2025屆高考數(shù)學熱點題型：解三角形十類題型（含答案）

2025屆高考數(shù)學熱點題型：解三

角形十類題型匯總

解三角形十類題型樂總

近4年考情(2021—2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年/卷第15題，13分

年〃卷第題，分高考對本節(jié)的考查不會有大的

20241513(1)正弦定理、余弦定理及其變形

變化，仍將以考查正余弦定理的

2024年甲卷第11題，5分

基本使用、面積公式的應用為(2)三角形的面積公式并能應用

2023年/卷〃卷第17題，10分主.從近五年的全國卷的考查

2023年甲卷第16題，5分情況來看，本節(jié)是高考的熱點，(3)實際應用

主要以考查正余弦定理的應用

2023年乙卷第18題，12分(4)三角恒等變換

和面積公式為主.

2022年/卷〃卷第18題，12分

2021年/卷〃卷第20題，12分

熱點題型解讀

【題型1】拆角與湊角

類型一出現(xiàn)了3個角(拆身)

類型二湊角

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角

類型四通過誘導公式統(tǒng)一函數(shù)名

【題型2】利用余弦定理化簡等式

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方

類型二出現(xiàn)角的余弦(正弦走不通)

【題型3】周長與面積相關(guān)計算

類型一面積相關(guān)計算

類型二周長的相關(guān)計算

【題型4】倍角關(guān)系

類型一倍角關(guān)系的證明和應用

類型二擴角降賽

類型三圖形中二倍角的處理

【題型5】角平分線相關(guān)計算

【題型6】中線相關(guān)計算

【題型7】高線線相關(guān)計算

【題型8】其它中間線

【題型9】三角形解的個數(shù)問題

【題型10】解三角形的實際應用

類型一距離問題

類型二高度問題

題型分類解析

【題型1】拆角與湊角

逢心?技巧

⑴正弦定理的應用

①邊化角，角化邊a:b:c=sinA:sinB:sinC7

②大邊對大角大角對大邊

sinA>sinBu>cosA<cosB

③八分匕匕.a+b+c_a+b_b+c_a+c_Q_b_c

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC內(nèi)角和定理(結(jié)合誘導公式)：A+R+。=兀

①sinC=sin(A+R)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②一cos。=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB;

③斜三角形中，—tan。=tan(A+B)=一3"人士=tanA+tanB+tan(7=tanA?tanB?tanC

1—tanA-tanB

公.(A-\-B\C(A-\rB\.C

⑷sin(---)=cos—;cos(---)=sm—

類型一出現(xiàn)了3個角（拆角）

1.在△48。中，勺①=當咚，求A的值

73acosA

2./XABC的內(nèi)角AB。的對邊分別為a,b,c,且b=2csin（A+看），求C.

_____________眇

3.（湛江一模）在4ABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知羽=2cos（年—C）

求4

類型二湊角

4.在/\ABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知2acosA?cosB+6cos2A=V3c—b,求角A

5.（2024屆.廣州.階段練習）已知△ABC中角4B,C的對邊分別為a,b,c,滿足&cosB+立cosC=

aa

3cosC,求sin。的值

6.在△ABC中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,且上+—=3+斯,求tanBtanC.

7.V^asin=csinA,求角。的大小.

8.已知4ABC的內(nèi)角A,8,。的對邊分別為a,b,c,且J^bcos若旦=csinB,求C

9.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對邊的長分別為a,b,c,且滿足bcos旦羨0=asin_B,求4

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角

10.（深圳一模）記△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知b+c=2asin（c+，求4

11.在LABC中，V3sinC+cosC=smB+jnC,求人

sinA

12.銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosC+，^csinA=b+c,求4

13.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角4B,C的對邊，且acosC+0asinC=b+c,求角［的大小;

類型四通過誘導公式統(tǒng)一函數(shù)名

14.在4ABC中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinB=bcos（A—專）,求A的值

15.已知△45。中，角4B。所對邊分別為Q,b,c,若滿足a（sin2A—cosBcosC）+bsirMsinC=0,求角

人的大小.

