新高考新結(jié)構(gòu)命題下的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第17講新高考新結(jié)構(gòu)

命題下的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練

(11類核心考點(diǎn)精練)

12.考情探究?

在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一

場(chǎng)考試形式的變革，更是對(duì)教育模式和教育理念的全面革新。

當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)

量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

(1)三考

題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識(shí)主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)

際水平。

(2)三重

強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)

特見(jiàn)解和創(chuàng)造力。

(3)三突出

試題特別突出對(duì)學(xué)生思維過(guò)程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思

考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。

面對(duì)新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無(wú)法提前預(yù)知。導(dǎo)數(shù)版塊作

為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對(duì)較為適中，

易于學(xué)生入手。然而，同樣不能忽視的是，導(dǎo)數(shù)版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸題中，此時(shí)的分

值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。

面對(duì)如此多變的命題趨勢(shì)，教師在教學(xué)備考過(guò)程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能

涉及的知識(shí)點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對(duì)，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新

結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的導(dǎo)數(shù)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練指南,

以期在新高考中取得更好的成績(jī)。

考點(diǎn)一、利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)的單調(diào)性

1.（2024?湖南邵陽(yáng)?三模）已知函數(shù)

⑴求函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)g（x）=〃x）-M丘R）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求后的取值范圍.

【答案】⑴（0,2）

⑵左Ji,]

【分析】（1）利用求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值大于0來(lái)求單調(diào)遞增區(qū)間即可;

（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和取值情況，分析可得上的取值范圍.

【詳解】([)由/仁)=一；/+/+1,得/，3=*+2%,

令/(x)>0,得*+2x>0,解得0<x<2.

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)

(2)令/(x)=0,解得x=0或x=2.

當(dāng)x變化時(shí),/'(X),〃x)的變化情況如下表所示：

X(-8,0)0(0,2)2(2,+8)

/'(X)-0+0-

7

/(X)單調(diào)遞減1單調(diào)遞增單調(diào)遞減

3

由函數(shù)g(x)=/(x)-上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，

得方程/(X)=左(左eR)有且僅有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

所以函數(shù)>=/(x)的圖象與直線>=左有且僅有三個(gè)交點(diǎn).

顯然，當(dāng)X-—8時(shí)，/(x)f+8;當(dāng)Xf+8時(shí)，/(x)^-OO.

7

所以由上表可知，〃x)的極小值為〃0)=1,“X)的極大值為"2)=(,

故此。3

2.(2024?浙江?三模)已知函數(shù)/(x)=e::L

⑴求函數(shù)〃X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線與二次曲線>=ax2+(2a+5)x-2只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】⑴單調(diào)增區(qū)間：(7,2),單調(diào)減區(qū)間:(2,+co).

(2)。=一'或一

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)首先求出函數(shù)的切線方程，與曲線聯(lián)立方程，分析△得出結(jié)論.

【詳解】(1)易知/(x)定義域?yàn)镽,y'(司=7，

所以xe(-8,2),/'(x)>0,xe(2,+oo),fr(x)<0.

故〃x)單調(diào)增區(qū)間：(-叫2),單調(diào)減區(qū)間：(2,+8).

(2)因?yàn)閒'(O)=2,/(O)=O,

所以曲線V=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線為y=2x

把切線方程V=2x代入二次曲線方程了=。/+(2。+5卜-2,得。苫2+(2。+3卜-2=0有唯一解,

即△=(2a+3)~+8a=0且a*0,即4a2+20a+9=0

19

解得或

3.(2024?湖南邵陽(yáng)三模)已知函數(shù)/(x)=21x+a.eR)

⑴若a=2,求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若對(duì)Vxw(0,+co),〃x)Wxe*恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

【答案】的單調(diào)遞增區(qū)間為(。,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8)

(2)(-00』

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)分析可知原題意等價(jià)于對(duì)Vxe(0,+co),aW/eX-21nx-x恒成立，構(gòu)建g(x)=/e*-21nx-x,尤>0,

利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解.

【詳解】(1)若a=2,則/5卜21n匕—的定義域?yàn)?O,+e),

X

x—F1|一(21nx+x+2)

且廣⑺一21nx,

令/''(x)>0,解得0<x<l；令/'(x)<0,解得x>l：

所以〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為0,+8).

