導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之函數(shù)的極值問題（5題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版+解析版）

專題13導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?-函數(shù)的極值問題5題型分類

彩題生江總

題型1:函數(shù)極值、極值點的辨識

題型5：根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)

、/

題型2：函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的圖象與極值（點）關(guān)系

專題13導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一函數(shù)的極值

問題5題型分類

題型4：根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)

/\題型3：求巳知函數(shù)的極值、極值點

彩先正寶庫

1、函數(shù)的極值

函數(shù)"X）在點X。附近有定義，如果對小附近的所有點都有/（尤）</（%）,則稱/（%）是函數(shù)的一個極大值，

記作y極大值=/（%）.如果對與附近的所有點都有了⑺>/（%）,則稱/（%）是函數(shù)的一個極小值，記作

y極小值=/（%）.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱％為極值點.

求可導(dǎo)函數(shù)/*）極值的一般步驟

（1）先確定函數(shù)〃x）的定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)/'（X）；

（3）求方程0（*）=0的根;

（4）檢驗f（x）在方程（（元）=0的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那

么函數(shù)了=/（尤）在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=/（尤）在

這個根處取得極小值.

注：①可導(dǎo)函數(shù)在點X。處取得極值的充要條件是：與是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即/@）=0,且在％左側(cè)

與右側(cè)，/（X）的符號導(dǎo)號.

②;（無。）=。是與為極值點的既不充分也不必要條件，如/（x）=d,尸（0）=0,但無。=。不是極值點.另外，

極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/（x）=W，在極小值點毛=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：％為可導(dǎo)函

數(shù)手⑺的極值點n尸（無。）=0；但八與）=oXxo為了（X）的極值點.

彩他題海籍

(一)

函數(shù)極值、極值點的辨識

解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)還是導(dǎo)函數(shù)的，對于導(dǎo)函數(shù)的圖象，重點考查在哪個區(qū)間上

為正，哪個區(qū)間上為負，在哪個點處與X軸相交，在該點附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的，若是由正值變?yōu)樨?/p>

值，則在該點處取得極大值；若是由負值變?yōu)檎?，則在該點處取得極小值.

題型1:函數(shù)極值、極值點的辨識

1-1.(2024?遼寧)設(shè)函數(shù)“X)滿足2⑺+2^(x)=f,〃2)=，,則無＞0時,/(%)

A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值D.既無極大值也無極小值

12(2024高三?全國?專題練習(xí))已知e為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù)=)*［左=)”則.

A.當k=l時,/(x)在x=l處取到極小值B.當k=l時,/(x)在x=l處取到極大值

C.當k=2時,/(x)在x=l處取到極小值D.當k=2時J(x)在x=l處取到極大值

2

1-3.(2024?陜西)設(shè)函數(shù)f(x)=-+lnx，則()

x

A.x=g為f(x)的極大值點B.x=g為f(x)的極小值點

C.x=2為f(x)的極大值點D.x=2為f(x)的極小值點

題型2：函數(shù)(導(dǎo)函數(shù))的圖象與極值(點)關(guān)系

2-1.(2024?重慶)設(shè)函數(shù)Ax)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(X),且函數(shù)'=(1-尤)/'(X)的圖像如題(8)圖

所示，則下列結(jié)論中一定成立的是

y

A.函數(shù)/⑺有極大值”2)和極小值/⑴

B.函數(shù)/⑶有極大值〃-2）和極小值/⑴

C.函數(shù)/（x）有極大值/（2）和極小值/（-2）

D.函數(shù)7⑺有極大值/（-2）和極小值了（2）

2-2.（2024高二下?黑龍江鶴崗?期中）函數(shù)的定義域為（。㈤，導(dǎo)函數(shù)/（可在（。㈤內(nèi)的圖像如圖所示,

則函數(shù)“X）在（。力）內(nèi)極小值點的個數(shù)是（）

2-3.（2024高二上?陜西漢中?期末）定義在區(qū)間-、4上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)r（x）的圖象如圖所示，則

A.函數(shù)“X）在區(qū)間（1,4）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)〃尤）在區(qū)間（1,3）上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/（x）在尤=1處取得極大值

D.函數(shù)/（尤）在x=0處取得極大值

2-4.（2024高三上?四川自貢?階段練習(xí)）己知函數(shù)y=/（x）的定義域為（。力），導(dǎo)函數(shù)＞=/'"）在（凡6）內(nèi)的

圖像如圖所示，則函數(shù)y=/（x）在（。力）內(nèi)的極小值有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

彩健題海籍

(二)

求已知函數(shù)的極值、極值點

1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程(。)=。根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值

是否與己知有矛盾.

