2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)第三章概率含解析新人教A版必修3

PAGE單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(三)(第三章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列說(shuō)法正確的是()A.甲、乙二人競(jìng)賽，甲勝的概率為QUOTE，則競(jìng)賽5場(chǎng)，甲勝3場(chǎng)B.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，前9個(gè)病人沒(méi)有治愈，則第10個(gè)病人肯定治愈C.隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等D.天氣預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%【解析】選D.概率只是說(shuō)明事務(wù)發(fā)生的可能性大小，其發(fā)生具有隨機(jī)性.2.12個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品中含有2個(gè)次品，現(xiàn)從中隨意抽取3個(gè)，必定事務(wù)是 ()A.3個(gè)都是正品 B.至少有一個(gè)是次品C.3個(gè)都是次品 D.至少有一個(gè)是正品【解析】選D.A，B都是隨機(jī)事務(wù)，因?yàn)橹挥?個(gè)次品，所以“抽出的3個(gè)全是次品”是不行能事務(wù)，“至少有一個(gè)是正品”是必定事務(wù).3.給甲、乙、丙三人打電話(huà)，若打電話(huà)的依次是隨意的，則第一個(gè)打電話(huà)給甲的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.給三人打電話(huà)的不同依次有6種可能，其中第一個(gè)給甲打電話(huà)的可能有2種，故所求概率為P=QUOTE=QUOTE.4.在區(qū)間[-2，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈[0，1]的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由幾何概型的概率計(jì)算公式可知x∈[0，1]的概率P=QUOTE=QUOTE.5.奧林匹克會(huì)旗中心有5個(gè)相互套連的圓環(huán)，顏色自左至右，上方依次為藍(lán)、黑、紅，下方依次為黃、綠，象征著五大洲.在手工課上，老師將這5個(gè)環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)制作，每人分得1個(gè)，則事務(wù)“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是()A.對(duì)立事務(wù)B.不行能事務(wù)C.互斥但不對(duì)立事務(wù)D.既不互斥又不對(duì)立事務(wù)【解析】選C.甲、乙不能同時(shí)得到紅色，因而這兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù)；又甲、乙可能都得不到紅色，即“甲或乙分得紅色”的事務(wù)不是必定事務(wù)，故這兩個(gè)事務(wù)不是對(duì)立事務(wù).6.將區(qū)間[0，1]內(nèi)的勻稱(chēng)隨機(jī)數(shù)x1轉(zhuǎn)化為區(qū)間[-2，2]內(nèi)的勻稱(chēng)隨機(jī)數(shù)x，須要實(shí)施的變換為()A.x=2x1 B.x=4x1C.x=2x1-2 D.x=4x1-2【解析】選D.由題意可知x=(2+2)x1-2=4x1-2.7.從一批羽毛球中任取一個(gè)，假如其質(zhì)量小于4.8g的概率是0.3，質(zhì)量不小于4.85g的概率是0.32，那么質(zhì)量在[4.8，4.85)范圍內(nèi)的概率是 ()A.0.62 B.0.38 C.0.70 D.0.68【解析】選B.記“取到質(zhì)量小于4.8g”為事務(wù)A，“取到質(zhì)量不小于4.85g”為事務(wù)B，“取到質(zhì)量在[4.8，4.85)范圍內(nèi)”為事務(wù)C.易知事務(wù)A，B，C互斥，且A∪B∪C為必定事務(wù).所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1，即P(C)=1-0.3-0.32=0.38.8.某人從甲地去乙地共走了500m，途中要過(guò)一條寬為xm的河流，他不當(dāng)心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，則能找到，已知該物品能找到的概率為QUOTE，則河寬為()A.100m B.80m C.50m D.40m【解析】選A.設(shè)河寬為xm，則1-QUOTE=QUOTE，所以x=100.9.《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有勾五步，股一十二步，問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步，問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.1-QUOTE D.1-QUOTE【解析】選C.直角三角形的斜邊長(zhǎng)為QUOTE=13，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則5-r+12-r=13，解得r=2.所以?xún)?nèi)切圓的面積為πr2=4π，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率P=1-QUOTE=1-QUOTE.10.小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，遺忘了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，其次位是1，2，3，4，5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼就能夠勝利開(kāi)機(jī)的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)棣?{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，所以事務(wù)總數(shù)有15種.因?yàn)檎_的開(kāi)機(jī)密碼只有1種，所以P=QUOTE.11.若某公司從五位高校畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.事務(wù)“甲或乙被錄用”的對(duì)立事務(wù)是“甲和乙都未被錄用”，從五位學(xué)生中選三人的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為10，“甲和乙都未被錄用”只有1種狀況，依據(jù)古典概型和對(duì)立事務(wù)的概率公式可得，甲或乙被錄用的概率P=1-QUOTE=QUOTE.12.勒洛三角形是具有類(lèi)似圓的“定寬性”的面積最小的曲線(xiàn)，它由德國(guó)機(jī)械工程專(zhuān)家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛首先發(fā)覺(jué)，其作法是：以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.現(xiàn)在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正三角形外的概率為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由題意，設(shè)BC=2，則以點(diǎn)B為圓心的扇形面積為QUOTE×QUOTE×22=QUOTE，等邊△ABC的面積為QUOTE×22×sinQUOTE=QUOTE，其中一個(gè)弓形的面積為QUOTE-QUOTE，所以勒洛三角形的面積可視為一個(gè)扇形面積加上兩個(gè)弓形的面積，即QUOTE+2×QUOTE=2π-2QUOTE，所以在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自正三角形外部的概率為1-QUOTE=QUOTE.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線(xiàn)上)13.一個(gè)袋子中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，4個(gè)綠球，8個(gè)黑球，假如隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記A={摸出黑球}，B={摸出白球}，C={摸出綠球}，D={摸出紅球}，則P(A)，P(B)，P(C∪D)的值依次為_(kāi)___________.

