高一年級上冊期中考試（第一~三章）解析版-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題18高一上學(xué)期期中考試(第一?三章)17

大壓軸考法專練

題型1根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

一、單選題

1.(2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測)若集合A={x|2的-3>0,，〃eR},其中2eA且1”,則實數(shù)式的取值范圍

是()

<331「33、(33、「33「

A.B.C.-'D.

(42」|_42)(42)142J

【答案】A

【分析】借助元素與集合的關(guān)系計算即可得.

f2mx2—3>033

【詳解】由題意可得C?2/八，解得

[2mxl-3<042

故選：A.

2.(24-25高一上?河北衡水?階段練習(xí))已知aeZ,A={(x,y)|or-yV3}且，(2,l)eA,(1,-4)gA,則。取

值不可能為()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)。的取值，結(jié)合已知逐一驗證即可.

【詳解】選項A：當(dāng)。=一1時，-1x2—143,故(2,l)cA,(l,-4)eA,A錯誤；

選項B：當(dāng)。=0時，0x2-143,0xl-(-4)>3,故(2,1)—eA,B正確;

選項C：當(dāng)。=1時，1x2—1<3,1x1—(T)>3,故(2,1)eA,(1,-4)eA,C正確；

選項D：當(dāng)。=2時，2x2-l<3,2xl-(T)>3,故(2,1)eA,(1,Y)任A,D正確.

故選：A.

二、填空題

3.(23-24高一上.江蘇南通開學(xué)考試)設(shè)集合A={a+4,同，〃一24，若3eA,則。的值的集合為.

【答案】{-3}

【分析】運用元素與集合之間的關(guān)系，分類討論計算即可

【詳解】若a+4=3,即a=T時，A={3,1,3},不滿足互異性，

若同=3,即a=3或a=-3時，同理可驗證。=3時不滿足互異性，a=-3成立，

若片一2°=3,即。=-1或。=3,驗證都不滿足互異性.

綜上，a=—3.

故答案為：{-3}

4.（24-25高一上?上海?單元測試）⑴已知集合A={0,1,2},則集合3=xeA,ye4}中元素的個數(shù)

為.

（2）若-3e{x-2,2d+5x』2},則彳=.

3

【答案】5

【分析】（1）通過分論討論求解，然后再根據(jù)元素的互異性即可求解；

（2）通過分兩類了-2=-3或2尤2+5尤=-3進行求解，求解出值后代入集合里面，看元素是否滿足互異性即

可.

【詳解】解析：（1）①當(dāng)x=0時，y=0,l,2,此時x—V的值分別為0,-1,-2；

②當(dāng)x=l時，y=0,l,2,此時x—V的值分別為1,0,-1；

③當(dāng)尤=2時，,=0,1,2,此時％—V的值分別為2,1,0.

綜上可知，x-y的可能取值為-2,-1,0,1,2,共5個，

（2）由題意知，工一2=-3或2f+5尤=一3.

①當(dāng)X-2=-3時，x=-l.把x=-l代入，得集合的三個元素為-3,-3,12,不滿足集合中元素的互異性；

②_當(dāng)2尤2+5》=-3時，x=-3^x=-l（舍去），當(dāng)x=\3時，集合的三個元素7為-3,12,滿足集合

中元素的互異性，由①②知》=-：，

故答案,為：5;-j3.

三、解答題

5.（22-23高一上?河南濮陽?階段練習(xí)）設(shè)數(shù)集A由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若xeA（xxl且XHO）,則J—eA.

（1）若2eA,則A中至少還有幾個元素？

（2）集合A是否為雙元素集合？請說明理由；

14

（3）若A中元素個數(shù)不超過8,所有元素的和為了，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合A

中的元素.

【答案】⑴兩個；

⑵不是，理由見解析；

【分析】（1）利用給定的定義，依次計算即得.

（2）由xeA,求得A中其它元素，再判斷不相等即可.

（3）由（2）中信息，可得xeAmeA,再結(jié)合已知列出方程求解即得.

111_1_=?c4

【詳解】（1）由2eA,得丁==則1r尸4,因此一

1—2—Li）zi—

2

所以A中至少還有兩個元素為-1,

（2）不是雙元素集合.理由如下：

1IX—I4

|------=---￡<4

由XWA,得^—GA,貝LI九，

l-x1-；-------

l-x

1c3

而xwl且xwO,x—x+l=（x——）2+—>0,即x（l—x）wl,

24

11V-1

于是％w；---9由X2—2x+lw—%,得（x—1）2。一1，貝!---w----,

l-xl-xx

因此集合A中至少有3個元素，所以集合A不是雙元素集合.