(2)因?yàn)椤▁)=211n丁+「4泥"則q<fe=21nx-x,

所以原題意等價(jià)于對(duì)Vxe(O,+8),°=苫2/-21皿7恒成立，

構(gòu)建g(x)=x2ex-21nx-x,x>0,

貝I]g，(x)=卜2+2x)e"二一1=x(x+2)[e"_《)，

i7

令Mx)=e'-下,x>0,貝11/(0=1+二>0對(duì)Vxw(O,+8)恒成立,

可知“X)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且訪［卜五一4<0〃(l)=e-l>0,

可知力(X)在(0,+8)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)/e,

當(dāng)O<x<Xo時(shí)，/z(x)<0,即g'(x)<0；

當(dāng)X>/時(shí)，A(x)>0,即g[x)>0；

可知g(x)在(0,%)內(nèi)單調(diào)遞減，在(％,+⑹內(nèi)單調(diào)遞增，

則g(x"g(X。)=-2InX。-X。=x；e%-Inx；e",

且"XoAe飛一1^。，可得需e'0=l,

則g(x)Ng(x())=lTnl=l,可得aMl,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-85.

4.(2024?陜西渭南?二模)已知函數(shù)〃x)=xlnx,g(x)=^^-x+-.

XX

⑴求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)x>0時(shí)，mx2-e'V科/'(x)恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴遞減區(qū)間為(0,+⑹，無(wú)遞增區(qū)間；

(2)(-0>,e].

【分析】(1)求出函數(shù)g(x),再利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)等價(jià)變形給定不等式得加(x-lnx)Ve-,令f=x-lnx并求出值域，再換元并分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求

出函數(shù)的最小值即得.

【詳解】(1)依題意，函數(shù)g(x)=21nx-x+，的定義域?yàn)?0,+co),

X

711

求導(dǎo)得g'(x)=——l--=-(——1)240,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，

XXX

即g(x)在(0,+co)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間為(0,+8),無(wú)遞增區(qū)間.

(2)當(dāng)%>0時(shí)，加--e"(堂0加/一/4加x]nx=加(x-lnx)<J=e>1nx恒成立，

x

令7z(x)=x—lnx,x>0,求導(dǎo)得=l一L,

x

當(dāng)Ovxvl時(shí),h\x)<0,當(dāng)尤>1時(shí),h\x)>0,

即函數(shù)力(X)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增,則當(dāng)x>0時(shí)，A(x)>A(l)=l,

令E=x-lnx,依題意，V/e[l,+oo),加<e'<=>加V—恒成立，

令叭t)=.g,求導(dǎo)得“⑺=交尸20,則函數(shù)。⑺在口,+到上單調(diào)遞增，

當(dāng)f=l時(shí),0(%=。(1)=e,因此加We,

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍(-叫e].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單

調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.(2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=(辦+l)lnx-ax+2111a.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，討論〃x)的單調(diào)性；

(2)〃x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

【答案】⑴/(x)在(0,+⑹上單調(diào)遞增；

⑵(0，e]

【分析】(1)求導(dǎo)之后再對(duì)g(x)=2xlnx+l分析即可得到單調(diào)性；

(2)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增得廣(乃上0,然后轉(zhuǎn)化為〃(x)="lnx+lW0,即力(初向20.

【詳解】(1)當(dāng)。=2時(shí)，/(x)=(2x+l)lnx-2x+21n2,f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

??/(無(wú))=2Inx+在立■-2=辿五!，

XX

令g(x)=2xInx+1,貝ljg'(x)=2Inx+2=2(lnx+1),

令g'(x)=。，即lnx+l=0=>x='，

e

當(dāng)0<x<'時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>L時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

ee

=gQ^=l-|>0，.?./'*)>0在(0,+<?)上成立，

,?J(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)???/(刈在(0,+8)上單調(diào)遞增，二小”0,xe(0,+8)恒成立,

〃,/、iax+1axlnx+1、八小、―――

f(x)=67InxH----------a=------------->0,%￡(0,+8)怛成山

xx

即辦lnx+120,%￡(0,+°0)恒成立.

令h(x)=ax]nx+l,貝ljh\x)=Q(1+Inx).

?.,Q>0,當(dāng)0<x<1時(shí)，h\x)<0,力(x)單調(diào)遞減；

e

當(dāng)時(shí)，h'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增；

e

??.奴X)取得最小值d=l

-t*1—>0,0<a?e.

e

???實(shí)數(shù)。的取值范圍為（0,4

6.（2024?廣東佛山?二模）已知/（x）=-ge2￡+4e"-ax-5.

⑴當(dāng)"3時(shí)，求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若/（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)X],x2,證明：/（再）+/@2）+網(wǎng)+Z<0.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得原函數(shù)的單調(diào)性；

（2）借助換元法，令七e，,%=戶，右=小，可得％、馬是方程4f+a=0的兩個(gè)正根，借助韋達(dá)定理

可得:+馬=4,區(qū)=。，即可用％、，2表示“』）+〃々）+玉+工2,進(jìn)而用。表示/（為）+/（%2）+為+%,構(gòu)

造相關(guān)函數(shù)后借助導(dǎo)數(shù)研究其最大值即可得.