【解析】由古典概型的算法可得P(A)=QUOTE=QUOTE，P(B)=QUOTE，P(C∪D)=P(C)+P(D)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE，QUOTE，QUOTE14.在區(qū)間(0，1)內(nèi)任取一個(gè)數(shù)a，能使方程x2+2ax+QUOTE=0有兩個(gè)相異實(shí)根的概率為_(kāi)_____.

【解析】方程有兩個(gè)相異實(shí)根的條件是Δ=(2a)2-4×1×QUOTE=4a2-2>0，解得|a|>QUOTE，又a∈(0，1)，所以QUOTE<a<1，區(qū)間QUOTE的長(zhǎng)度為1-QUOTE，而區(qū)間(0，1)的長(zhǎng)度為1，所以方程有兩個(gè)相異實(shí)根的概率為QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE15.從某校高二年級(jí)的全部學(xué)生中，隨機(jī)抽取20人，測(cè)得他們的身高分別為：(單位：cm)162，148，154，165，168，172，175，162，171，170，150，151，152，160，163，175，164，179，149，172.依據(jù)樣本頻率分布估計(jì)總體分布的原理，在該校高二年級(jí)任抽一名同學(xué)身高在155.5～170.5cm之間的概率為_(kāi)_____.(用分?jǐn)?shù)表示)

【解析】樣本中有8人身高在155.5～170.5cm之間，所以估計(jì)該校高二年級(jí)任抽一名同學(xué)身高在155.5～170.5cm之間的概率為QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE16.甲乙兩人玩猜數(shù)字嬉戲，先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a-b|≤1，則稱(chēng)甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)隨意找兩人玩這個(gè)嬉戲，則二人“心有靈犀”的概率為_(kāi)_____.