16.在△4BC中，內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c.已知asinB=bcos（A—個），bcosC=ccos_B,求A的

值.

【題型2】利用余費定理化簡等式

逢心?技巧

余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA;

公式b2=c2+a2—2accosB;

c2==a2+52—2abeos。.

4V+c，一a?

cosA=CL；

2bc

222

常見變形cos口B=c+八a-b；

2ac

ca2+b2-c2

2ab

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方

17.已知△ABC內(nèi)角ABC所對的邊長分別為a,b,c,22a2cosB+b2=2abcosC+a2+c2,求R

18.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)在4ABC中，內(nèi)角C所對的邊分別為a,b,c,若8=看，/=

O

：QC,則sirM+sin(7=()

4

2MaV31C0n3V13

AC

,13,13-虧D-13-

19.記△AB。的內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知Q2=3b2+P則旦吟=

tanG------

20.(2023年北京高考數(shù)學真題)在4ABe中，(Q+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)，則/C=()

A工B-cD

63-f-t

21.在A4BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=2V52asinCcosB=asinA—bsinB-\---ftsinC,

求b；

22.（2024屆.湖南四大名校團隊模擬沖刺卷（一））在△ABC中，內(nèi)角ABC所對的邊分別為a,b,c,已知

的面積為S,且2s（篝+器）=（4+的如4求。的值

23.（2024.廣東省六校高三第四次聯(lián)考）已知△48。的角4B,。的對邊分別為Q,b,c,且

sinA（ccosB+bcosC）—csin8=csinC+bsin_B,求角A

24.記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知/—2c?,求g與的值

tanA

類型二出現(xiàn)角的余弦（正弦走不通）

25.記△45。的內(nèi)角A>8、。的對邊分別為a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c,求4

26.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角ABC的對邊，且sin（A—8）=2sinC,證明:02=*+202.

27.在△4BC中，內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,c=2b,2sinA=3sin2C,求sinC.

28.記△48。的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,B=專?，且(sinA+sinB)sinC+cos2C=1,求證5a=3c

o

___________F

29.已知△4B。的內(nèi)角A>B、。的對邊分別為a、b、c,sin（A—B）tanC=sinylsinB,求。彳。.

30.△4B。的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,已知（b—c）sinB=bsin（A—@，求角A.

【題型3】周長與面積相關(guān)計算

/核心?技巧/

設計周長和面積的相關(guān)計算一般會用到余弦定理還有可能需要用到完全平方公式

對于完全平方公式：（a+b）2=a2+/+2Q6,其中兩邊之和Q+b對應周長，兩邊平方和a2+/在余弦定理中，兩

邊之積ab在面積公式和余弦定理中都會出現(xiàn)

類型一面積相關(guān)計算

31.已知△4BC中角。的對邊分別為a,b,c,sinC=2g,a=b+2，c=3四，求△ABC的面積.

32.（2024新高考一卷?真題）記△48。的內(nèi)角48、。的對邊分別為a,b,c,已知sinC=2cosB,（^十〃

—c2=V2ab

（1）求B；（2）若△ABC的面積為3+四,求c.

33.記△ABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為火4以8=與，且5a=3c,若△ABC的面積為15招,求c

O

34.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知/=《，△4BC的面積為忍鼻，b=2,求a.

62

35.記△ABC的內(nèi)角。的對邊分別為a,b,c,已知B=2A,當a=4,b=6時，求△ABC的面積S.

36.(2024屆?廣東省六校第二次聯(lián)考)已知△ABC中角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinC=^-,a=b

o

+2,c=3，^,求△ABC的面積.

37.記△ABC的內(nèi)角。的對邊分別為a,b,c,已知B=2A,當a=4,b=6時，求△ABC的面積S.

類型二周長的相關(guān)計算

38.已知在△ABC中，角的對邊分別是a,b,c,且人=。,若口=乎，ZVIBC的面積為4,求△ABC的

6

周長.

39.在△48。中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且(6+c)(sinB+sinC)=asinA+36sinC.

