湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高一期中考試高一數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：應(yīng)城一中命題教師：謝青年華瑛肖潤秀審題學(xué)校：大悟一中考試時間：2024年11月18日下午15：00-17：00試卷滿分：150分注意事項1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列關(guān)系中，正確的個數(shù)為（）①；②；③；④；⑤；⑥.A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)元素和集合的關(guān)系進行判斷，得到答案.【詳解】，①正確；，②正確；為元素，為集合，兩者不能用等號連接，應(yīng)，③錯誤；，④錯誤；，⑤錯誤；，⑥正確.故選：A2.已知集合，，則為（）A.， B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程組，由集合交集的定義可得集合.【詳解】因為集合，，解方程組，得，因此，.故選：D.3.下列含有量詞的命題中為真命題的是（）A.任意實數(shù)的平方都大于0B.，C.存在整數(shù)，使得D.，一元二次方程有實根【答案】B【解析】【分析】AB選項可舉出反例；C選項，均為整數(shù)，則為整數(shù)，故不存在整數(shù)，使得，C錯誤；D選項，由根的判別式進行判斷.【詳解】A選項，0的平方等于0，A錯誤；B選項，當時，，滿足要求，B正確；C選項，，均為整數(shù)，則為整數(shù)，故不存在整數(shù)，使得，C錯誤；D選項，當時，，此時一元二次方程無實根，D錯誤.故選：B4.已知、、，則下列結(jié)論中正確的有（）A.若且，則B若，則C若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】利用作差法可判斷ABC選項；利用特殊值法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若且，則，可得，A錯；對于B選項，因為，則，，，則，即，B對；對于C選項，因為，則，則，即，C錯；對于D選項，因為，當時，，D錯.故選：B.5.已知函數(shù)是定義域在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，，得到時，，當時，，分和兩種情況，求出不等式解集.【詳解】因為是定義域在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，故當時，，當時，，，當時，，故，當時，，，故不等式的解集為.故選：D6.古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當天平平衡時，左臂長與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臂長與右盤物品質(zhì)量的乘積，一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，其中左臂長和右臂長之比為，一位顧客到店里購買克黃金，售貨員先將克砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將克砝碼放在天平右盤中，然后取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將兩次稱得的黃金交給顧客，則顧客購得的黃金重量（）A.大于克B.小于克C.等于克D.當時，大于克；當時，小于克【答案】A【解析】【分析】設(shè)第一次取出的黃金質(zhì)量為克，第二次黃金質(zhì)量為克，根據(jù)題意得出、關(guān)于的關(guān)系式，利用基本不等式比較與的大小，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)第一次取出的黃金質(zhì)量為克，第二次黃金質(zhì)量為克，由題意可得，，可得，易知且，所以，，當且僅當時，等號成立，事實上，，等號不成立，則.因此，顧客購得的黃金重量大于克.故選：A7.函數(shù)在數(shù)學(xué)上稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，其中表示不大于的最大整數(shù)，如，，，與函數(shù)的交點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)個【答案】A【解析】【分析】畫出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到交點個數(shù).【詳解】畫出與的兩函數(shù)圖象，如下：可以看出兩函數(shù)圖象無交點，故交點個數(shù)為0.故選：A8.已知集合，若，且同時滿足：①若，則；②若，則.則集合的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，、不同在集合或中，、不同在集合或中，而、無限制，列舉出滿足條件的集合，即可得解.【詳解】因為，，由題意可知，若，則，若，則，若，則，若，則，、沒有限制，綜上所述，滿足條件的集合可為：、、、、、、、、、、、、、、、，共個，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵在于分析出元素與集合的關(guān)系，然后利用列舉法求解.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)在定義域內(nèi)對任意的、，都有的函數(shù)是（）A. B.C. D.，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件逐項驗證即可.【詳解】對于A選項，函數(shù)的定義域為R，對任意的、，，A選項中的函數(shù)滿足條件；對于B選項，函數(shù)的定義域為R，對任意的、，，所以，，B選項中的函數(shù)滿足條件；對于C選項，函數(shù)的定義域為，則，因為，則，C選項中的函數(shù)不滿足條件；對于D選項，對于函數(shù)，x∈0,+∞任取、，則，所以，，所以，，D選項中的函數(shù)滿足條件.故選：ABD.10.定義運算，設(shè)函數(shù)，則下列命題正確的有（）A.的定義域為B.的值域為C.的單調(diào)遞減區(qū)間為D.不等式的解集為或【答案】ACD【解析】【分析】化簡函數(shù)的解析式，作出該函數(shù)的圖象，可判斷ABC選項；分或、兩種情況解不等式，可判斷D選項.【詳解】由得，解得或，由得，解得.所以，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：對于A選項，易知函數(shù)的定義域為R，A對；對于B選項，由圖可知，的值域為，B錯；對于C選項，由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，C對；對于D選項，當或時，由，可得，解得或，此時，或，當時，，此時，不等式無解.綜上所述，不等式的解集為或，D對.故選：ACD.11.已知，若正實數(shù)、滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，結(jié)合已知條件求出，利用基本不等式逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，，即函數(shù)為奇函數(shù)，且，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由得，所以，，即，且、都為正數(shù)，對于A選項，由基本不等式可得，得，即，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最大值為，A錯；對于B選項，因為，則，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為，B對；對于C選項，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，但為正數(shù)，故等號不成立，即，C錯；對于D選項，因為，則，即，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為，D對.