2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導(dǎo)函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導(dǎo)零.這個零點必須穿越x軸，否則不

是極值點.判斷口訣：從左往右找穿越(導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點)；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大.

注：(1)可導(dǎo)函數(shù)y=A尤)在點xo處取得極值的充要條件是廣(無o)=O,且在尤o左側(cè)與右側(cè)廣(x)的符號不同；

(2)若/(x)在(a,b)內(nèi)有極值，那么大龍)在(a,6)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有

極值.

題型3:求已知函數(shù)的極值、極值點

13

3-1.(2024?重慶)設(shè)函數(shù)/(?Malnx+T+^x+l,其中在aeR,曲線V=/。)在點Q"⑴)處的切線垂直

2.x2

于y軸

(團)求a的值；

(0)求函數(shù)/(x)極值.

3-2.(2024高二下?重慶巫溪?期中)已知函數(shù)/3=4/+改+1).

⑴若曲線y=/(元)在點(2,7(2))處的切線與x軸平行，求。的值；

(2)求函數(shù)AM的極值.

33(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃6力2+111(17),式4,1].求〃外的極值；

3-4.(2024?廣西南寧?一模)設(shè)函數(shù)〃x)=(x-a)(x—b)(x—c),a,b,cwR,f'(x)為〃x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴當a=6=c=0時，過點P(LO)作曲線y=/(x)的切線，求切點坐標；

(2)若〃b,b=c,且和尸(x)的零點均在集合，2,-2,雪中，求的極小值.

3-5.(2024?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(*)=6-4111(工+份.

(1)證明：當。＞0,6=0時，f(x)有唯一的極值點為%,并求/(%)取最大值時吃的值；

（2）當%>0時，討論/（元）極值點的個數(shù).

彩健藕祕籍（二）

根據(jù)函數(shù)的極值、極值點求參數(shù)

根據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用

待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.

題型4:根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)

11

4-1.（2024高三上?四川綿陽?階段練習(xí)）已知函數(shù)+

⑴若一（X）在（g,2）上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)加的取值范圍；

⑵若/（x）在區(qū)間（機,+?）上有極小值，求實數(shù)加的取值范圍.

4-2.（2024?湖南?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（耳=加+法在x=l處取得極大值4,則a-人（）

A.8B.-8C.2D.-2

4-3.（2024高三下?貴州?階段練習(xí)）已知函數(shù)尤）=；f-（i+a）x+alnx在工=。處取得極小值，則實數(shù)。的

取值范圍為（）

A.[1.+OO）B.（l,+oo）C.（0,1]D.（0,1）

4-4.（2024?陜西商洛?三模）若函數(shù)/（%）=/+以2+（〃+6）%無極值，則a的取值范圍為（）

A.[-3,6]B.（—3,6）

C.（~00,-3]u[6,+oo）D.（—00,—3）U（6,+oo）

4-5.（2024高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）函數(shù)g（x）=詈在區(qū)間上，心）〃eN*）上存在極值，貝曠的最大值

為（）

A.2B.3C.4D.5

題型5：根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)

5-1.（2024高三上,遼寧鞍山?階段練習(xí)）已知函數(shù)/。）=21-1-2%-0^,。為實數(shù).

⑴。=0時,求“X）的極小值點；

（2）若x=0是/（x）的極小值點，求。的取值范圍.

5-2.（2024高三上?河南洛陽?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）=cosx+axsinx

（1）若a=l,求曲線丁=/（力在點（兀J㈤）處的切線方程；

（2）若x=0是〃尤）的極大值點，求。的取值范圍.

5-3.（2024高三上?安徽阜陽?階段練習(xí)）已知函數(shù)-alnx.

⑴若“=1,求函數(shù)〃尤）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)存在唯一的極值點，求實數(shù)。的取值范圍.

5-4.（2024高二下?江蘇南通?期末）若x=a是函數(shù)/（x）=a-a）2（x-l）的極大值點，則a的取值范圍是（）

A.a<1B.a<lC.a>lD.a>l

5-5.（2024高三下?江蘇南京?開學(xué)考試）己知函數(shù)=-依（aeR）有兩個極值點，則實數(shù)a的取

值范圍（）

A.（-<?,1）B.（0,1）

C.[0,1]D.（1,+<?）

媒習(xí)與梭升

一、單選題

1.（2024?全國）若x=-2是函數(shù)/（x）=（尤2+6-1）產(chǎn)的極值點,則Ax）的極小值為.