(1)求角A的大??；(2)若a=C,且△ABC的面積為V3，求△ABC的周長.

_________0

40.（2024?新高考二卷?真題）記△4BC的內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知sinA+V3cos/1=2.

（1）求4（2）若a=2,V2bsinC=csin2_B，求△ABC的周長.

41./\ABC的角48,C的對邊分別^Ja,b,c,AB-AC=-的面積為2,若a=,求ZVIBC的周

長.

42.在△ABC中，已知丞5?存=4,a=5,NR4C=60°,則△ABC周長為.

43.在△ABC中，ABC所對的邊為a,b,c,A=y,a=2,B=?求△ABC的周長.

44.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且（b+c）（sin8+sinC）=asinA+36sinC.

（1）求角A的大?。唬?）若a=前，且△ABC的面積為瓜，求4ABC的周長.

【題型41倍角關(guān)系

/核心?技巧/

1、二倍角公式：sin2A=2sinAcosA,cos2A=2cos2A—1=1—2sin2A=cos%—sin2A

ca缶4m2c1+cosC?2C1—cosC

2、擴角降，：cos—=-----------.,sm—=------------

忘記了可以用二倍角公式推導：記，="則cosC=cos2t=2cos之力—1=1—2sin2i

故cos2t=2cos%—Incos2t=,cos2t=1—2sin2tnsin2t=――苧、"

3、倍角關(guān)系證明的方法技巧

解三角形中的關(guān)系，主要涉及到正弦、余弦等三角函數(shù)的倍角公式。這些公式允許我們通過已知的一個甬的大

小，來求解其兩倍角的大小所對應的三角函數(shù)值，從而在解三角形問題時提供更多的信息和靈活性。

4、圖形中出行二傳角條件時可以考點構(gòu)造等展三角形

類型一倍角關(guān)系的證明和應用

45.（黃岡中學?三模）在銳角△ABC中，內(nèi)角ABC所對的邊分別為a,b,c,滿足里一1=迎上空運

smCsinB

且求證：B=2C.

46.在△ABC中，角的對邊分別為a、b、c,若A=2B,求證：c?—〃=bc；

47.（2024.吉林長春模擬預測）ZVIBC的內(nèi)角4B、。所對的邊分別為a,b,c,a=V3,b=1,A=2B,則c=

（）

A.2B.V3C.V2D.1

48.（2024?全國?模擬預測）在4ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c（a,b,c互不相等），且滿足bcosC

=（2b—c）cos_B,求證：A=2B；

49.在△ABC中，內(nèi)角4,8,。所對的邊分別為a,b,c,且b=4.若/=2B,且△ABC的邊長均為正整數(shù)，

求a.

________________________________

50.（2024.全國.模擬預測）在△ABC中，角4B,。的對邊分別為Q,b,c（a,b,c互不相等），且滿足bcos。

=（2b—c）cosB.

（1）求證：A—2B；

（2）若c=V2a,求cosB.

51.已知Q,b,c分別是△48。的角4,8,。的對邊，ftsinB—asinA=sinC(2bcos2B—c).

(1)求證：A=2B；

⑵求q的取值范圍.

a

類型二擴角降塞

52.（2023?重慶八中二模）記AABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,已知QCOS?考■+ccos??=，證

明：sinA+sin。=2sinB

53.在AABC中，內(nèi)角_A,8,。所對的邊分別Q,b,c,且(^acos2-^-+ccos2j^)(a+c—b)—日QC,求角B的

大小;

類型三圖形中二倍角的處理

54.（廣東省六校2024屆第一次聯(lián)考）在"BC中，AB=4,。為AB中點，CD=。，NBAC=2NACD,求

AC的長.

55.（2024屆?江蘇揚州?高三統(tǒng)考）在△ABC中，且邊上的中線AD長為1.

（1）若BC=2AB,求AABC的面積；（2）若ZABC=2ZDAC,^BC的長.

【題型5】角平分線相關(guān)計算

核心?技巧

△ABC中，AD平分ABAC.

