率為=±2淄，8選項錯誤；

m

對于「選項，當直線1的斜率為，^時，由B選項可知，7n=?：，%+。2=言之0,

OO

由拋物線的焦點弦長公式可得|AB|=g+g+p=2^(%+?/2)+2p=x當Jp+2p=~|~p,。選

OOOO

項錯誤；

對于3選項，拋物線的焦點/到準線的距離為2=2,則該拋物線的方程為y—41.

設直線，的方程為力=rng+1,設點>1（孫功）、8（72,仍），

聯(lián)立［?7"+1,消去/可得y2—4nly—4=0,A=16m2+16>0,

I。=4/

2

則Vi+y2=4m,/.x{+x2=m（7/i+y2）+2=4m+2,

\AB\g軸的距離為d==2-2+1,

病

所以，2+1=i_1_J

sinZF7W=22

j\AB\2m+22（m+l）=22

當且僅當m=0時，等號成立，。選項正確.

?4?

故選：AD.

【點睛】

本題考查直線與拋物線的綜合問題，考查了拋物線焦點弦的幾何性質(zhì)以及焦點弦長、焦半徑的計算.

本題中將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立,利用韋達定理得出點4、B的縱坐標所滿足的關(guān)系，并結(jié)合

了拋物線的焦點弦長公式進行計算，考查學生的運算求解能力，屬于中等題.

三、解答題

6.如圖，P是直線恒=2+3上一動點,過點/且與/垂直的直線/'交拋物線。:娟=2于A,B兩點，點4在

之間.

(1)若廠過拋物線。的焦點G求\AB\；

⑵求藍的最小值.

【答案】⑴2;⑵--］：幣.

【分析】

⑴先求出直線/'的方程，聯(lián)立直線與拋物線，將韋達定理和弦長公式相結(jié)合即可得結(jié)果；

\PA\

(2)設+聯(lián)立方程組分別求出4,8,P的縱坐標，將表示為關(guān)于t的函數(shù)式，結(jié)合

\PB\

基本不等式即可得結(jié)果.

【詳解】

解：⑴由已知得尸?,0),所以，:沙=—/+，

聯(lián)立得［彳="土］，消去/，可得y+y—；=°，

［y2=x4

設點4(如協(xié))，B(x2,y2),

%+例=一1

由根與系數(shù)的關(guān)系得

yiy=-j

所以|AB|=721^-y21=72XJ(%+紡)2—4切的=2.

(2)AB:y=-x+力，由=0,

有兩個不同的交點，.?.△=1+41＞0=＞土＞—

的省.——1+Vl+4t-1-VTT4t

解付.VA~2，爪

2

?5?

ooO^Ooo-

由｛。丁，得"

由于點>1在點/，，點B之間，

川VP~VAt+4—V1+4t12，1+41

Bh-以

\PB\yp~VB力+4+A/1+4力力+4+A/1+4t

設V1+4t=u(u>0),

廬川i8u8419-4V15

所以

\PB\“2+15+4U15V15+211

u+u+4

當且僅當〃=A/IK時，即i：=」時取等號.

,,」尸川以b一+工19-4V15

故的瑕小值為

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：

⑴直線弦長公式的應用；

（2）將所求量表示為關(guān)于力的函數(shù)，利用基本不等式求最值.

7.已知橢圓「+Z=l（a>b>0）長軸長為短軸長的兩倍，連結(jié)橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為」，

ab

直線I過點4（一。,0）,且與橢圓相交于另一點B.

（1）求橢圓的方程；

（2）若線段長為:"，求直線/的傾斜角.

5

【答案】⑴?+靖=1;⑵］或弩.

【分析】

由題設列出基本量方程組，解得基本量，從而得方程.

（2）設直線I方程,代入橢圓方程得關(guān)于力的一元二次方程，韋達定理整體思想及弦長公式得關(guān)于斜

率的方程,解得斜率得直線方程.