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

2.（2024高二下?安徽亳州?期末）設(shè)函數(shù)“X）的定義域為R玄（龍0中0）是外尤）的極大值點，以下結(jié)論一定

正確的是（）

A.Vxe/?,/(%)</(x0)B.f是/'（-x）的極小值點

C.-5是-/(力的極小值點D.-%是-/(-x)的極小值點

3.(2024高三上?全國?單元測試)設(shè)awO,若。為函數(shù)/(x)=a(x-a)2(彳-3的極大值點，貝U()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

4.(2024高三?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,o)B.((),-)C.(0,1)D.(0,+8)

2

5.(2024?吉林通化?模擬預(yù)測)已知函數(shù)"%)=/-彳戶在區(qū)間［0,1］上的最大值為七則函數(shù)“力在(0,+力

上()

A.有極大值，無最小值B.無極大值，有最小值

C.有極大值，有最大值D.無極大值，無最大值

6.(2024高二下?河北秦皇島?期末)已知尸(x)是函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)丫=礦(勸-1的圖象大致如圖

7.(2024高三上?陜西渭南?階段練習(xí))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)尸(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的

A.-1是函數(shù)“X)的極小值點

B.-3是函數(shù)“X)的極大值點

C.函數(shù)無)在(-3,1)上單調(diào)遞增

D.函數(shù)/（x）在x=0處的切線斜率小于零

8.（2024?陜西）對二次函數(shù)/（刈=62+原+。（。為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅

有一個結(jié)

論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是

A.-1是Ax）的零點B.1是的極值點

C.3是/（X）的極值D.點(2,8)在曲線y=/(元)上

已知函數(shù)/⑺=巨+/-則/的極小值為

9.（2024高三上?陜西漢中?階段練習(xí)）4x,(x)

X

e2/-31

A.e-3B.5-eC.F8D.2ve-----

216

10.（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)/⑴=丁+涼+次+4的大致圖像如圖所示，X],巧是函數(shù)y=/（x）

的兩個極值點，則+等于（）

11.（2024高二下?吉林長春?階段練習(xí)）已知實數(shù)a,6,c,d成等比數(shù)列，且曲線y=3x-V的極大值點為人，

極大值為c,則必等于（）

A.2B.-1C.-2D.1

12.（2024高二下?新疆昌吉?期末）如圖是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的圖象，給出下列命題：

y/k

①尤=-2是函數(shù)y=/（%）的極值點；

②尤=1是函數(shù)y=f（x）的極值點；

③y=的圖象在x=0處切線的斜率小于零;

④函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（-2,2）上單調(diào)遞增.

則正確命題的序號是（）

A.①②B.②④C.②③D.①④

13.（2024高二下?全國?期中）已知函數(shù)/（尤）的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.-3是〃尤）的極小值點B.-1是“X）的極小值點

C.在區(qū)間（f,3）上單調(diào)遞減D.曲線y=在x=2處的切線斜率小于零

14.（2024高三上?湖北武漢?階段練習(xí)）若函數(shù)/（X）存在一個極大值/（石）與一個極小值/（%）滿足

（）＞（）則（）至少有（）個單調(diào)區(qū)間.

/x2/^,fx

A.3B.4C.5D.6

15.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)/（尤），其導(dǎo)函數(shù)尸（x）的大致圖象如圖所示，則下

B.函數(shù)/（X）在x=c處取得最大值，在X=e處取得最小值

C.函數(shù)/（X）在X=c處取得極大值，在x=e處取得極小值

D.函數(shù)“X）的最小值為

16.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃尤）的導(dǎo)函數(shù)為『⑺，則⑺在（0,2）上有兩個零點”是"〃尤）在

（0,2）上有兩個極值點”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

17.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)『⑺在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為（⑺，且函數(shù)8（力=獷'（耳的圖像如圖所

示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）

A.7（x）有兩個極值點B.”0）為函數(shù)的極大值

C./（無）有兩個極小值D.7（-1）為Ax）的極小值

18.（2024?全國）已知函數(shù)的定義域為R,〃孫）=+則（

A."0）=0B."1）=0

C.是偶函數(shù)D.尤=0為“X）的極小值點

19.（2024?全國）若函數(shù)"無）=Mnx+嚏+3（aw0）既有極大值也有極小值，貝。（）.