【解析】此題可化為隨意從0～9中取兩數(shù)(可重復(fù))共有10×10=100種取法.若|a-b|≤1分兩類(lèi)，當(dāng)甲取0或9時(shí)，乙只能猜0、1或8、9共4種，當(dāng)甲取1～8中的任一數(shù)字時(shí)，分別有3種選擇，共3×8=24種，所以P=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)(2024·全國(guó)Ⅰ卷)某廠(chǎng)接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A(yíng)級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠(chǎng)家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠(chǎng)家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠(chǎng)有甲、乙兩個(gè)分廠(chǎng)可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠(chǎng)加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠(chǎng)加工成本費(fèi)為20元/件.廠(chǎng)家為確定由哪個(gè)分廠(chǎng)承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠(chǎng)各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：甲分廠(chǎng)產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)40202020乙分廠(chǎng)產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠(chǎng)加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠(chǎng)加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠(chǎng)家應(yīng)選哪個(gè)分廠(chǎng)承接加工業(yè)務(wù)？【解析】(1)由試加工產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表知，甲分廠(chǎng)加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為QUOTE=0.4；乙分廠(chǎng)加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為QUOTE=0.28.(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠(chǎng)加工出來(lái)的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為利潤(rùn)6525-5-75頻數(shù)40202020因此甲分廠(chǎng)加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為QUOTE=15.由數(shù)據(jù)知乙分廠(chǎng)加工出來(lái)的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為利潤(rùn)70300-70頻數(shù)28173421因此乙分廠(chǎng)加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為QUOTE=10.比較甲乙兩分廠(chǎng)加工的產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，應(yīng)選甲分廠(chǎng)承接加工業(yè)務(wù).18.(12分)設(shè)集合M={1，2，3，4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一個(gè)基本領(lǐng)件.(1)“a+b=5”這一事務(wù)包含哪幾個(gè)基本領(lǐng)件？“a<3且b>1”呢？(2)“ab=4”這一事務(wù)包含哪幾個(gè)基本領(lǐng)件？“a=b”呢？(3)“直線(xiàn)ax+by=0的斜率k>-1”這一事務(wù)包含哪幾個(gè)基本領(lǐng)件？【解析】這個(gè)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件構(gòu)成集合Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.(1)“a+b=5”包含以下4個(gè)基本領(lǐng)件：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1).“a<3且b>1”包含以下6個(gè)基本領(lǐng)件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).(2)“ab=4”這一事務(wù)包含以下3個(gè)基本領(lǐng)件：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“a=b”這一事務(wù)包含以下4個(gè)基本領(lǐng)件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).(3)直線(xiàn)ax+by=0的斜率k=-QUOTE>-1，所以a<b，所以包含以下6個(gè)基本領(lǐng)件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4).19.(12分)某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級(jí)狀況如表：一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參與學(xué)問(wèn)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同).(1)用表中字母列舉出全部可能的結(jié)果.(2)設(shè)M為事務(wù)“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事務(wù)M發(fā)生的概率.【解析】(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參與學(xué)問(wèn)競(jìng)賽的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種.(2)選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種.因此，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)=QUOTE=QUOTE.20.(12分)國(guó)家平安機(jī)關(guān)的監(jiān)聽(tīng)錄音記錄了兩名間諜的談話(huà)，發(fā)覺(jué)在30min長(zhǎng)的磁帶上，從起先30s處起，有10s長(zhǎng)的一段談話(huà)內(nèi)容包含兩名間諜犯罪的信息.后來(lái)發(fā)覺(jué)，這段談話(huà)的一部分被某工作人員擦掉了.該工作人員聲稱(chēng)他完全是無(wú)意中按錯(cuò)了鍵，才使從今處起往后的全部?jī)?nèi)容都被擦掉了.那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪信息的談話(huà)被部分或全部擦掉的概率有多少？【解析】包含兩名間諜談話(huà)錄音的部分在30～40s之間，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在這段時(shí)間之內(nèi)時(shí)，部分被擦掉；當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在0～30s之間時(shí)，全部被擦掉.即在0～40s之間的時(shí)間段內(nèi)任一時(shí)刻按錯(cuò)鍵時(shí)，含有犯罪信息的談話(huà)被部分或全部擦掉，而在0～30min之間的時(shí)間段內(nèi)任一時(shí)刻按錯(cuò)鍵的可能性是相等的.所以按錯(cuò)鍵使含有犯罪信息的談話(huà)被部分或全部擦掉的概率只與從起先到談話(huà)內(nèi)容結(jié)束的時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，符合幾何概型的條件.設(shè)事務(wù)A表示“按錯(cuò)鍵使含有犯罪信息的談話(huà)被部分或全部擦掉”，事務(wù)A發(fā)生就是在0～QUOTEmin的時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵.所以μA=QUOTEmin，μΩ=30min，P(A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.21.(12分)先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b.(1)求直線(xiàn)ax+by+5=0與圓x2+y2=1相切的概率；(2)將a，b，5的值分別作為三條線(xiàn)段的長(zhǎng)，求這三條線(xiàn)段能?chē)傻妊切蔚母怕?【解析】先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，包含的基本領(lǐng)件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36個(gè).(1)因?yàn)橹本€(xiàn)ax+by+5=0與圓x2+y2=1相切，所以QUOTE=1，整理得：a2+b2=25.由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，所以滿(mǎn)意條件的狀況只有a=3，b=4，或a=4，