1X—11r—1

（3）由（2）知A中有三個兀素為元、、----（尤wl且%。0）,且---------=-1,

l-xx1—xx

依題意，A中除上述3個元素外，還有其它元素，設(shè)A中有一個元素為加，

1Am-1,r1m-1y

貝!|----eA,----eA,且機----------=-1,

1—mm1—mm

于是A中的元素為,小，利一一,吧，且集合A中所有元素之積為1,

1—xx1—mm

i_ii

由A中有一個元素的平方等于所有元素的積，設(shè)—）2=1或（匚r）2=1,解得x=2或尤=彳.

l-xx2

UdL1Icy1機一114

此時2￡A,—IGA,—A依題后，-+2—l+m+-----1----=--,

2921—mm3

i2

整理得6,—19加之+機+6=0,BP（m—3）（2m+1）（3m—2）=0,解得加=一萬或3或1,

119

所以集合A中的元素為］2-1,-于3與.

題型2根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

一、單選題

1.（23-24高一下?云南昆明?期中）設(shè)集合A={x|-1<尤<1},8={X|尤若ACB=A，則。的取值范圍（）

A.aN—1B.a工—1C.a<—1D.a>—1

【答案】B

【分析】若&nB=A,則AuB,結(jié)合數(shù)軸分析即可.

【詳解】若408=4,則A=畫出數(shù)軸可得，?<-1.

B

-<>~

a-10lx

故選：B

2.（23-24高一上?甘肅白銀?期中）已知集合4={尤?叫2》-3-。20},集合3={ye=/-3尤+2},若

AcB,則。的取值范圍為（）

77

A.a>B.a>——

~22

_77

C.a<D.a<——

~22

【答案】A

【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法化簡集合A,根據(jù)二次函數(shù)值域求解集合B,然后利用集合關(guān)系列不

等式求解.

【詳解】集合A={xeR|2無一3-a20}=,xeRxN審卜

集合B={yeR,=x2-3x+2}=[yeRy

因為A=所以、z-J,解得心-工

242

故選：A.

二、多選題

3.（23-24高三上?安徽合肥?階段練習(xí)）設(shè)集合4=卜|/一2尤-3=0,xcR},

B=|x|ox2+2（a+l）x+a-2=0,xeRj-,如果A|JB=A，則.可能的取值是（）

A.—4B.—C.0D.一

42

【答案】AB

【分析】根據(jù)題意，由條件可得B=然后分類討論，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】???A={x,-2x-3=0,尤eR},A={-1,3},

VA\JB=A,：.B^A,

①當(dāng)3=4,即3={-1,3}時，得_2（。+1）=2,-=-3,無解.

aa

②當(dāng)B-0,即△=4（〃+1）2—4〃（々-2）=16〃+4<0n〃<一；,

③當(dāng)3={-1},即16a+4=0,a-2a-2-\-a-2=0,無解，

④當(dāng)6={3},即16Q+4=0,9Q+6〃+6+〃-2=0=>Q=—L

4

所以。的取值范圍為.

故選：AB

三、解答題

4.(24-25高一上?重慶?階段練習(xí))⑴若集A={xeRl4+3x+l=0}中有且僅有一個元素，求實數(shù)。的所

有取值.

(2)已知集合4={*|小-1=0},8={尤|d—3x+2=0},若A=求實數(shù)機的值.

91

【答案】(1)0,—；(2)0,—,1.

42

【分析】(1)分。是否等于0兩種情況討論即可；

(2)分機是否等于0兩種情況討論即可.

【詳解】(D情形一：若”=0,貝1]4="6R3*+1=0}=1-3}中只有一3這一個元素，故。=。符合題意；

情形二：若且集合A中只有一個元素，

這意味著當(dāng)且僅當(dāng)一元二次方程a?+3x+1=0有兩個相等的實數(shù)根，

9

從而△=9—4〃=0,解得〃=:；

4

9

綜上所述，實數(shù)。的所有取值可能為：0,-；

4

(2)8={x|尤3X+2=0}={1,2},

情形一：當(dāng)〃7=0時，A={x|;nr-l=O}={x|O-x-l=O}=0,此時滿足4口3,故機=0符合題意；

情形二：當(dāng)根.0時，A-{x\77IX-1=0}=,

若要A=則當(dāng)且僅當(dāng)工=1或工=2,

mm

解得m=；或根=1;

綜上所述，實數(shù)加的值可能是：0,1.