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

20.（江西省豐城中學(xué)2024屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）如圖所示是y=/（x）的導(dǎo)數(shù)y=/'（x）的圖象,

下列結(jié)論中正確的有（）

A.丁（無）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1,2）,（4,內(nèi)）

B.X=-l是的極小值點

C.f（x）在區(qū)間（2,4）上是減函數(shù)，在區(qū)間（-1,2）上是增函數(shù)

D.x=2是〃尤）的極小值點

21.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=/（x）和y=g（x）的圖像都是R上連續(xù)不斷的曲線，如果

f（x）＜g（x）,當且僅當x=l時/（l）=g（l）=l,那么下列情形可能出現(xiàn)的是（）

A.1是〃尤）的極大值，也是g（x）的極大值B.1是/'（尤）的極大值，也是g（x）的極小值

C.1是“X）的極小值，也是g（x）的極小值D.1是〃x）的極小值，也是g（x）的極大值

22.（2024高二下?福建廈門?期末）函數(shù)〃尤）的導(dǎo)函數(shù)尸（力的圖象如圖所示，則（）

C./（尤）在區(qū)間（。,b）上有2個極大值點

D./（X）在x=%處取得最大值

23.（2024高三上?廣西百色?階段練習(xí)）函數(shù)〃司=；尤2-or+aln元的兩個極值點分別是外,三，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.a＞4B.兄；+考＜8

D./（x）+/（x）＜1（x2+xf）-6

C.%+尤2=尤速2121

24.（2024?全國）已知函數(shù)/（無）=--工+1,則（）

A.7（x）有兩個極值點B.7（x）有三個零點

C.點（0,1）是曲線＞=/（尤）的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/（x）的切線

25.（2024高三上?福建莆田?階段練習(xí)）已知E的數(shù)〃元）=（爐-3x+l）e"則下列說法中正確的是（）

A.〃力在R上有兩個極值點B.在尸-1處取得最小值

C.〃尤）在x=2處取得極小值D.函數(shù)/（無）在R上有三個不同的零點

26.（2024高三上?福建福州?階段練習(xí)）函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)/'"）的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.為函數(shù)的零點B.x=2為函數(shù)〃x）的極小值點

C.函數(shù)在&,2）上單調(diào)遞減D./（-2）是函數(shù)〃X）的最大值

三、填空題

1nV

27.（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)〃%）=——的極大值點和極大值分別為

x

28.（2024?全國）已知兄=玉和x=%分別是函數(shù)人>）=2優(yōu)-eV（〃>0且awl）的極小值點和極大值點.若

玉<々，則a的取值范圍是

29.（2。24高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)小）=0-2的極大值為---------；極小值為----------

30.（2024高二下?陜西渭南?期末）已知函數(shù)〃x）=x（x+c）2,在x=2時有極大值，則/（尤）的極大值為一

31.（2024高三上?貴州遵義?階段練習(xí)）函數(shù)〃x）=g尤2+以一/的極值點的個數(shù)為.

32.（安徽省池州市貴池區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（x）=x3+3mx2+wc+m2

在x=-l時有極值為0,貝!]〃?+"=.

33.（2024高三上?新疆伊犁?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=21nx+d-公-1有兩個極值點，則。的取值范圍

為.

四、解答題

34.(2024?北京)設(shè)函數(shù)f(x)=x-x3/力曲線y=f(x)在點(1，函數(shù)處的切線方程為y=T+l.

⑴求a,b的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/'(無)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑶求/*)的極值點個數(shù).

35.(2024高二下?福建龍巖,期中)設(shè)函數(shù)。(x)=x3+bx2+cx(x￡R),已知g(x)=f(x)-fz(x)是奇函數(shù)

(1)求b、c的值.

(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

36.(2007?安徽)設(shè)函數(shù)/(尤)=-cos2x-4rsi*cos>4/+產(chǎn)-3f+4,xeR,其中將/a)的最小值

記為gO).

⑴求g(t)的表達式；

(2)討論g?)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

37.(2024?山東)設(shè)函數(shù)/(%)=加+6山%，其中必工0.證明：當次?>0時，函數(shù)“x)沒有極值點；當用<0

時，函數(shù)，(力有且只有一個極值點，并求出極值.

38.(2024?福建)已知函數(shù)/(x)=_?+〃￡+內(nèi)-2的圖象過點(T,-6),且函數(shù)g(x)=尸。)+6元的圖象關(guān)于y

軸對稱.

⑴求〃八〃的值及函數(shù)y=〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>0,求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間內(nèi)的極值.