A

策略一：角平分線定理：t1=巖

證法1（等面積法）會里=BDMiAB^AB=BD

^ACD

CD,hiAC-h-2'ACCD

注：期為A到3。的距離，h2為D到ABAC的距離.

證法2（正弦定理）

如圖，懸=缶，缶中二,而sinZl=sinZ2,sinZ3=sinZ4

smZ2

整理得筆=BD

A。CD

策喀二:利用兩個小三角形面積和等于大三角形面積處理

11A1A

SLABC—S^ABD+^LADC=5xABxACxsinA=xABxADxsin—+--xABxADxsin—,

JU喀三：角互補:

/ABD+Z.ADC=兀=>cosZ.ABD+cosZ.ADC=0,

2TB2

在/\ABD中，cosZ.ABD—

2DAxDB

在/\ADC中，cos/ADC=

~2DAxDC~:

56.（2024?遼寧丹東?二模）在△ABC中，點。在BC邊上，入。平分NH4C,NR4C=120°,AB=2V3,AD

=用,則/。=（）

A.2B.V3C.3D.2V3

57.已知△48。中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,（^=3/+c?,且sinC=2sinB

（1）求角人的大??；

⑵若b+c=6,點。在邊BC上，且AD平分/R4C,求AD的長度.

58.（2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題?T16角平分線相關(guān)計算）在△4BC中，乙BAC=60°,4B=2,3。

=V6,NR4C的角平分線交于。，則4D=.

59.（2024.廈門第四次質(zhì)檢）記△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,已知8=等，若b=。，c=2a,

o

D是AC上一點,BD為角B的平分線,求BD.

60.已知△ABC的角4B,。的對邊分別為a,b,以且A=磊兀，若4D平分/BAC交線段8C于點。，且

O

AD=1,=2CD,求△ABC的周長.

61.在△4BC中，內(nèi)角C的對邊分別為a,b,c,a=32，A=多作角人的平分線與交于點。,

O

且4D=*,求b+c.

62.（2024屆.云南省昆明市五華區(qū)高三上期中）的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,平分/R4C且

交BC于點、D.已知4D=1,A4CD的面積為1,若。0=28。,求1211/氏4。.

8

【題型6】中線相關(guān)計算

人心?技巧

如圖，4ABe中，人。為BC的中線，已知AB,AC,及/A,求中線AD長.

策喀一:如圖，倍長中線構(gòu)造全等，再用余弦定理即可

第喀二:向量法，AD=y(AB+AC),等式兩邊再進行平方

第喀三：兩次余弦定理，鄰補角余弦值為相反數(shù)，即cosZADB+cosAADC=0

補充：若或?qū)l件“AD為的中線”換為“黑=/T也適用，此時需要倍長等分線構(gòu)造相似

__.__.__.__.—?_.一?,—,—,-—*—**-*,——,-

63.在△ABC中，內(nèi)角4,8,。所對邊的長分別為a,b,c,且滿足4=與，a=舊，說?/=3,40是

O

△4BC的中線，求AD的長.

64.(2023年新課標全國II卷真題：已知中線長)記△ABC的內(nèi)角C的對邊分別為a,b,c,已知4ABC的

面積為血，。為8。中點，且40=1.

(1)若4LDC=知，求tanB；

O

⑵若b?+/=8,求b,c.

65.（2024?安徽滁州?三模）在△ABC中，角ABC的對邊分別為a,b,c,2bcosC-c=2a.

（1）求B的大??；（2）若a=3,且AC邊上的中線長為浮，求△ABC的面積.

66.在△48。中，內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,sinC=---,2sinA=3sin2C,

若△ABC的面積為甲，求邊上的中線①的長.

67.在△ABC中，角A,。的對邊分別為a,b,c,已知A=等，b2-a2+c2+3c=0,ZVIB。的面積為

o

芯盧，求邊BC的中線的長.

4

68.ZVLBC的內(nèi)角C的對邊分別為a,b,c,a=2,。為AB的中點，且CD=2.

