新高考數(shù)學一輪復習講練測第7章第03講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)（練習）（解析版）

第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)（模擬精練+真題演練）1．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外的兩條直線，在SKIPIF1<0的前提下，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外的兩條直線，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面內(nèi)必存在一條直線與SKIPIF1<0平行，不妨設為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即充分性成立；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0可能平行，也可能相交，即必要性不成立；所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件.故選：A.2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知l，m是兩條不同的直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個不同的平面，則可以用來判斷SKIPIF1<0的條件有（

）①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0A．①② B．①③ C．②③ D．①④【答案】D【解析】根據(jù)題意，依次分析4個條件：對于①，垂直于同一平面的兩條直線平行，可以判斷SKIPIF1<0，對于②，平面同一平面的兩條直線可以平行、也可以相交或異面，不可以判斷SKIPIF1<0，對于③，兩個平行平面內(nèi)的兩條直線，可以平行、也可以相交或異面，不可以判斷SKIPIF1<0，對于④，由直線與平面平行的性質(zhì)分析，可以判斷SKIPIF1<0，則可以判斷SKIPIF1<0的是①④；故A，B，C錯誤.故選：D．3．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，則下列結(jié)論中一定不成立的是（

）

A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】對于A選項，連接SKIPIF1<0，如下圖所示：

在正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由正四棱臺的幾何性質(zhì)可知，四邊形SKIPIF1<0為正方形，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，A對；對于B選項，將正四棱臺SKIPIF1<0補成正四棱錐SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，

因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，又因為四邊形SKIPIF1<0為正方形，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，B對；對于C選項，取棱SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，

在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為梯形，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為兩腰，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0有公共點，即SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行，C錯；對于D選項，連接SKIPIF1<0，如下圖所示：

因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0內(nèi)，以點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，過點SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線為SKIPIF1<0軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

設點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即當點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，D對.故選：C.4．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預測）已知平面SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，有以下四個命題：①在SKIPIF1<0內(nèi)過點SKIPIF1<0，有且只有一條直線垂直SKIPIF1<0；②在SKIPIF1<0內(nèi)過點SKIPIF1<0，有且只有一條直線平行SKIPIF1<0；③過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．則真命題的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)過點SKIPIF1<0，有且只有一條直線垂直SKIPIF1<0，故①正確；當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交線上時，在SKIPIF1<0內(nèi)過點SKIPIF1<0，不存在直線平行SKIPIF1<0，故②錯誤；當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交線上時，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故③錯誤；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由平面與平面平行的性質(zhì)，可得SKIPIF1<0，故④正確．SKIPIF1<0真命題的個數(shù)為2．

故選：B．5．（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？既＃┤鐖D，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點．若點SKIPIF1<0為側(cè)面正方形SKIPIF1<0內(nèi)（含邊界）的動點，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與側(cè)面SKIPIF1<0所成角的正切值最大為（

）

A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如圖所示：

在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，點SKIPIF1<0在側(cè)面SKIPIF1<0內(nèi)的軌跡為線段SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與側(cè)面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與側(cè)面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到邊SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與側(cè)面SKIPIF1<0所成角的正切值的最大值為SKIPIF1<0，故選：D.6．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預測）如圖，已知圓錐的頂點為S，AB為底面圓的直徑，點M，C為底面圓周上的點，并將弧AB三等分，過AC作平面SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與SM交于點N，則SKIPIF1<0的值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0即為平面SKIPIF1<0，

因為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為AB為底面圓的直徑，點M，C將弧AB三等分，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.7．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預測）已知正方體ABCD－A1B1C1D1，平面SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若直線AC到平面SKIPIF1<0的距離與BC1到平面SKIPIF1<0的距離相等，平面SKIPIF1<0與此正方體的面相交，則交線圍成的圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【解析】如圖，設SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離與SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等，即平面SKIPIF1<0為所求的平面SKIPIF1<0，故與正方體交線為正六邊形SKIPIF1<0.故選：D8．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）在棱長為4的正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0在正方體SKIPIF1<0的表面上運動，滿足SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡所構(gòu)成的周長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】延長SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線與SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則平行四邊形SKIPIF1<0（SKIPIF1<0點除外）為點SKIPIF1<0的軌跡所構(gòu)成的圖形，因為正方體棱長為4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則由幾何關(guān)系可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡所構(gòu)成的周長為SKIPIF1<0.故選：D9．（多選題）（2023·廣東廣州·華南師大附中校考三模）下列命題正確的是（

）A．如果一條直線上兩點到一個平面的距離相等，那么這個直線與這個平面平行B．兩條平行直線被兩個平行平面所截的線段長度相等C．如果一個平面內(nèi)一個銳角的兩邊，分別平行于另一個平面內(nèi)一個角的兩邊，那么這兩個平面平行D．如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直【答案】BC【解析】對于A，當直線上的兩點位于平面的同側(cè)時，可得直線與平面平行；當兩點位于平面兩側(cè)時，直線與平面相交，故A錯誤；對于B，如圖，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0確定一個平面，又因為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，所以根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)得SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，故B正確；