39.(2024高三上?遼寧大連?階段練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=：/-6+(。-l)lnx,a>l.

⑴當a=2時，求函數(shù)〃尤)的圖象在點(2,”2))處的切線方程;

（2）求函數(shù)的極值.

40.（2024高二下?湖南長沙?期中）設(shè)函數(shù)八1）=2彳3—3（“一1）尤2+1,其中位1,

（1）求人”的單調(diào)區(qū)間；（2）求於）的極值.

41.（2024?全國）已知函數(shù)/'（x）=（：+a>n（l+x）.

⑴當a=-l時，求曲線y=/（x）在點（L〃l））處的切線方程；

（2）是否存在a,b,使得曲線y=關(guān)于直線X=b對稱，若存在，求0,6的值，若不存在，說明理由.

⑶若在（0,+力存在極值，求°的取值范圍.

42.（2024?北京）設(shè)函數(shù)/。）=[依2一（3a+i）x+3a+2]eJ

（0）若曲線y=在點（2"（2））處的切線斜率為0,求a；

（回）若Ax）在x=l處取得極小值，求。的取值范圍.

43.（2024高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=%（%-加了，meR.

⑴當相=2時，求“X）在-1,|上的值域；

（2）若〃尤）的極大值為4,求實數(shù)加的值.

44.（2024?北京）設(shè)函數(shù)/（%）=[q2-（4a+l）x+4a+3]e”.

（I）若曲線y=/（x）在點（I,/（1））處的切線與X軸平行，求。；

（2）若/（x）在x=2處取得極小值，求。的取值范圍.

45.（2024高三上?湖南?開學(xué)考試）已知函數(shù)/"）=?'-OX?,a>x

⑴當a=e時，求曲線y=在x=l處的切線方程；

⑵若了（尤）存在極值點%,且/（毛）=0,求。的值，并分析與是極大值點還是極小值點.

46.（2024?廣東）設(shè)0<a<l,集合A={xeR|x>0},B={xeR|2尤2-3（1+。）尤+6a>0},D=AnB

（1）求集合。（用區(qū)間表示）

(2)求函數(shù)/(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在。內(nèi)的極值點.

47.(2024?湖北)設(shè)函數(shù)/(x)=%3一〃爐+打+。在工=］處取得極值_2,試用c表示〃和人，并求了(九)的單調(diào)

區(qū)間.

48.(2024?重慶)已知函數(shù)〃耳=加+/(4€尺)在x=-g處取得極值.

⑴確定。的值；

(2)若g(x)=/⑺，,討論g(x)的單調(diào)性.

49.(2024高三上?遼寧沈陽?階段練習(xí))函數(shù)/(xAV+^+x+l,XGR,已知x=占和x=9分另lj是函數(shù)

f(x)的極大值點和極小值點.

⑴求實數(shù)。的取值范圍；

⑵求〃占)-〃9)的取值范圍.

50.(2024高二下?重慶長壽?期中)已知函數(shù)〃x)=lnx.

⑴設(shè)Mx)為偶函數(shù)，當x<0時，/Z(X)=/(T)+2X,求曲線y=/z(x)在點(1,-2)處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/(x)—M,求函數(shù)g(x)的極值.

51.(2024高二下?甘肅白銀?階段練習(xí))已知函數(shù)〃力=一；丁+262-3/耳。€11且。40).

⑴當a=-l時，求曲線y=〃x)在點(-2,〃-2))處的切線方程；

(2)當a>0時，求函數(shù)y="X)的單調(diào)區(qū)間和極值；

52.(2024高三上?江蘇南京?開學(xué)考試)已知函數(shù)/⑺=祀*-尤-a,其中a>0.

⑴若a=l,證明：〃》0；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=#(x),若x=0為g(x)的極大值點,求a的取值范圍.

53.(2024高三上?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=cos依+g/-l.

⑴當a=l時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若x=0是/(x)的極大值點，求。的取值范圍.

54.(2024高三上,貴州?開學(xué)考試)定義函數(shù)/(x)=(x-a)sinx,其中xeR.

(1)當〃=看時，求曲線y=在點go1處的切線方程；

⑵證明：在區(qū)間(-方技)上，/(“有且只有兩個不同的極值點.