【詳解】

2X2b=2a

（1）由題意可知［x2axfox2=4,a=2,6=1,c=V3o

a2=62+c2

2

橢圓方程為：:+/=l

（2）由題可知直線，斜率存在，設直線I方程為%=k（x+2）代入橢圓方程得：

（4用2+1）］2+16"2%+16k2—4=0,△=16,

==。，解得k=±i,

4爐+15

直線，的傾斜角為或.

【點睛】

本題是橢圓與直線相交弦長問題,是高考解析幾何中的常見題型.

注意點點睛：

,6?

ooO^Ooo-

①在設直線時要注意直線斜率是否存在，做必要的交代；

②代入消元后要交代△的符號，確定交點是否存在及存在時的個數(shù)；

③所得解回代檢驗合理性，以確保答案的正確性.

8.已知直線I經(jīng)過拋物線/=6工的焦點且與拋物線交于4、B兩點.

（1）若直線/的傾斜角為60°,求線段的長；

⑵若[4川=2,求出同的長.

【答案】（1）8;（2）6.

【分析】

⑴設點%）、網(wǎng)g,紡），求出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出s+g的值,再利用拋物線

的焦點弦長公式可求得線段的長；

（2）設直線，的方程為丁=?710+三,設點>1（如夕1）、6（/2，比），將直線，的方程與拋物線的方程聯(lián)立，

可得出y1y2=-9,由'.F\=2求得◎的值，利用韋達定理以及拋物線的方程求得心的值，利用拋物線

的定義可求得舊同的長.

【詳解】

⑴設點40,%）、83,g2）,拋物線才=6%;的焦點為尸管,0）,

由于直線Z過點，且該直線的傾斜角為60°,則直線，的方程為y=—

聯(lián)立<"2）,消去沙并整理得/2—5/+?=0,△=25—9=16>0,

[y2=6x4

由韋達定理可得11+及=5,由拋物線的焦點弦長公式可得\AB\=力1+電+3=5+3=8;

⑵設點4如.）、6（狽班）,

由題意可知，直線Z不可能與2軸重合，設直線，的方程為x=my+y,

聯(lián)立<Xmn+2，消去力并整理得，一—9=0,A=36（m2+l）>0,

巖=6/

由韋達定理可得yi+y2=6m,僅改=一9,

1Api|=Ci+1~=2,可得力1=[,.?.4=6名尸3,“以二一九則信空二27,

N幺V\

2

X2=7^=4，因此，陽戶|=0+1=6.

622

【點睛】

有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公

式\AB\=/i+z?+p,若不過焦點，則必須用一般弦長公式.

9.已知圓上/+/=4上任取一點P,過點P作沙軸的垂線段PQ,垂足為Q,當P在圓上運動時，線段PQ中

點為加;

（1）求點2W的軌跡方程；

（2）若直線I的方程為g=2—1,與點7W的軌跡交于A,B兩點，求弦MB的長.

2

【答案】（1）1+==1；（2）|-V2.

45

【分析】

?7?

ooO^Ooo-

(1)設M、尸，利用相關(guān)點法即可求解.

(2)將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式即可求解.

【詳解】

⑴設破施勢,P(羯伙))aBQ(0,%),

點Af是線段PQ中點，,g=2c,%=y,

又P(±o，Uo)在圓x2+y2=上，(2/)2+才=」，

2

即點N的軌跡方程為x2+=1.

(y=x—l

(2)聯(lián)立"+』=j,消去"可得，51—2/—3=0,

A=(-2)2+60>0,

設4(如幼)，B(g,"2),

,23

則nlx+x=--,gg=F，

1255

|AB|=A/12+12|^I—^1—(g+/2)2—4g22

=AM)-(/)=竽.

【點睛】

方法點睛：本題考查了軌跡問題、求弦長，求軌跡的常用方法如下：

(1)定義法：利用圓錐曲線的定義求解.

(2)相關(guān)點法：由已知點的軌跡進行求解.

直接法:根據(jù)題意，列出方程即可求解.

10.已知橢圓C：￡+—=l(a>b>0)的右焦點為左、右頂點為乂、口，|F川=3,=

ab

(1)求橢圓。的標準方程；

(2)求直線2/=/+1被橢圓。截得的弦長.