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則集合的真子集的個數(shù)是______.【答案】【解析】【分析】利用列舉法表示集合，確定集合的元素個數(shù)，即可得出集合的真子集的個數(shù).【詳解】當時，，則，若使得，則，所以，即集合的元素個數(shù)為，因此集合的真子集個數(shù)為.故答案為：.13.學(xué)校舉辦運動會時，高一（1）班共有名同學(xué)參加比賽，有人參加游泳比賽，有人參加田徑比賽，有人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有人，同時參加田徑比賽和球類比賽的有人，沒有人同時參加三項比賽.同時參加游泳和球類比賽的有______人.【答案】【解析】【分析】設(shè)高一（1）班參加游泳、田徑、球類比賽的學(xué)生分別構(gòu)成集合、、，設(shè)同時參加游泳和球類比賽的學(xué)生人數(shù)為人，作出韋恩圖，根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程，解出的值即可.【詳解】設(shè)高一（1）班參加游泳、田徑、球類比賽的學(xué)生分別構(gòu)成集合、、，設(shè)同時參加游泳和球類比賽的學(xué)生人數(shù)為人，由題意作出如下韋恩圖，由題意可得，解得.因此，同時參加游泳和球類比賽的有人.故答案為：.14.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，求出方程的解，由已知可得出，對實數(shù)的取值進行分類討論，確定滿足不等式的整數(shù)解，結(jié)合圖象可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：當時，，當時，由，即，解得或（舍），由可得，若，則有，且，若使得滿足不等式恰有一個整數(shù)解，則該整數(shù)解為，則，即；若，則，無解；若，則有，由圖可知，則滿足不等式的整數(shù)解為，所以，，即.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）當時，求，；（2）若“”是“”成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）當時，寫出集合，利用并集和交集的定義可得出集合，；（2）根據(jù)題意可知,分析可知，，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，再對的取值范圍的端點值進行檢驗即可得解.【小問1詳解】當時，，又因為，則，.【小問2詳解】因為“”是“”成立的充分不必要條件，則,因為，則，則，由題意可得，解得，檢驗：當時，，合乎題意，當時，，合乎題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.16.定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足對任意，均有，且.（1）求的值，判斷并證明的奇偶性；（2）判斷函數(shù)單調(diào)性，求在區(qū)間上的最小值.【答案】（1），為奇函數(shù)，理由見解析（2）單調(diào)遞增，理由見解析，最小值為.【解析】【分析】（1）令得，令得，得到函數(shù)的奇偶性；（2）根據(jù)得到單調(diào)遞增，的最小值為，賦值法得到答案.【小問1詳解】中，令得，，解得，中，令得，且fx的定義域為R，故為奇函數(shù)；【小問2詳解】，為單調(diào)函數(shù)，故只能單調(diào)遞增，在區(qū)間上的最小值為，中，令得，故，令得，令得，故在區(qū)間上的最小值為.17.如圖，某學(xué)校為慶祝70周年校慶，準備建造一個八邊形的中心廣場，廣場的主要造型是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為的十字形地域.計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為2900元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地面，造價為350元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為80元.設(shè)總造價為（單位：元），AD長為（單位：）.（1）當時，求草坪面積；（2）當為何值時，最小?并求出這個最小值.【答案】（1）（2）故m時，最小，最小值為65000元.【解析】【分析】（1）求出等腰直角三角形的直角邊長為m，得到草坪面積；（2）表達出，利用基本不等式求出最小值及m.【小問1詳解】四個直角三角形均為等腰直角三角形，直角邊長為，當時，m，故草坪面積為；【小問2詳解】花壇的造價為元，四個相同的矩形總造價為元，四個直角三角形為等腰直角三角形，直角邊長為，故草坪的總造價為元，故元，當且僅當，即時，等號成立，故時，最小，最小值為65000元.18.已知函數(shù)，.（1）若，當時，求的最小值；（2）關(guān)于的不等式對一切實數(shù)恒成立，求的取值范圍；（3）當時，已知，，若，求的取值范圍.【答案】（1）3（2）（3）【解析】【分析】（1）換元后得到，，由基本不等式得到最小值；（2），分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出；（3）開口向下，要想，數(shù)形結(jié)合得到不等式，求出答案.【小問1詳解】時，，，令，則，，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立.【小問2詳解】，即，當時，，滿足要求，當時，需滿足，解得，故的取值范圍是；【小問3詳解】，開口向下，，要想，需滿足，結(jié)合，解得，的取值范圍是.19.教材87頁第13題有以下閱讀材料：我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知.（1）利用上述材料，求函數(shù)圖象對稱中心；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).類比推理的單調(diào)性（不需要證明）；附立方差公式：.（3）也有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：若函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，則，請根據(jù)該結(jié)論求不等式的解集.【答案】（1）（2）證明見解析，在上是增函數(shù)（3）【解析】【分析】（1）設(shè)函數(shù)圖象的對稱中心為，根據(jù)題中定義可得出，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出函數(shù)圖象的對稱中心坐標；（2）任取、且，作差，因式分解后判斷的符號，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；然后類比函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)的單調(diào)性；（3）由已知可得出，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【小問1詳解】設(shè)函數(shù)圖象的對稱中心為，則函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，即，因為，所以，，解得，所以，函數(shù)圖象的對稱中心為.【小問2詳解】任取、且，則，若，則