上海市曹楊第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

曹楊二中2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)月考2024.10一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.若函數(shù)的最小正周期是______.2.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，則______.3.若平面α∥平面β，，，則直線a與b的位置關(guān)系不可能是______.（填“相交”、“平行”、“異面”之一）4.已知i為虛數(shù)單位，設(shè).若是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則______.5.在中，，，，則______.6.在正三棱柱中，若，則直線到平面的距離為_(kāi)_____.7.設(shè)α為第二象限角.若，則______.8.若圓柱的底面半徑為1，側(cè)面展開(kāi)圖的面積為8π，則該圓柱的體積為_(kāi)_____9.如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)D處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)C處.若庫(kù)底與水壩所成的二面角為120°，測(cè)得從D、C到庫(kù)底與水壩的交線的距離分別為米、米，米，則甲、乙兩人相距______米.10.已知成等比數(shù)列，且其中有兩項(xiàng)分別為1、9，則的最小值為_(kāi)_____.11.如圖，正方體棱長(zhǎng)為2，E、F分別為、的中點(diǎn)，P是底面上一點(diǎn).若AP∥平面BEF，則直線AP與底面所成角的正切值的取值范圍是______。12.17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)關(guān)于三角形的有趣問(wèn)題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點(diǎn)，使它到三角形每個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.現(xiàn)已證明：在中，若三個(gè)內(nèi)角均小于120°，則當(dāng)點(diǎn)P滿足時(shí)，點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)P被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn).根據(jù)以上知識(shí)，已知為平面α內(nèi)任意一個(gè)向量，和是平面α內(nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，且，，則的最小值為_(kāi)_____.二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.已知空間中有三條直線a，b，c，則“a，b，c兩兩相交”是“a，b，c共面”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件14.已知l是平面α的一條斜線，直線，則（）A.存在唯一一條直線m，使得l⊥m B.存在無(wú)數(shù)多條直線m，使得l⊥mC.存在唯一一條直線m，使得l∥m D.存在無(wú)數(shù)多條直線m，使得l∥m15.設(shè)m，n為正整數(shù).對(duì)于數(shù)列，下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）①若，則是等比數(shù)列；②若，則是等比數(shù)列；③若，則是等比數(shù)列.A.0 B.1 C.2 D.316.已知矩形ABCD，M是邊AD上一點(diǎn)，沿BM翻折，使得平面ABM⊥平面BCDM，記二面角的大小為α，二面角的大小為β，則（）A. B. C. D.三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17.（本題滿分14分，第1題6分，第2題8分）已知i為虛數(shù)單位，設(shè).復(fù)數(shù).（1）若，求m的值；（2）若z是純虛數(shù)，求的值.18.（本題滿分14分，第1題6分，第2題8分）如圖，在正方體中，.（1）證明：直線平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.19.（本題滿分14分，第1題6分，第2題8分）如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD所在平面與半圓弧BC所在平面垂直，點(diǎn)M是BC上異于B、C的點(diǎn).（1）求證：平面ACM⊥平面ABM；（2）當(dāng)二面角的大小為60°時(shí)，求直線CA與平面ABM所成角的正弦值.20.（本題滿分18分，第1題4分，第2題6分，第3題8分）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的空間幾何體中，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)P不在四邊形ABCD所在平面上，PD⊥平面ABCD，，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，連接DE、BD、BE.（1）判斷四面體EBCD是否為鱉臑？若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）證明：DE⊥平面PBC；（3）設(shè)，若點(diǎn)M在BD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在PC上運(yùn)動(dòng)，求線段MN長(zhǎng)度的最小值.21.（本題滿分18分，第1題4分，第2題6分，第3題8分）已知無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù).若存在，使得對(duì)任意正整數(shù)n，恒成立，則稱為有界數(shù)列；記，若存在，使得對(duì)任意，，恒成立，則稱為有界變差數(shù)列.（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷是否為有界數(shù)列？是否為有界變差數(shù)列？（只需寫(xiě)出結(jié)論）；（2）設(shè).若首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列為有界變差數(shù)列，求q的取值范圍；（3）已知兩個(gè)嚴(yán)格增的無(wú)窮數(shù)列和均為有界數(shù)列.記，證明：數(shù)列為有界變差數(shù)列.參考答案一、填空題1.;2.;3.相交;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.二、選擇題13.D14.B15.B16.C三．解答題17.（1）（2）或18.（1）證明略（2）19.（1）證明略（2）20.（本題滿分18分，第1題4分，第2題6分，第3題8分）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的空間幾何體中，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)P不在四邊形ABCD所在平面上，PD⊥平面ABCD，，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，連接DE、BD、BE.（1）判斷四面體EBCD是否為鱉臑？若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）證明：DE⊥平面PBC；（3）設(shè)，若點(diǎn)M在BD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在PC上運(yùn)動(dòng)，求線段MN長(zhǎng)度的最小值.(1)由平面平面,可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是證明:(2)因?yàn)榈酌?所以,由底面為長(zhǎng)方形,有,而,所以平面平面,所以

又因?yàn)?點(diǎn)是的中點(diǎn),所以而,所以平面21.（本題滿分18分，第1題4分，第2題6分，第3題8分）已知無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù).若存在，使得對(duì)任意正整數(shù)n，恒成立，則稱為有界數(shù)列；記，若存在，使得對(duì)任意，，恒成立，則稱為有界變差數(shù)列.（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷是否為有界數(shù)列？是否為有界變差數(shù)列？（只需寫(xiě)出結(jié)論）；（2）設(shè).若首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列為有界變差數(shù)列，求q的取值范圍；（3）已知兩個(gè)嚴(yán)格增的無(wú)窮數(shù)列和均為有界數(shù)列.記，證明：數(shù)列為有界變差數(shù)列.(1),若使數(shù)列為有界數(shù)列,則需使,

由知,,則,,則即可,則數(shù)列為有界變差數(shù)列.

(2),則

當(dāng)時(shí),則,顯然滿足題意.

當(dāng)時(shí),則,則若,則,舍去.