⑴證明：c=2b；⑵若/436=?求448。的面積.

69.記△ABC的內(nèi)角48,C的對邊分別為a,b,c,已知B=看，若c=3a,。為AC中點，BD=,求

O

△ABC的周長.

70.ZVLBC的內(nèi)角4,8,C的對邊分別為a,b,c.已知B=奢，c=2,。為AC的中點，BD?=1_反7,求

△ABC的面積.

__________W

【題型7】南線線相關(guān)計算

［總小技151

策略一：等面積法：AD-BC=AB-AC-sinZBAC

策略二：AD=AB-sinAABD=AC-sinZAGD

策略三：a=c-COSB+b-COSC

71.（2024?山東青島?三模）設三角形ABC的內(nèi)角的對邊分別為a、b、c且sin（B+C）=2代sid'.

（1）求角/的大??；

（2）若b=3,邊上的高為?L,求三角形4BC的周長.

72.已知△AB。的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,a=6,bsin2A=4A/5sinB.

⑴若b=l,證明：C=A+^-；

（2）若BC邊上的高為丁，求△ABC的周長.

O

a2+c2-b2

73.已知△48。的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且c—gbsinA-b.

2c

⑴求4

(2)若b=[c,且BC邊上的高為，求a.

【題型8]其它中間線

74.如圖，在△ABC中，角ABC的對邊分別為a,b,c.已知A=看.若。為線段臺。延長線上一點，且

O

ACAD=^,BD=3CD,求tan乙4cB.

2021新iU考一卷T20:三等分畿相關(guān)計算

75.記△ABC是內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c.已知川=加，點。在邊AC上，RDsin/ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

（2）若AO=2OC,求cosAABC.

76.如圖，在△ABC中，若48=AC,。為邊上一點，8。=2。。，40=2,包鄉(xiāng)空■=代，則

smZAGD

77.（2024?安徽蕪湖?三模）已知a,b,c分別為ZVIBC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且bcosA+V3bsinA=a+c

⑴求B;

（2）若b=2,△ABC的面積為有，D為47邊上一點，滿足CD=2AD,求BD的長.

78.記△48。的內(nèi)角45、C的對邊分別為a、b、c,已知4=卷，點。在BC邊上，且CD=2BD,cosB=

o

，求tan/BAD.

o

79.已知△ABC的三內(nèi)角A,B,。所對邊分別是a,b,c,且滿足a=b,若點。是邊AC上一點，說=

g反5+1■說,c=66,匹|=23,求邊a的大小.

OO

80.已知△ABC的內(nèi)角對應的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為sinA=3sinB,點。在邊BC上，若

DC-DA-求cosA.

o

81.如圖，在△4BC中，若4B=AC,D為邊8c上一點，BD=2DC,AD=2,4叱^先=《，則BC=

sin/力CD

82.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角的對邊，且＜?=b2+2c2,若人=冬，a=3,芯=3前，求

O

AM■的長度.

83.在△ABC中，內(nèi)角A3,。所對的邊分別為a,b,c.已知/=看，若點。為邊8C上的一個點，且滿足

O

cosABAD=冬，求LABD與△ACD的面積之比.

5

【題型9］三角冊解的個數(shù)問題

「^心?技巧/

三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形

具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.

解三角形多解情況

在△ABC中，已知a,b和A時，解的情況如下：

眇

A為銳南A為鈍角或直角

廣cc

圖形

AB；'.-'BA'--.……-BAB

AB

關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba>ba>ba&b

解的個數(shù)一解兩解一解一解無解

84.在AABC中，c=2,acosC=csinA,若當a=g時的AABC有兩解，則x0的取值范圍是.

85.設在△ABC中，角43、C所對的邊分別為a,b,c,若滿足a=6,6=小出=?的△ABC不唯一，則

小的取值范圍為()

A.B.(O,V3)c.D.(y,l)

86.若滿足/ABC=弓,AC=3,8C=m的AABC恰有一解,則實數(shù)m的取值范圍是

O

87./XABC中，已知AABC=^-,AC=3,BC=m(m>0).

o

(1)若△ABC恰有一解，則實數(shù)小的取值范圍是；

(2)若△ABC有兩解，則實數(shù)小的取值范圍是；

(3)若△ABC無解,則實數(shù)m的取值范圍是；

88.在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若b=10,4=亭,且△ABC有唯一解，則a的取值范圍

6

是.