【答案】(1)。+(=1；(2)與2.

【分析】

(1)設橢圓的半焦距為c,由題意可得a+c=3,a—c=l,解得a,c,求得b,可得橢圓的方程;

(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，計算可得所求值.

【詳解】

(1)設橢圓的半焦距為c,由=3,\FB\=1,

可得a+c=3,a—c=l,解得a=2,c=1,

則b=Va2—c2=V4—1=V3,

22

即有橢圓的方程為g+：=1；

(2)聯(lián)立直線沙=6+；和橢圓3/+4#=12,

可得7/+4%—11=0,

設被橢圓。截得的弦的端點的橫坐標分別為為，力2,

?8?

ooO^Ooo-

m?411

則為+電=一7，/便2=--丁，

可得弦長為Vl+A;2,J(g+/2)2—4g72=V1+1,J(―-4x(-

【點睛】

思路點睛：

求解橢圓中的弦長問題時，一般需要聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理，以及弦長公式，即可求出

結(jié)果;有時也可由直線與橢圓方程聯(lián)立求出交點坐標，根據(jù)兩點間距離公式求出弦長.

11.已知直線%:4N—3g—8=0與圓Al：(%+1)2+(?/—1)2=772相交.

(1)求m的取值范圍；

⑵若/與何相交所得弦長為8，求直線1：x+0—4=0與“相交所得弦長.

【答案】⑴(9,+8);⑵26y.

【分析】

(1)由圓Al：(6+1)2+(?/—1)2=772求出圓心和半徑，利用圓心到直線的距離小于半徑即可求解；

(2)由/與711相交所得弦長為8,利用弦長的一半、弦心距、圓的半徑滿足勾股定理可求出圓的半徑，

再次利用勾股定理即可求解.

【詳解】

(1)圓八/的圓心為(—1,1),半徑為Vm.

因為直線l'Ax—3g—8=0與圓711:(/+l)'+(g—iy=m相交，

I—1引

所以圓心(一1,1)到/的距離d=---=3<Vm

O

解得：m>9,

即m的取值范圍是(9,+8).

(2)因為/與M相交所得弦長為8,

所以772=(]y+32=25,

、I-4|L

因為圓心(一1,1)到【：岔+g—4=0的距離(『=—2A/2,

72

所以直線V.x+g—4=0與相交所得弦長為Nm—d?=2V17.

【點睛】

方法點睛：有關(guān)圓的弦長的兩種求法

(1)幾何法：直線被圓截得的半弦長為，弦心距d和圓的半徑7?構(gòu)成直角三角形，即「+/=/;

(2)代數(shù)法:聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求

222

得弦長\AB\=V1+fc|rr1-T2|=V1+ky/(rr1+T2)-4a;13；2或\AB\=/l+-^-|y]-y2|=

n2

12.已知雙曲線。的標準方程為=1,4"分別為雙曲線。的左、右焦點.

36

(1)若點P在雙曲線的右支上，且△月PE的面積為3,求點P的坐標；

(2)若斜率為且經(jīng)過右焦點區(qū)的直線/與雙曲線交于M,N兩點,求線段的長度.

【答案】⑴(孚J)或(乎，T)；(2)873.

?9?

?ooO^Ooo-

【分析】

(1)由雙曲線方程可得㈤網(wǎng)=6,進而可得點P的縱坐標，代入即可得解；

(2)聯(lián)立方程組，由韋達定理、弦長公式運算即可得解.

【詳解】

(1)由題意，雙曲線的焦距網(wǎng)藥=2存飛=6,

設點尸(山,八),"1>0,則■㈤耳卜同=3,=3,解得八=±1,

代入雙曲線方程可得力=W』，

所以點尸的坐標為工」)或1)；

(2)由題意，區(qū)(3,0),則直線7W：u=2：—3,

設M■⑶,.),N(g，U2),

U-^=1,

由36，化簡可得力2+6力-15=0,

V=力一3

貝|Jii+g=—6,g%2=—15,

所以\MN\—V1+A;2?J⑶+〃2)2—4「i力2=V2xV36+60=8A/3.