55.(2024高三上?北京西城?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃勸=,+2*+1,g(x)」+4x+5+研.

ee

(l)/，(x)=_,g'(x)=_;

⑵/(x)的極小值點為極小值為」

⑶/5)的極大值點為一，極大值為」

⑷畫出函數(shù)/(X)的圖象草圖：

2■

1

-2-1C>|~1~2~3~4~

⑸若方程f(x)="恰好有2個解，則實數(shù)加=_；

⑹若g(x)在R上單調(diào)，則實數(shù)。的取值范圍是二

⑺若函數(shù)g(x)存在極值，則極值點的個數(shù)可能為一個.

專題13導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?-函數(shù)的極值問題5題型分類

彩題生江總

題型1:函數(shù)極值、極值點的辨識

題型5：根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)

、/

題型2：函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的圖象與極值（點）關(guān)系

專題13導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一函數(shù)的極值

問題5題型分類

題型4：根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)

/\題型3：求巳知函數(shù)的極值、極值點

彩先正寶庫

1、函數(shù)的極值

函數(shù)"X）在點X。附近有定義，如果對小附近的所有點都有/（尤）</（%）,則稱/（%）是函數(shù)的一個極大值，

記作y極大值=/（%）.如果對與附近的所有點都有了⑺>/（%）,則稱/（%）是函數(shù)的一個極小值，記作

y極小值=/（%）.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱％為極值點.

求可導(dǎo)函數(shù)/*）極值的一般步驟

（1）先確定函數(shù)〃x）的定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)/'（X）；

（3）求方程0（*）=0的根;

（4）檢驗f（x）在方程（（元）=0的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那

么函數(shù)了=/（尤）在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=/（尤）在

這個根處取得極小值.

注：①可導(dǎo)函數(shù)在點X。處取得極值的充要條件是：與是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即/@）=0,且在％左側(cè)

與右側(cè)，/（X）的符號導(dǎo)號.

②;（無。）=。是與為極值點的既不充分也不必要條件，如/（x）=d,尸（0）=0,但無。=。不是極值點.另外，

極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/（x）=W，在極小值點毛=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：％為可導(dǎo)函

數(shù)手⑺的極值點n尸（無。）=0；但八與）=oXxo為了（X）的極值點.

彩健題海籍

（一）

函數(shù)極值、極值點的辨識

解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)還是導(dǎo)函數(shù)的，對于導(dǎo)函數(shù)的圖象，重點考查在哪個區(qū)間上

為正，哪個區(qū)間上為負，在哪個點處與X軸相交，在該點附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的，若是由正值變?yōu)樨?/p>

值，則在該點處取得極大值；若是由負值變?yōu)檎担瑒t在該點處取得極小值.

題型1:函數(shù)極值、極值點的辨識

1-1.（2024?遼寧）設(shè)函數(shù)“X）滿足2⑺+2^（x）=f,〃2）=，,則無>0時,/（%）

A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值D.既無極大值也無極小值

【答案】D

［詳解八?函數(shù)Ax）滿足x2f\x）+2xf{x}=—，

X

,L力丁七,令尸（為）=■/■（%）,

貝尸<x）=?，尸（2）=町（2）=；,

由■廣（無）+2旬（尤）=￡,得1（x）=e,2f（x）,令°（x）=e-2*x）,

XJC

則°'（x）=e'-2F（無）=/（”2）,

X

.?.0（X）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增，

---o（x）的最小值為<p（2）=e2-2F（2）=0,.'.<p（x）>0.

Xx>0,.'./'（x）>0,.-./（x）在（0,+>）單調(diào)遞增，

\"X）既無極大值也無極小值，故選D.

考點：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導(dǎo)法則.

【方法點睛】本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀

題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題

的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)

函數(shù)的"形狀"變換不等式"形狀"；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導(dǎo)

函數(shù)的"形狀"，聯(lián)想到函數(shù)p(尤)=/，(力，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進而得出正確結(jié)論.

1-2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知e為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù)〃x)=(e，-哄X-)［左=則.

A.當k=l時J(x)在x=l處取到極小值B.當k=l時J(x)在x=l處取到極大值

C.當k=2時J(x)在x=l處取到極小值D.當k=2時,/(x)在x=l處取到極大值

求導(dǎo)函數(shù)可得F(x)=ex(xT)+(ex-l)=(xexT)

/(l)=e-1^0,/(2)=2e2-1^0,

則/(x)在x=l處與在x=2處均取不到極值，

當k=2時,函數(shù)/(x)=(ex-1)(x-l)2.