【詳解】（1）當(dāng)。=3時(shí)，/（x）=-1e2x+4eJ-3x-5,

/,（x）=-e2Y+4er-3=-（eI-l）（ev-3）,

則當(dāng)e"￡（0,1）u（3,+a）,即x￡（-。,0）u（In3,+。）時(shí)，/r（x）<0,

當(dāng)e“￡（,3）,即x￡（0,ln3）時(shí)，/'（x）>0,

故/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-。⑼、（ln3,+。），單調(diào)遞增區(qū)間為（0,ln3）；

（2）/，（%）=—e2x+4er—a,令/=e",即/'（%）=-t?+4%—〃,

X2

令％=爐,t2=ef則小L是方程4/+a=0的兩個(gè)正根，

貝ljA=（-4）2-4。=16—4。>0,即av4,

有4+才2=4,t[t2=a>0,即0<a<4,

貝（Jf（/）+/（工2）+玉+12~—e?”"+4eX|—QX1—5——e"+4eV2_cix2_5+X1+/

——5（'；+'；）+4（4+,2）-（Q-1）（In:+lnq）-10

=—/[（，i+，2）—2%I,2]+4（4+*2）—（"-l）lnt^2—10

=-^（16-2?）+16-（6r-l）ln?-10

=a-（Q-l）lnQ-2,

要證/(再)+/(x2)+Xj+x2<0,即證Q_(〃_l)lnQ_2<0(0<Q<4),

令g(x)=^-(x-l)lnx-2(0<x<4),

則g，(x)=l-^lnx+――=--Inx,

令〃(x)=，-lnx(0<%<4),貝V(x)=--y-—<0,

則g'(%)在(0,4)上單調(diào)遞減,

又g<l)=；-lnl=l,g<2)=；一ln2<0,

故存在%￡(1,2),使g'(x())=Inx0=0,即——Inx0,

%o%

則當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，g'(x)>0,當(dāng)xe(xo,4)時(shí)，g'(x)<0,

故g(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，g(x)在(％,4)上單調(diào)遞減，

貝ljg(x)g(x0)=x0-(x0-l)lnx0-2=x0-(x0-l)x2=x0+--3,

xoxo

又x°e(l,2),則故g(x0)=%+'-3<0,

即g(x)<。，即/'(七)+/(%)+玉+/<0.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助換元法，令/=6*，4=ew,/2=e”,從而可結(jié)合韋達(dá)定理得％、

的關(guān)系，即可用。表示/(再)+/(無(wú)2)+再+%,構(gòu)造相關(guān)函數(shù)后借助導(dǎo)數(shù)研究其最大值即可得.

7.(2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/■(x)=(x-2e2)lnx-ox-2e2(aeR).

⑴若a=l,討論〃x)的單調(diào)性；

(2)己知存在使得/仁”/(*在(0,+8)上恒成立，若方程/(*=-盧-2e2gl有解，求實(shí)數(shù)上

的取值范圍.

【答案】(1)/3在(0,門上單調(diào)遞減，在份,+動(dòng)上單調(diào)遞增；

吁:；

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，令g(x)=/'(x),判斷g(x)的單調(diào)性，即可得到了'(X)的取值情

況，從而得到/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得了'(%)=0,即可得到

22

/(x0)=-2elru0-x0,&/l(x)=-2elru-x,依題意可得“無(wú)。)=〃(盧)有解，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明“叼的單調(diào)性,

即可得到毛=盧，從而得到左號(hào)，再令加(x)=*l<x<e2),利用導(dǎo)數(shù)求出加(x)的單調(diào)性，即可求出

函數(shù)的極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，從而求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)0=1時(shí)，/(x)=(x-2ez)lnx-x-2e2,所以/1x)=-至-+lnx,

設(shè)g(x)=/，(x)=-2『+lnx,因?yàn)?gt;=-7、>=隈都在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)在(0,+0上單調(diào)遞增，且g@)=0,

所以xe(0壯)時(shí)，g(x)<0/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

xe(e2,+oo)時(shí),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以/(x)在(0,e?)上單調(diào)遞減，在H,+動(dòng)上單調(diào)遞增.