13.設拋物線。：/=4以尸為。的焦點，過F的直線，與。交于4B兩點.

(1)設/的斜率為2,求|48|的值；

(2)求證：瓦？?瓦為定值.

【答案】(1)5;(2)證明見解析.

【分析】

(1)求出直線方程為g=2(%—1)，聯(lián)立直線與拋物線，由\AB\—\AF\+\BF\=xr+x2+p即可求解;

⑵設直線方程為2=飩+1,由韋達定理表示出04OB=1便2+%仍，即可得出定值.

【詳解】

(1)依題意得F(l,0),

所以直線/的方程為y=2(/—1).

設直線/與拋物線的交點為力(為，幼)，B(g,紡)，

由卜2=?"一。得，/—3C+1=0,

所以Xi+x2=3,XiX2—1.

所以\AB\=\AF\+\BF\=Xi+x2+p=3+2=5.

(2)證明：設直線Z的方程為x=ky+l,

A(a;i,7/1),

直線/與拋物線的交點為B(X2,紡),

由丁譽+1得，戶颯—4=0,

所以%+%=4A：,“四2=—4.

因為。4?QB=(電，%)?(g,i/2)=x}x2+yxy2=(fcyj+1)(fcy2+l)+y[y2

=/伊必+必幼+緲)+1+W2=-4fe2+4A;2+l-4=-3.

所以。X?瓦為定值.

【點睛】

-10?

?ooO^Ooo-

方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：

(1)得出直線方程，設交點為4(g,yj,B(a;2,%)；

(2)聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于對或g)的一元二次方程;

(3)寫出韋達定理；

(4)將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為小+z-形式；

(5)代入韋達定理求解.

22

14.已知橢圓A/：二+j=l(a>0)的一個焦點為口(―L0),左右頂點分別為經(jīng)過點少的直線，與橢

a3

圓Al交于兩點.

(I)求橢圓Af方程；

(II)當直線/的傾斜角為45°時,求線段CD的長；

(III)記△AB1與△ABC的面積分別為Si和&，求IS—S』的最大值.

【答案】(1耳+:S2I的最大值為一.

【分析】

(I)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出可得結(jié)果;

(II)聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)弦長公式可求得結(jié)果;

III設直線/:%=如一1(1W0),。(如/)，。(力2,仍)，聯(lián)立直線I與橢圓的方程，利用韋達定理求出

%+伊，Is—S,|=1型1，變形后利用基本不等式可求得最大值.

3r+4

【詳解】

(I)因為橢圓的焦點為F(—1,0)，所以。=1且匕2=3,所以。2=方2+(?=3+1=4,

所以橢圓方程為—1.

II,1因為直線/的傾斜角為45°,所以斜率為1,直線，的方程為y=x+l,

y=x+l

聯(lián)立二，消去。并整理得7k+8力—8=0,

設。(孫幼)，。(電,統(tǒng))，

則x1+x2=--,gg=一亍，

所以ICD|=VT+Tx小子百*1=，.

(m)由(I)知4—2,0),8⑵o),

設直線z：x=ty-l(t^o),C(0,%),￡)(a:2,y2),

x=ty-l

聯(lián)立%,娟_］，消去/并整理得(31+4)靖一6%一9=0,

IT+T=1

卅Q

則yi+y-2=2,yiy2=-3<0,所以“，仇異號,

所以=<電』］=2||小威］——

12<12焉=右當且僅當陽=竽時，等號成立.

-3陽+俞、2尸彳

?11?

ooO^Ooo-

所以\s-s2\的最大值為，

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：第(明問中將三角形面積用(兩點的縱坐標表示，并利用韋達定理和基本不等式解

決是解題關(guān)鍵.

15.已知橢圓。：工+￡=l(a>b>0)的離心率為:，點在橢圓。上，直線。過橢圓。的右焦點

與上頂點，動直線打夕=fcc與橢圓。交于M,N兩點，交I于P點.