求導(dǎo)函數(shù)可得f(x)=ex(x-l)2+2(ex-l)(x-l)=(x-l)(xux+ex-2)

.,.當x=l,f(x)=Q,且當x>l時,f(x)>0,當xO<x<l時(xO為極大值點)，/(x)<0,故函數(shù)/(x)在(1,+g)上是增函

數(shù)；在(殉1)上是減函數(shù)，從而函數(shù)/(X)在X=1取得極小值.對照選項.

故選C.

2

1-3.(2024?陜西)設(shè)函數(shù)f(x)=-+lnx，貝U()

x

A.x=g為f(x)的極大值點B.x=^■為f(x)的極小值點

C.x=2為f(x)的極大值點D.x=2為f(x)的極小值點

【答案】D

【詳解】r（x）=-W2+L1=一x-2，

XXX

由/（x）=0得x=2,

又函數(shù)定義域為（。,+s）,

當0＜x＜2時，/'W＜0,“X）遞減，

當x＞2時，尸（尤）＞0,/*）遞增，

因此尤=2是函數(shù)的極小值點.故選D.

考點：函數(shù)的極值.

題型2:函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的圖象與極值（點）關(guān)系

2-1.（2024?重慶）設(shè)函數(shù)了⑺在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,且函數(shù)y=（l-x）/G）的圖像如題（8）圖

所示，則下列結(jié)論中一定成立的是

A.函數(shù)/J）有極大值/（2）和極小值/⑴

B.函數(shù)/（元）有極大值/（-2）和極小值/⑴

C.函數(shù)有極大值〃2）和極小值/（-2）

D.函數(shù)有極大值/（-2）和極小值了（2）

【答案】D

【詳解】尤（一2,1—耳。,（1一同尸（力＞0貝|/（力＞。函數(shù)/（同增；

一2＜耳1,1一?0,（1-力/白）＜0則/&）＜0函數(shù)"可減；

1＜*＜2,1-尤（0,（1-力-（無》0則尸（“＜0函數(shù)/3減；

%＞2,1—彳＜0,（1—力/'（%）＜0貝1]/'（%）＞0函數(shù)/（彳）增；選D.

【考點定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號，當導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當導(dǎo)函數(shù)小于。則

函數(shù)遞減

22（2024高二下?黑龍江鶴崗?期中）函數(shù)的定義域為（。㈤，導(dǎo)函數(shù)尸（%）在（。力）內(nèi)的圖像如圖所示,

則函數(shù)“X）在（。力）內(nèi)極小值點的個數(shù)是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)極值點的定義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象，即可判斷選項.

【詳解】用耳＞0,函數(shù)單調(diào)遞增，尸（力＜。，函數(shù)”X）單調(diào)遞減，

由導(dǎo)函數(shù)/（x）的圖象知：函數(shù)/（元）在（。，3內(nèi)，與x軸有四個交點：從左向右看,

第一個點處導(dǎo)數(shù)左正右負，是極大值點，

第二個點處導(dǎo)數(shù)左負右正，是極小值點，

第三個點處導(dǎo)數(shù)左正右正，沒有變號，所以不是極值點，

第四個點處導(dǎo)數(shù)左正右負，是極大值點，

所以函數(shù)/（元）在開區(qū)間3b）內(nèi)的極小值點有1個，

故選：A

；，4上的函數(shù)〃尤）的導(dǎo)函數(shù)尸（無）的圖象如圖所示，則

2-3.（2024高二上?陜西漢中?期末）定義在區(qū)間

下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)在區(qū)間（1,4）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)〃尤）在區(qū)間。,3）上單調(diào)遞減

當時，/（x）單調(diào)遞增，xe6,%）時，，（力單調(diào)遞減，故x=占為函數(shù)極大值點，/（石）為極大

值，

當彳€（%,尤3）時，/（元）單調(diào)遞增，故工=々為函數(shù)極小值點，/（々）為極小值，

當彳武天力）時，“X）單調(diào)遞減，故x=W為函數(shù)極大值點，/（F）為極大值，

故函數(shù)y=〃x）在（a,b）內(nèi)的極小值有1個.

故選：A

彩他題秘籍（一）

求已知函數(shù)的極值、極值點

1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程廣。）=。根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值

是否與已知有矛盾.

2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導(dǎo)函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導(dǎo)零.這個零點必須穿越x軸，否則不

是極值點.判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與*軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大.

注：（1）可導(dǎo)函數(shù)y=/U）在點切處取得極值的充要條件是廣（初）=0,且在尤°左側(cè)與右側(cè)廣（x）的符號不同；

（2）若式的在（a,b）內(nèi)有極值，那么黃x）在（a,6）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有

極值.