89.在△ABC中，已知48=/，6。=2其，若存在兩個這樣的三角形4BC,則尤的取值范圍是

90.已知A4BC的內(nèi)角48、。所對的邊分別是a,b,c,人=60°,若a=0,b=m(7n>O),當AABC有且

只有一解時，求實數(shù)小的范圍及AABC面積S的最大值.

【題型10】解三角矽的實際應用

1.心'■技151

（1）仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖

①）.

⑵方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.北偏東a,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達目標方向（如圖③）.北偏西

a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達目標方向.南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.坡度指坡面的鉛直高度與水平

長度之比（如圖④，i為坡度，i=tanf）.坡度又稱為坡比.

類型一距離問題

91.一游客在/處望見在正北方向有一塔在北偏西45°方向的。處有一寺廟，此游客騎車向西行1km后

到達。處,這時塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°,則塔8與寺廟。的距離為km.

92.（2024.陜西西安.模擬預測）在100m高的樓頂人處，測得正西方向地面上8、C兩點（8、。與樓底在同

一水平面上）的俯角分別是75°和15°,則B、。兩點之間的距離為（）.

A.200V2B.240V2C.180V3D.200V3

93.山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設計,將數(shù)學

符號“8”完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發(fā)展、無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2,為了測量科技館

最高點A與其附近一建筑物樓頂口之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°,30°,：

___________彥

隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D,此時測得點人和點B的俯角分別為45°和60°（A,B。

在同一鉛垂面內(nèi)），則A,口兩點之間的距離為米.

94.如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在力處測得燈塔底部。在北偏東15°方向上，勻速向北航行20分鐘到

達3處，此時測得燈塔底部。在北偏東60°方向上，測得塔頂尸的仰角為60°,已知燈塔高為2"km.

則巡邏船的航行速度為km/h.

類型二高度問題

95.（2024?廣東?二模）在一堂數(shù)學實踐探究課中，同學們用鏡而反射法測量學校鐘樓的高度.如圖所示，將小

鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為電

=1.00m,之后將小鏡子前移a=6.00m,重復之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為a2=0.60小，已

知人的眼睛距離地面的高度為拉=1.75m,則鐘樓的高度大約是（）

A.27.75mB.27.25mC.26.75mD.26.25m

96.如圖，某中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳人處測得山頂。處的仰角

為60°,又利用無人機在離地面高300m的M處（即=300m），觀測到山頂。處的仰角為15°,山腳A

處的俯角為45°,則山高8C=m.

c

97.中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流

芳后世.如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度VN,在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物43,高約為

37m,在地面上點。處（B,C,N三點共線）測得建筑物頂部鸛雀樓頂部河的仰角分別為30°和45°,

在A處測得樓頂部M的仰角為15°,則鸛雀樓的高度約為m.

98.中國古代數(shù)學名著《海島算經(jīng)》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊,高三丈，前

后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻

行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何？假設古代有類似的一個問題,

如圖2,要測量海島上一座山峰的高度4H■，立兩根高48丈的標桿和。E,兩竿相距80=800步，。,

B,H三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點尸，此時A,C,尸三點共線，從點D退行120

步到點G,此時A,E,G三點也共線，則山峰的高度AH=步.（古制單位:180丈=300步）

圖1圖2

解三角形十類題整樂總

近4年考情(2021-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年/卷第15題，13分

年〃卷第題，分高考對本節(jié)的考查不會有大的

20241513(1)正弦定理、余弦定理及其變形

變化，仍將以考查正余弦定理的

2024年甲卷第11題，5分

基本使用、面積公式的應用為(2)三角形的面積公式并能應用

2023年/卷〃卷第17題，10分主.從近五年的全國卷的考查

2023年甲卷第16題，5分情況來看，本節(jié)是高考的熱點，(3)實際應用

主要以考查正余弦定理的應用

2023年乙卷第18題，12分(4)三角恒等變換

和面積公式為主.