(2)由/(x)=-2e2)lux--2e2,xG(0,+oo),

?e2

得=----blnx+l-a,

因?yàn)閥=-至、歹=用都在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，所以/'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

X

已知存在x°e(l,e2),使得〃耳之/伍)在(0,+s)上恒成立，所以〃x。)是的最小值，所以/'(%)=0,

2e22e2

即/'(x())=-----Flux。+1—Q=0,所以Q=kiX0+]-----,

%與

所以/(%)=(%-2e2)叫-啄-2e2

(2Q2\

二(%-2e2)IHXQ_IIHXQ+1------------XQ—2e2=—2C21HXQ-x。，

=-2e2lnx-x,

由方程/(%)=-盧—2e2fofo有解，得一2匕21叫一%=—e"?！?e2g)有解，

即〃(%)=〃(叫有解，

因?yàn)椤?=-至-1<0在(0,+")上恒成立，所以“(X)在(0,+。)上單調(diào)遞減，

所以修=/。，貝匹=牛，

%0

設(shè)加(X)=^(l<X<e2),貝1]加'(％)=^^,

XX

所以工￡(l,e)時(shí)，W(x)>0,加(%)單調(diào)遞增，X￡(e,e2)時(shí)，m"(x)<0,m(x)單調(diào)遞減，

又加⑴=0,加(6)=-,加仁2)=下，

所以0〈左vL即左的取值范圍是(0」.

eIe」

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁?/p>

不等式恒成立問(wèn)題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.

8.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=e2;@F+?(weR).

⑴若7"=2e2,求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃7=0,/(X)的最小值為/(%0),求證：4<"。)<6.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8)

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)85)=2苫202，+11?-2€2的單調(diào)性以及86=0,即可求解導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而可求解

〃x)的單調(diào)性，

(2)構(gòu)造函數(shù)〃(x)=e，-x-l,求導(dǎo)證明e*2x+l,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.即可根據(jù)

e2^>2x+lnx+l,求解〃x)的最小值為2,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，即可求解.

【詳解】(1)由題知，f(x)的定義域?yàn)?0,+").

c2n?z./\2x+12e~

、加=2e~時(shí)，f(x)=e2x------+—,

2e22x2e2x+Inx—2e2

所以八力=2/+學(xué)-

設(shè)g(x)=2x4,+liu-2e2,易知g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

又g(l)=0,故當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g(x)<0,即/'(x)<0,當(dāng)xe(l,+”)時(shí)，g(x)>0,即/

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+“).

(2)當(dāng)機(jī)=0時(shí)，/a)=e"-==—e^-inx-l

XXX

設(shè)4(%)=e*-x-1,貝ij=e"-1,

當(dāng)x<0時(shí)，"(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，

所以“X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增,

故力(“2M0)=0,所以e，1+l,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

e2x+lm-Inx-1>2x+Inx+1-Inx-1

所以/'(x)==2,

XX

當(dāng)且僅當(dāng)2x+lnx=0時(shí)等號(hào)成立，

故/(%)的最小值〃/)=2,且2%+1啄=0.

記0(x)=2x+hu,

易知夕(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,則X。是夕(X)的唯一零點(diǎn).

因?yàn)?出=1_1112>0,??Q^=|-ln3<0,

所以:</<:?所以4<小]<6.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的

新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮

法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.

9.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=“(e*+si問(wèn)-x-1.

⑴當(dāng)時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)4=1時(shí)，判斷〃X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】⑴減區(qū)間為(-8,0),增區(qū)間為(0,+8);

(2)2個(gè).

【分析】(1)求導(dǎo)，當(dāng)x<0時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和余弦函數(shù)有界性可判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，當(dāng)x>0時(shí)，利用二

次導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，然后可得導(dǎo)函數(shù)符號(hào)；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷了(x)的單調(diào)性，當(dāng)XV-兀時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和正弦函數(shù)有界性可

判斷函數(shù)值符號(hào)，當(dāng)-n<x<0時(shí)，記〃(x)=e'-x-l,利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象，根據(jù)〃(於與〉=-5也X的圖象

交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷即可.

【詳解】(1)當(dāng)a=g時(shí)，/@)=，/+$加)一》-1,所以r(x)=g(e，+co&x)-1,

當(dāng)x<0時(shí)，ex<l,cosx<l,所以g(e*+cosx)<l,貝!|/'(x)<0,

所以，/(x)在(-s,0)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x>0時(shí)，記g(x)=；(e*+cosx)T,貝I]g'(x)=g(e*-sinx),

因?yàn)閑*>12sinx,所以g'(x)>0,g(x)在(0,+s)單調(diào)遞增,

所以g(x)>g(O)=O,即/'(x)>0,所以f(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增.

綜上,/(X)的減區(qū)間為(-8,0),增區(qū)間為(0,+8).

(2)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=ex+sinx-x-l,則/''(x)=e*+cosx-l,

iHh(x)=ex+cosx-1,貝I]=e*-sinx,

當(dāng)x>0時(shí)，ex>l>sinx,所以〃(x)>0,〃(x)在(0,+動(dòng)單調(diào)遞增，

所以力(x)>〃(0)=1>0,在(0,+“)上單調(diào)遞增，

所以〃x)>/(0)=0，〃x)在(0,+。)上無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)尤《一兀時(shí)，S^/ex>0,sinx>>n-1,

所以/(x)=e*+sinx-x-1>0,此時(shí)/'(x)無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)-7t<x<0時(shí)，記"(x)=e*-x-1,則〃'(x)=e*-1<0,

因?yàn)楫?dāng)X趨近于。時(shí)，"'(X)趨近于0,所以〃(X)的變化越來(lái)越慢，圖象下凹,

當(dāng)x=—兀時(shí)，e*-x-l>—sinx,當(dāng)x=0時(shí)，e1—x—1=-sinx,

作出函數(shù)”(x)和y=-sinx的圖象如圖，

由圖可知，當(dāng)-兀<x<0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即/(X)有一個(gè)零點(diǎn).