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知。為坐標原點，若點P滿足|QP|=：|AW],求此時的長度.

【答案】(1)。+(=1；(2)4或生等.

【分析】

(1)根據(jù)e=￡==，以及.7+—：即可求解.

。2ab

221

⑵將直線。與%+號=1聯(lián)立，求出交點監(jiān)再由QR=可得點P為。Ai的中點，根據(jù)

“在直線li:V3x+y—V3=0上求出點7W即可求解.

【詳解】

(1)由題意得一=—=士~\?一=1,結(jié)合Q2=b2+c2,

a2優(yōu)b

解得Q2=4,尸=3,c2=1,

故所求橢圓的方程為—-F=1.

4O

；,)易知定直線，1的方程為V3^c+y--\/3—0.

y=kx

聯(lián)立二人十

I4十3

不妨令M■點的坐標為12

3+4配

V\OP\=^\MN\,由對稱性可知,

12

點P為OAf的中點，故P3+4后

又在直線。：+0一0上，

2fc2

l7s+4fc73+4fc廠

故GXV3；或+Y3；或_^3=0；

解得自=0,自=竽，

故。點的坐標為(2,0)或(1,將),

所以QM=2或區(qū)誓，所以|AW|的長度為4或生紅.

55

【點睛】

?12?

關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵是求出Af點,根據(jù)對稱性可知,確定點P為OM的中點，考查了計算求解能

力.

22

16.已知橢圓￡；：—+—=l(a>fe>0),O為坐標原點，P為橢圓上任意一點，回，￡分別為橢圓的左、右焦

ab

點，且b?=a,其離心率為J：,過點”(0,1)的動直線2與橢圓相交于4B兩點.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)當/⑹=手時,求直線/的方程

【答案】(1)亍+^-=1；⑵y=±x+1或g=±］力+L

【分析】

b2=a,

(1)首先根據(jù)題意得到=v?,，再解方程組即可得到答案.

a2=b2+c2,

(2)首先設出直線方程“三卜工+1,與橢圓聯(lián)立，利用根系關(guān)系和弦長公式即可得到方程4k：l-5k'+l

=0,再解方程即可得到答案.

【詳解】

b2=a,

(1)由題意知卓，

a2=b2+c2,

解得。2=4,*=2.

/y2

所以橢圓的標準方程為1十萬=L

(2)當直線/的斜率不存在時"48|=20,不符合題意.

當直線/的斜率存在時,設直線/的方程為g三kx+1,

叱%之=1

聯(lián)立彳4十2一,得(2r+l)/+4N—2=0,

巖=hr+1

其判別式△=(4fc)2+8(2fc2+l)=8(4fc2+l)>0.

Ak9

設點力，B坐標分別為(力1，%)，(二2,紡)，貝IX+X=—.XX=-.

222k+1?X22k+1

所以=V1+fc2J(6I+.2)2—4力］22=V1+fc2?,

整理得4fc4-5fc2+l=0,解得/=1或必=：,

所以k=±l或k=士1.

綜上，直線/的方程為y=±x+1或。=±；%+1.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題主要考查直線與橢圓的弦長問題，本題中將直線方程代入橢圓的標準方程，再利根

系關(guān)系和弦長公式得到所求的等量關(guān)系為解題的關(guān)鍵，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

?13?

22

17.如圖，橢圓C：—+々=l(a>b>0)的離心率為-,過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.

ab~2

當直線48的斜率為0時，|AB|=4.

(I)求橢圓的方程；

(II)求使\AB\+\CD\取最小值時直線AB的方程.

22

【答案】(I+卷=1;(II)/一g—1=0或%+g—1=0.

4O

【分析】

I由離心率及6=川+乙可得出。=2,b=V3,進而寫出橢圓的方程；

(II)進行分類討論，①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為。時,另一條弦所在直線的斜率不存在，

不滿足題意;②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為。時,設直線AB的方程為"=—則直線

(/)的方程為y——^-(6—1),分別將直線八「3與。/】的方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理得出力]+力2

和的電的表達式，然后利用弦長公式求出\AB\+\CD\的表達式，然后利用基本不等式求出AB\+

\CD\取得最小值時k的值，最后寫出直線的方程即可.