2022年/卷〃卷第18題，12分

2021年/卷〃卷第20題，12分

熱點題型解讀

【題型1】拆角與湊角

類型一出現(xiàn)了3個角(拆身)

類型二湊角

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角

類型四通過誘導公式統(tǒng)一函數(shù)名

【題型2】利用余弦定理化簡等式

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方

類型二出現(xiàn)角的余弦(正弦走不通)

【題型3】周長與面積相關(guān)計算

類型一面積相關(guān)計算

類型二周長的相關(guān)計算

【題型4】倍角關(guān)系

類型一倍角關(guān)系的證明和應用

類型二擴角降賽

類型三圖形中二倍角的處理

【題型5】角平分線相關(guān)計算

【題型6】中線相關(guān)計算

【題型7】高線線相關(guān)計算

【題型8】其它中間線

【題型9】三角形解的個數(shù)問題

【題型10】解三角形的實際應用

類型一距離問題

類型二高度問題

題型分類解析

【題型1】拆角與湊角

逢心?技巧

⑴正弦定理的應用

①邊化角，角化邊a:b:c=sinA:sinB:sinC7

②大邊對大角大角對大邊

sinA>sinBu>cosA<cosB

③八分匕匕.a+b+c_a+b_b+c_a+c_Q_b_c

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC內(nèi)角和定理(結(jié)合誘導公式)：A+R+。=兀

①sinC=sin(A+R)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②一cos。=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB;

③斜三角形中，—tan。=tan(A+B)=一3"人士=tanA+tanB+tan(7=tanA?tanB?tanC

1—tanA-tanB

公.(A-\-B\C(A-\rB\.C

⑷sin(---)=cos—;cos(---)=sm—

類型一出現(xiàn)了3個角（拆角）

1.在△48。中，勺①=當咚，求A的值

73acosA

【答案畤

【詳解】因為2b—*cos。，所以由正弦定理可得2sinB—V^sinC=cos。

V3acosAV3sinAcosA

2sinBcosA=V3sinAcosC+V3sinCcosA=V3sin(A+C)=V3sinB

因為sinBW0,所以cosA=，因為AG(0,兀)，所以A=看.

2./\ABC的內(nèi)角AB,。的對邊分別為Q,b,c,且b=2csin（A+專）,求。.

【答嗚j

解：因為b=2csin（A+.,在△AB。中，由正弦定理得，

_________F

sinB=2sinCsin(A+寺)，又因為sinB=sin(兀-A—C)=sin(A+C),

所以sin(A+C)=2sinCsin(4+專)，

展開得sinAcosCH-cosAsinC=2sinC^-^-sin>l+-^-cosA^

sinAcosC—V^sinCsinA=0

因為sin_AWO,故cosC=，^sinO,tanC=

o

又因為ce(o,兀)，所以。=告

o

3.(湛江一模)在AABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知卷=2cos(y-C),

求4

【答案】A=?

6

【詳解】2cos(卷—。)=2cos看cosC+2sin^-sinC=cosC+V3sinC,

所以2=cosC+sinC,故b=V3asinC+acosC.

a

由正弦定理得sinB=V3sinAsinC+sinAcosC,又_8=兀一(A+C),

所以sinB=sin[7L—(A+C)]=sin(A+C)=V3sinAsinC+sinAcosC,

故sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+V3sinAsinC,

Ce(0,7L),sinCW0,所以cosA=A/3sin?l,即tanA=,AE(0,兀)，故A=二.

3o

類型二湊角

4.在△48。中，角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,已知2QcosA,cos_B+bcos224=，^c—b,求角A

【答案】(1)A=?

6

【詳解】因為2acosA-cosB+bcos2A=V3c—b,

所以2acosAcosB+b(cos2A+1)=V3c,

即2QCOS24cos_B+