易知x=0是〃x)的一個(gè)零點(diǎn).

綜上，函數(shù)〃x)共有2個(gè)零點(diǎn).

10.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e2'-aln(x+l).

⑴若。=2,討論〃x)的單調(diào)性.

(2)若x>0,a>1,求證：/(x)>^-alna.

【答案】⑴答案見(jiàn)解析:

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】(])利用二次導(dǎo)數(shù)判斷/''(》)的單調(diào)性，結(jié)合/'(0)=0即可求解；

(2)當(dāng)l<aW2時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)證明/(x)>/(O)即可；當(dāng)a>2時(shí)，利用零點(diǎn)存在性定理判斷了'⑺的零

點(diǎn)再由零點(diǎn)方程化簡(jiǎn)整理得〃x)的最小值，然后由零點(diǎn)吃的范圍即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=e^-21n(x+l),定義域?yàn)?-1,+“)，

則“、)=2/一二T

2

設(shè)g(X)=/'(X),則g'(x)=4e2、+-_-T>o,

(x+1)

所以/'(x)在(T+8)上單調(diào)遞增,且廣(0)=0,

所以，當(dāng)xe(-l,O)時(shí)，r(x)<r(O)=O,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(O,+8)時(shí),r(x)>r(o)=o,“X)單調(diào)遞增，

所以/(X)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+。)上單調(diào)遞增.

(2)因?yàn)?(x)=e2*-aln(x+l),

所以7''(x)=2e2，_￡?

因?yàn)椤?gt;1,所以/''(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,且/'(0)=2-。.

①若1<042,則廣(0"0,

所以當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)>0恒成立，/(X)單調(diào)遞增.

又〃In〃〉0,

所以/(x)>/(O)=l>g-alna；

②若a>2,貝|/'(0)=2-a<0,/r(a-l)=2e2(a-1)-1>0,

所以存在x°e(O,a-l),使得/(無(wú)。)=0,即/”二三二.

當(dāng)xe(O,x。)時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(x°,+e)時(shí)，r(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

a

所以/(x)2/(xo)=e2M-aln(x0+l)=2^+2-aln(x0+l).

因?yàn)榱?3標(biāo)-〃ln(x+l)在(0,"1)上單調(diào)遞減,

——----tzln(x+1)>—；一-----a\na=—aIna

所以2%+2vn072(Q-1)+22

所以/(x)>—aInq

2

綜上所述，當(dāng)x>0,時(shí)，—alnq.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明一般可以考慮證明左，若/(X)有最小值，但無(wú)法具體確定,

這種情況下一般是先把/(x)的最小值轉(zhuǎn)化為關(guān)于極值點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)，再根據(jù)極值點(diǎn)的取值范圍，確定最小

值的取值范圍.

考點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性

2

1.(2024■廣東汕頭三模)已知函數(shù)/(x)=lnx-辦,g(x)=二,a*0.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

【答案】(1)答案見(jiàn)詳解

【分析】(1)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)a>0與。<0分類討論即可得;

(2)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.

【詳解】(1)r(x)=--a=—("0),

XX

當(dāng)〃<0時(shí)，由于％>0,所以/'(x)>0恒成立，從而/(X)在(0,+。)上遞增；

當(dāng)Q〉o時(shí)，0<%<工，ff(x)>0；x>—,/'(x)<0,

aa

從而〃x)在，上遞增，在遞減；

綜上，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí)，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為10,J,單調(diào)遞減區(qū)間為t,+J.

2

(2)令〃(x)=/(x)-g(x)=lnx-ax-晟，要使Wg(x)恒成立，

只要使"x)WO恒成立，也只要使"4mW0.

/"Q-lZ7+之_-(ax+l)(?JC-2)

xaxax

若Q〉0,X>0,所以QX+l>0恒成立，

22

當(dāng)0<x<—時(shí)，//'(%)>0,當(dāng)一<x<+oo時(shí)，I(x)<0,

aa

可知"x)在(o,￡j內(nèi)單調(diào)遞增，在'，+，(內(nèi)單調(diào)遞減，

所以“4畋=?W=出彳一3W。,解得：a>1,

2

可知。的最小值為不；

e

若Q<0,x>0,所以辦一2<0恒成立，

當(dāng)0<x〈一工時(shí)，當(dāng)一!<%<+8時(shí)，h'^x)>0,

aa

可知〃(x)在(0,-￡|內(nèi)單調(diào)遞減，在,：，+歸)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以〃(x)在(0,+8)內(nèi)無(wú)最大值，且當(dāng)X趨近于+8時(shí)，〃(x)趨近于+如不合題意;

綜上所述：。的最小值為彳.

e

2.(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/卜)=^+("1)》-1,其中aeR.