題型3:求已知函數(shù)的極值、極值點

3-1.（2024?重慶）設(shè)函數(shù)〃x）=alnx+丁1+13x+l,其中在aeR,曲線＞=/（x）在點（1J⑴）處的切線垂直

2x2

于y軸

（0）求a的值；

（E）求函數(shù)/*）極值.

【答案】（回）a=-l

（0）極小值"1）=3

【分析】（回）因/（x）=aln尤+《+恭+1,故八x）"—1由于曲線y=/（無）在點（1）⑴）處的切線

2x2xLx1

13

垂直于y軸，故該切線斜率為0,即/⑴=0,從而。-―+'=0，解得a=-l

22

13113

(團)由(團)矢口/(%)=-InxH---1—x+1(%>0),/'(%)=---------\—

2x2x2x2

=3『-2-1=(3.》+吁-1)令八元)=o,解得i;(因不在定義域內(nèi)，舍去)當xe(0,l)

2尤22x233

時，r(x)<0故/⑺在(0,1)上為減函數(shù)；當xe(l,+co)時，-(x)>0故/(無)在(1,+⑹上為增函數(shù)，故/(元)

在x=l處取得極小值〃D=3

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基

礎(chǔ)知識，考查運算求解能力

3-2.(2024高二下?重慶巫溪?期中)已知函數(shù)/(勸=4/+狽+1).

⑴若曲線>=/(無)在點(2"(2))處的切線與x軸平行，求。的值；

(2)求函數(shù)/(元)的極值.

【答案】(1)4=一3

⑵當。=0時，函數(shù)>=/(無)無極值；

當a>0時，"(刈極大值=/(一。一1)=e-i(a+2),"(切極小值=/(一1)=?；

當時，"(創(chuàng)極大值=/(-1)=2上，"(切極小值=/(—a—l)=e?i(a+2)

e

【分析】(1)先由所給函數(shù)的表達式，求導(dǎo)數(shù)/‘(X),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由平行

直線的斜率相等列方程求。的值即可；

(2)對參數(shù)。進行分類，先研究的單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)求解/(幻在R上的極值即可.

【詳解】(1)f'(x)—e'(x2+ax+l+2x+a)=ex[x2+(a+2)x+6z+l].

因為曲線y=/(無)在點(2"(2))處的切線與X軸平行，

所以尸(2)=0,即f'(2)=e2[4+2(a+2)+a+1]=0,

所以a=-3.

(2)(尤)=eX(x+a+l)(x+l).

令_f(x)=0,貝=—a—l或x=-l.

①當a+l=l,即a=0時，/,(x)=ex(x+l)2>0,

所以函數(shù)y=/(x)在(-?,+<?)上為增函數(shù)，函數(shù)無極值點；

②當一(。+1)<—1,即a>0時.

—a-1-i

X(-00,—a—1)(-1-1)

f\x)+0-0+

極

/（X）71極大值71

小值

所以當x=-。-1時，函數(shù)有極大值是片小（。+2）,

2—a

當x=-l時，函數(shù)有極小值是?

③)當一(。+1)>-1,即Q<0時.

-1—a-1

(-8,-1)(-1,-a-l)(-a-1,+co)

f(x)+0-0+

極極

/(X)7171

大值小值

所以當x=-1時，函數(shù)有極大值是一2—CL，

e

當x=—a-l時，函數(shù)有極小值是e-i（a+2）.

綜上所述，當。=0時，函數(shù)y=/（無）無極值;

當a>0時，"（創(chuàng)極大值=/（-a-D=/一5+為，"（x）］極小值=/（-I）=-；

當。<0時，"（初極大值=/（一1）=平，"（創(chuàng)極小值=/（-a—l）=e-"（a+2）.

3-3.（2024高三,全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃2一2+111（17）”15,1］求〃尤）的極值；

【答案】極大值=0,沒有極小值.

【分析】

首先對函數(shù)求導(dǎo)解得了'（X）=:一,然后結(jié)合刈月=x-1+cos2%的單調(diào)性，判斷函數(shù)的單調(diào)性,

從而求得函數(shù)的極值；

【詳解】因為函數(shù)/⑺卷皿+皿1)”(-/：!),

所以廣(同=」^+4=」^+；=產(chǎn)導(dǎo)程，

cosx1-xcosxx-1(x-ljcosX

設(shè)7z(x)=x-l+cos2x,K(x)=1—2cosxsinx=l-sin2x>0,

所以g)在(gl］上單調(diào)遞增.

又％(o)=o,

所以當