【詳解】

22

I由題意知e=1~~,2Q=4,又a/=62+C2,解得a=2,b—V3,所以橢圓方程為=1;

(n)①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為o時，另一條弦所在直線的斜率不存在時，由題意知

|AB|+|CD|=7,不滿足條件；

②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時,設直線4B的方程為y=k(x—1),

則直線CD的方程為y=一~—1),設4如幼)，石(力2,紡)，

8k2

將直線的方程代入橢圓方程中并整理得(3+4君/—8//+4爐—12=0，則為+的-7,

3+4fc2

4fc2-12

x-

23+4/'

22

所以=y/k+l\xl—x2\=Vfe+1,J（力i+g）2—=12（-+：）,

3+4k

12（表+1）_12耐+1）

同理，|。。|二

3+/3fc2+4'

12（fc2+l）[12（fc2+l）84（fc2+l）284（肥+1）248

所以|AB|+|CE）|=〉

3+4fc23肥+4（3+4肥）（3昭+4）3+4fe2+3fc2+4\27，

2

當且僅當3+4fc2=3k2+4即k=±1時，上式取等號，所以直線AB的方程為*一0一1=0或c+0—

1=0.

【點睛】

?14?

易錯點點睛:本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應用，考查基本不等式的應用，

對于第二問，應該對斜率存在與否進行分類討論，注意別漏掉斜率不存在的情形，考查邏輯思維能力

和的分析計算能力，屬于中檔題.

2

18.已知拋物線ay=2Px@>0)的焦點F到準線的距離為2,且過點F的直線I被拋物線。所截得的弦長

MN為8.

(1)求直線/的方程；

(2)當直線/的斜率大于零時,求過點且與拋物線。的準線相切的圓的方程.

【答案】(1)夕=土—1或g=—x+1;(2)(x-3)2+(y—2)2=16或(宓-11)2+(y+6)2=144.

【分析】

⑴由題意得〃=2,網(wǎng)1,0),丁=4%當直線，的斜率不存在時，不合題意；當直線，的斜率存在時，設方

程為夕=k(x—1)(卜￥。)，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和拋物線的定義求出弦長，結(jié)合已知弦

長可求得結(jié)果；

(2)設所求圓的圓心坐標為5),%),根據(jù)幾何方法求出圓的半徑，根據(jù)直線與圓相切列式解得圓心坐

標和半徑,可得圓的方程.

【詳解】

(1)由題意得P=2,網(wǎng)1,0),/=4x

當直線/的斜率不存在時，其方程為久=1,此時=2p=4W8,不滿足，舍去；

當直線/的斜率存在時，設方程為y=k(x—1)(卜￥0)

由‘得堵x2—(2fe2+4)rr+k2=0

[y=4x

設^^如小工/^的紡工則△=161+16>0,且①]+g=2kJ4

Ki

由拋物線定義得+|7VF*|=(g+1)+(g+l)—西+力2+2———+2———-^-―

kk

即「士工=8,解得k=±i

k

因此，的方程為y=x—l或y=-x+1.

(2)由(1)取k=l,直線，的方程為沙=力一1,所以線段7VW的中點坐標為(3,2),

所以MN的垂直平分線方程為y—2=—(力一3),即9=

設所求圓的圓心坐標為(g,/))，該圓的圓心到直線，的距離為d,則d=小，則該圓的半徑為

V2

2001)

)=7^16=^-2-+16,

y0=-xG+5

因為該圓與準線力=-1相切，所以<(&+1)2=廝『)2+16，

0=3p0=11

解得,

yo=2ly0=-6

當圓心為(3,2)時,半徑為[，當圓心為(11,-6)時,半徑為12,

因此所求圓的方程為Q-3)2+(y-2)2=16或Q—11)