(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)4=2時(shí)，證明：/(x)>xlnx-cosx.

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)就a<1分類討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性；

(2)原不等式等價(jià)于e*+x+cosx-l-xhu>0,xe(0,+co),當(dāng)0<xWl時(shí)，可由各式符號(hào)證明此不等式成立,

當(dāng)x>l時(shí)，設(shè)g(x)=e*+x+cosx-l-xlnx,利用導(dǎo)數(shù)可證明g'(x)>0恒成立，據(jù)此可得g(x)的單調(diào)性，從

而可得原不等式成立.

【詳解】(1),.'/(x)=eJ+(a-l)x-l,/,(x)=eI+fl-l,

當(dāng)心1時(shí)，/'(x)=e、+a-l>0,函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<1時(shí)，由/'(x)=e*+a-l>0,得

函數(shù)/(x)在區(qū)間(ln(l-a),+s)上單調(diào)遞增，

由/''(x)=e*+a_l<0,得x<ln(l_a),

函數(shù)/(x)在區(qū)間(ro,ln(l-0))上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間.

當(dāng)a<1時(shí)，“X)在0n(li),+8)上單調(diào)遞增，在(-8,In(1-切上單調(diào)遞減.

(2),:當(dāng)a=2時(shí)，/(無(wú))=e*+x—1,

要證/(X)>xlnx-cosx,即證e*+x+cosx-1-xlnx>0,xe(0,+oo),

①當(dāng)0<x?l時(shí)，,.,e'+x+cosx-l>0,xlnx<0,

ex+x+cosx-1-xlnx>0；

②當(dāng)x>l時(shí)，令g(x)=e'+x+cosx-l-xlnx,

則gr(x)=ex-sinx-Inx,設(shè)〃(x)=g'(x),則l(x)=ex-cosx——,

x

'.x>lfe>e>2r-1<<0,-1<-cosx<1,/.h'^x)>0,

x

/./z(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,/.A(x)>/z(1)=e-sinl-0>0,即g，(x)〉0,

g(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增，.二g(x)>g(l)=e+cosl>0,

即e"+x+cosx-1-xh\x>0.

綜上，當(dāng)〃=2時(shí)，/(x)>xlnx-cosx.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立，應(yīng)該根據(jù)不等式中含有的函數(shù)的類型進(jìn)行合理的分類討論,

特別是含有三角函數(shù)式時(shí)，可根據(jù)其值域選擇分類討論的標(biāo)準(zhǔn).

3.(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃％)=山+辦+l,awR.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)“V2時(shí)，證明：^-<e2x.

X

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(])求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論。的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)要證明只要證'+2'+1會(huì)2,即可,設(shè)g(x)=e'-x-l,利用導(dǎo)數(shù)求得最值即可證明.

XX

【詳解】⑴函數(shù)/(x)=lnx+"+lM￡R的定義域?yàn)?0,+”)，且八X)=5+Q.

當(dāng)Q20時(shí)，X/xG(0,+oc),/r(x)=—+6T〉0恒成立，

所以/(X)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增；

當(dāng)QV0時(shí)，令"1+"=0,解得％=_▲,

xxa

當(dāng)xe時(shí)，r(x)>OJ(x)在區(qū)間)上單調(diào)遞增，

當(dāng)工€卜：,+，|時(shí)，/'(x)<0J(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)a20時(shí)，/(%)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增；

當(dāng)"0時(shí)，〃x)在區(qū)間,「J上單調(diào)遞增，在區(qū)間廿,+二|上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)閤>0,所以要證只要證明—+2X+1We?，即可,

即要證lnx+2x+l〈xe2x,等價(jià)于e2x+i"21nx+2x+l(*).

令g(x)=e*—x—1,則g'(x)=e"—l,

在區(qū)間(-8,0)上，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

在區(qū)間(0,+8)上,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)Ng(O)=e°-0-1=0,所以e"Nx+l(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立),

所以(*)成立，當(dāng)且僅當(dāng)2x+lnx=0時(shí)，等號(hào)成立.

2

又〃(x)=2x+Inx在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增,h=——1<0,//(1)=2>0,

Ie

所以存在七￡使得2%+1啄=0成立.

綜上所述，原不等式成立.

4.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(X)=Q(X+1)2-x-lnx(QER).