對于C，根據(jù)平面與平面平行的判定可知C正確；對于D，當平面內(nèi)的無數(shù)條直線都平行時，不能得到直線與平面垂直，故D錯誤；故選：BC.10．（多選題）（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是三個平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．下列結(jié)論正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可能是異面直線B．若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0必然交于一點（即三線共點）C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可能是異面直線【答案】BC【解析】對于A、B：由題意，知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公共點．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三線共點，故A錯誤，B正確．對于C、D：由題意，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可證SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確，D錯誤；故選：BC11．（多選題）（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，SKIPIF1<0為四邊形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一個動點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一點，若三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，

因為SKIPIF1<0為四邊形SKIPIF1<0的中心，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為三棱錐SKIPIF1<0的體積等于三棱錐SKIPIF1<0的體積，且為定值，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0為同一平面，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，所以SKIPIF1<0，故A錯誤，B正確；因為正方體的棱長為2，所以SKIPIF1<0．故C正確，D錯誤．故選：BC．12．（多選題）（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考三模）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的動點，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的動點，則（

）

A．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直C．存在點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0【答案】CD【解析】對于A，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0相交，A錯；因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，此時SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不重合，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0也垂直，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不成立，所以此時SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，故B錯；如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的動點，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的動點，所以存在點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即存在點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，C正確；

對于D，將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0放置于同一平面內(nèi)，如圖，

則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D正確.故選：CD13．（2023·廣西貴港·貴港市高級中學校考三模）正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，給出下列四個命題：①上底邊SKIPIF1<0的中點在平面SKIPIF1<0內(nèi)②直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行③平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面面積為SKIPIF1<0④點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等．錯誤的命題是．【答案】①②④【解析】在①中，如圖所示，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點共面，所以截面即為梯形SKIPIF1<0，所以上底邊SKIPIF1<0的中點不在平面SKIPIF1<0內(nèi)，故①錯誤；在②中，如圖所示，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由條件可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故②錯誤；在③中，由①可知，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③正確；在④中，記點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故④錯誤．故答案為：①②④.14．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考三模）在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝2，過BC中點E的截面與AB，CD都平行，則截面的周長為．【答案】4【解析】設SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，根據(jù)三角形中位線定理，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，因此四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此平行四邊形SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<015．（2023·安徽·安徽省含山中學校聯(lián)考三模）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，過線段SKIPIF1<0中點E作平面SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都平行，且分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于F、G、H，則四邊形SKIPIF1<0的周長為．【答案】2【解析】因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0EH，又點E為SKIPIF1<0中點，所以EH為三角形ABC的中位線，故SKIPIF1<0.同理，SKIPIF1<0所以四邊形SKIPIF1<0的周長為2.故答案為：216．（2023·安徽滁州·?？寄M預測）如圖，直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．把SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，則有下列結(jié)論：①存在點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②對任意點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0成異面直線；③存在點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④存在點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．其中不正確的序號是．【答案】②③④【解析】對于①，取SKIPIF1<0的三等分點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此①正確；對于②，當點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共面，故②錯誤；對于③，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0垂直于平面內(nèi)的任何直線，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不垂直于平面SKIPIF1<0，故③錯誤；對于④，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，顯然在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中不成立，故④錯誤．綜上可得：②③④錯誤．故答案為：②③④17．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為梯形，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別是PD，PB的中點．

(1)求證：直線SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值．【解析】（1）連接BD，SKIPIF1<0M，N分別是PD，PB的中點．SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0兩兩之間互相垂直以SKIPIF1<0為原點，建立如圖所示空間直角坐標系

SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0又SKIPIF1<0M，N分別是PD，PB的中點．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得法向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0得法向量SKIPIF1<0令平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0且為銳角SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.18．（2023·北京·首都師范大學附屬中學?？寄M預測）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面PAD，△PAD為等邊三角形，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面PBC交平面PAD直線l，E、F分別為棱PD，PB的中點．

(1)求證：SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0；(2)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在點G，使得SKIPIF1<0∥平面AEF？若存在，求SKIPIF1<0的值，若不存在，說明理由．【解析】（1）因為SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0直線l，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0.（2）取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由題意可得：SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為平行四邊形，可得SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面PAD，則SKIPIF1<0平面PAD，由SKIPIF1<0平面PAD，則SKIPIF1<0，又因為△PAD為等邊三角形，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖，以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由題意可知：平面PAD的法向量SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值SKIPIF1<0.

（3）由（2）可得：SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0∥平面AEF，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0∥平面AEF，此時SKIPIF1<0.19．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）如圖，平行六面體SKIPIF1<0的所有棱長都相等，平面SKIPIF1<0平面ABCD，AD⊥DC，二面角SKIPIF1<0的大小為120°，E為棱SKIPIF1<0的中點．(1)證明：CD⊥AE；(2)點F在棱CC1上，SKIPIF1<0平面BDF，求直線AE與DF所成角的余弦值．【解析】（1）（1）因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且兩平面交線為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，故SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，E為棱SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面AED，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0．（2）解法1：設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．連SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點G，連SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面AEC,平面AECSKIPIF1<0平面BDF=OG所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，所以G為SKIPIF1<0中點，故SKIPIF1<0．且直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角等于直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因此直線AE與DF所成角的余弦值為SKIPIF1<0．解法2；設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0