⑴討論/(x)的單調(diào)性;

⑵當(dāng)時(shí)，求證：f(x)>2tz———bl.

【答案】⑴當(dāng)時(shí)，函數(shù)〃x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)〃x)在區(qū)間單調(diào)遞

減，在區(qū)間單調(diào)遞增.

⑵證明見(jiàn)解析；

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)對(duì)。分類討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；

(2)根據(jù)(1)結(jié)論判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并求出最小值，再通過(guò)最小值與2a-二+1在指定區(qū)間作比

較即可得證.

【詳解】(1)由題意可知，函數(shù)/■(x)=a(x+l)2-x-lnx的定義域?yàn)?0,+s),

導(dǎo)數(shù)/⑴=2a(x+l)-l--=(x+l)(2"T),

XX

當(dāng)時(shí)，xe(0,+oo),f\x)<0；

當(dāng)?！?時(shí)，e(0,--),yr(x)<0；xe,+oo),yz(x)>0；

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)/⑴在區(qū)間(0,+◎上單調(diào)遞減；

當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)"X)在區(qū)間(0,，-)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，+功上單調(diào)遞增.

2a2a

(2)由(1)可知，當(dāng)時(shí)，

函數(shù)〃x)在區(qū)間(0,J)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(J,+功上單調(diào)遞增.

2a2a

所以函數(shù)>"1)=+1)2-4一ln(J)=。+1_；+ln(2a),

2a2a2a2a4。

要證〃x)22"'+l,

2a

需iiEtz+1-----Fln(2q)N2a-----F1,

4。2a

即需證,+ln(2a)-a20,ae(0,1恒成立.

4a2

令g(Q)=--+ln(2a)-a,

4。

貝IJg\a)=--^--1+-=―僅；<0，

4aa4a2”

所以函數(shù)g(a)在區(qū)間(0,單調(diào)遞減，

故g(a)2g(，=g+O_g=0，

所以^—Fln(2a)—a>0,ae(0,系恒成立，

4a2

所以當(dāng)0<Q(二■時(shí)，/(x)之2a———F1.

22a

5.(2024?山西呂梁?三模)已知函數(shù)/(x)=/—2x+ahu：M￡R).

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意的%%e(O,+助，占使")(再)一*/伍)>0恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍.

玉-x2

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

(2)[0,2e3]

【分析】(1)由〃x)=x2-2x+alnx,(aeR),定義域?yàn)閤e(0,+功，求導(dǎo)(卜)="匚令

g(x)=2x2-2x+a,討論當(dāng)。取不同的值時(shí)g(x)的正負(fù)情況，即可得到/(x)的單調(diào)性;

(2)法一：由.一項(xiàng)/0)>0可化為心1>必，令G(x)=?=x-2+膽，討論。取正、負(fù)、

玉~X2XX

零時(shí)G'(x)=1+N0恒成立，即可得到實(shí)數(shù)。的取值范圍;

法二：由1〃再)一百〃/)>0可得>0,令g(x)="^=x-2+駟，即g'(x"0

x1-x2XX

恒成立，由月(x)=H+嗎-0則令刈x)=/+“1_向)，則/7(x"0恒成立，討論a取正、負(fù)、零時(shí)

X

“(》)=在1的單調(diào)情況，得到極值，即可得到實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(I)“X)的定義域?yàn)槭?0,+司/(叼=2X-2+?=宜彳上

2

令g(%)=2x-2x+af

又A=4一8。，

r，當(dāng)A40,即ON；時(shí)，g(x)>0,此時(shí)/''GAOJU)在(0,+功上單調(diào)遞增

2°-當(dāng)A>0,即?！鰰r(shí)，

令g(x)=o,解得再=匕。1￡馬=土;二11

其中，當(dāng)0<。<|■時(shí),0<X](X2，xe(0,xJo(X2，+8),g(x》0,

XE(xPx2),g(x)<0

所以/(x)在(0，西)，(工2，+。)單調(diào)遞增，在(再，%)單調(diào)遞減；

當(dāng)"0時(shí)，%!<0<x2,xG(O,x2),g(x)0,xe(x2，+e)，g(x))O，

故/(%)在(0,工2)單調(diào)遞減，(%2，+”)單調(diào)遞增.

綜上：。[/⑺在(0,+為上單調(diào)遞增；

1+J1-2a]V

0<Q<；J(x)在|0,1-1

,+a上單調(diào)遞增;

7

a40J(x)在。，匕

I+5/I—2a.、/、E、乂I”

上單調(diào)遞減，在---------,+”上單倜遞增.

(2)

(2)法一：不妨設(shè)0<X1<Xz，則Xz/aj-x/a?)>0,同除以X]》2得f[')>"x2)，

史Lx-2+如,

所以令G(X)=

XX

當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，G'(x)=1+>0恒成立,

1。，若a=0,G'(x)=l>0恒成立，符合題意,

、一八1、lnx-1―a、

2。，當(dāng)。>0,—2—「恒成"，

ax

人廠/、lnx-1,l，/x3-21nx

令尸(x)=—貝niIJ尸'(X)=—,

所以尸(x)在(0,1單調(diào)遞增，在戶+力單調(diào)遞減，

1(3、1

所以.，所以a?0,2e3],

3。，若。<0,同理工4蛆二恒成立，由2。知，當(dāng)x->0+,尸-8

ax

所以不存在滿足條件的”.

綜上所述：?e(0,2e3].

法二：(X]1工2)[工2/(西)-%/a2)]>。O(再I-3a]>°，

令g(x)=￡B=A2+生”，則只需g(x)在(0,+功單調(diào)遞增，

XX

即g'(x"0恒成立，

g'(x)=X+°(；-應(yīng),令〃(x)=x2+a(l-lnx),則〃(x"0恒成立;

又〃(%)=2—=空之，

XX

①當(dāng)0=0時(shí)，人(力=人。(力在(0,+e)單調(diào)遞增成立；

②當(dāng).<0時(shí)，〃白)>0,//(工)在(0,+8)單調(diào)遞增，又xf0,4x)f-8,故〃(x”0不恒成立.不滿足題意;

a

③當(dāng)a>0時(shí)，由〃(x)=0得x=z(x)在0,單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增,

因?yàn)榱?x)20恒成立，所以以口而"=?,￡]=羨[3-山|卜0,

解得0<<2<2e3,

綜上，^ze[0,2e3].

6.(2024?廣東東莞?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=；x2+(i_a)x_qinx(Q￡R).

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)。>0時(shí)，求函數(shù)〃x)在區(qū)間［l,e］上的最大值.

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

⑵答案見(jiàn)解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求區(qū)間；

(2)結(jié)合(1)得到的函數(shù)單調(diào)性，分類討論函數(shù)/(x)最大值.

【詳解】⑴t(x)的定義域?yàn)?0,+8),

求導(dǎo)數(shù)，得八x)=x+l-a_q=x2+(l")x-r=(x+l)(x-。),

XXX

若aV0,則/'(x)>0,此時(shí)〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

若a>0,則由/'(x)=0得x=a,當(dāng)0<x<a時(shí)，/f(x)<0,/(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x>a時(shí)，r(x)>0,/(x)在(a,+。)上單調(diào)遞增,

綜上，當(dāng)a?0,7(x)的增區(qū)間為(0,+8),無(wú)減區(qū)間，

若。>0,/(尤)減區(qū)間為(O,a),增區(qū)間為(。,+8).

(2)由(1)知，當(dāng)0<aWl時(shí)，/(X)在區(qū)間［l,e］上為增函數(shù)，

函數(shù)/⑴的最大值為了⑻=為?%。-。^-%

當(dāng)aNe時(shí)，/(X)在區(qū)間［l,e］上為減函數(shù)，

函數(shù)/(X)的最大值為〃1)=。，

當(dāng)l<a<e時(shí)，在區(qū)間(1,a)上為減函數(shù)，在(a,e)上為增函數(shù),

函數(shù)/(x)的最大值為max{〃l)J(e)},

1Q13

由〃e)-/⑴=2?2+(1一。,_5>0,<—C+1--,

1Q1

若Icav^e+l-五時(shí),函數(shù)/'(x)的最大值為/'(e)=5e2+(l-a)e-a,

1QQ

若3e+l-^Wave時(shí)，函數(shù)/'(x)的最大值為/(1)=；_〃，

22e2

1Q1

綜上，當(dāng)a<：e+i-2時(shí)，函數(shù)“X)的最大值為/卜)=5，+(1-〃》-。,

當(dāng)心方1+1-2Q時(shí)，函數(shù)/(無(wú))的最大值為〃l)=￡a-a.

3

7.(2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=ae、-尤-］(aeR).

⑴討論“X)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)〃>0時(shí)，/(x)>21ntz-tz2.

【答案】在上單調(diào)遞減，在(-山〃,+8)上單調(diào)遞增

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)后，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)與單調(diào)性的關(guān)系，分QVO及。〉0討論即可得；

(2)原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)?！?時(shí)，tz2--1-lntz>0,構(gòu)造函數(shù)g(Q)=/-；-lna(a>0)后，利用導(dǎo)數(shù)可

得該函數(shù)的單調(diào)性，即可得其最小值，即可得證.

【詳解】(1)由題意知/'(x)=Qe、—1,

當(dāng)時(shí)，Ax)<0,所以/(x)在(-%+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)〃>0時(shí)，令/'(x)<0,解得x<-lna,

令/'(%