5.(23-24高一上?福建龍巖?階段練習(xí))集合A=1x[g<x<2},B={x|a-2<x<a+2}.

⑴若0={3,4]+2“_3},0?800,求實數(shù)0的值；

(2)若A^B=A求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴1

(2)ja0<a<|

【分析】(1)根據(jù)題意，由條件可得。?孰從而解得。=1或。=-3,分別代入檢驗，即可得到結(jié)果;

(2)由條件可得4屋8,列出不等式代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)因為Ow(BnC),所以。“，所以片+2。一3=0,解得。=1或。=一3,

當(dāng)a=-3時，3={尤|一5<尤<一1},不滿足OeB,故舍去；

當(dāng)Q=1時，B={x|—1<x<3|,滿足題意.

故實數(shù)，的值為1.

a+2>2

(2)由AA3=A可得4屋3,所以1,解得

a-2<—2

I2

故實數(shù)0的取值范圍是

題型3集合的交、并、補運算及參數(shù)問題

一、單選題

1.(22-23高一上?江西景德鎮(zhèn)?期中)某城市數(shù)、理、化競賽時，高一某班有26名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，25

名學(xué)生參加物理競賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競賽，其中參加數(shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、物兩

科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數(shù)、化兩科的有5名.若該班學(xué)生共有51名，則沒有參

加任何競賽的學(xué)生共有()名

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】畫出圖，由題意求出分別單獨參加物理、數(shù)學(xué)和化學(xué)的人數(shù)，即可求出參賽人數(shù)，進而求出沒有

參加任何競賽的學(xué)生.

【詳解】畫三個圓分別代表數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的人，

因為有26名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，25名學(xué)生參加物理競賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競賽，

參加數(shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、化兩科的有5名，

只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，

所以單獨參加數(shù)學(xué)的有26-（6+7+5）=8人，

單獨參加物理的有25-（6+7+8）=4人，單獨參加化學(xué)的有23-（5+7+8）=3,

故參賽人數(shù)共有8+4+3+6+7+8+5=41人，

沒有參加任何競賽的學(xué)生共有51-41=10人.

故選：D.

二、解答題

2.（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知集合石司/-4x+3<0},集合8={m2爪<x<1—m}.

（1）若m二一1,求Ac5

（2）若人口5=0,求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】（l）{x[l<x<2}

（2）m>0

【分析】（1）根據(jù)集合包含關(guān)系列出不等式組，求出實數(shù)m的取值范圍；

⑵分3=0與3/0進行討論，列出不等關(guān)系，求出實數(shù)m的取值范圍.

【詳解】（1）因為根=一1,所以3={尤|-2<x<2},

XA={x|l<x<3）,所以ACB={M<X<2}.

（2）A=1x|l<x<3）,因為A（"|B=0,

所以當(dāng)3=0時，貝!J2m？1m,解得機2：,符合題意;

2m<l-m12m<l-m

當(dāng)3/0時，則1—m<l或j2m>3解得

綜上所述實數(shù)m的取值范圍是m>0.

3.（23-24高一上?北京?期中）已知集合4={劃尤2-5X-1440},B={x\m+l<x<m+3,m&R）.

(1)當(dāng)機=5時，求A|J3和；

(2)若Ac05=A,求機的取值范圍.

【答案】(1)卜卜2<x<8);{x|7<x<8}

⑵{時機<-5或/">6}

【分析】(1)求出集合A,8后根據(jù)集合的運算法則計算；

(2)根據(jù)集合運算得出集合間包含關(guān)系，再由包含關(guān)系求參數(shù)范圍.

【詳解】(1)當(dāng)機=5時，3={x|6WxW8},

因為A={x|—2W%W7},

所以AD5={H-2K%<8}；Br>dRA={x\7<x<8}；

(2)因為5={x|機+lK%K"+3,機wR},

所以a5=卜上〈機+1或x>加+3},

因為Ac/B=A,所以

因為A={x|—2W%W7},

所以加+1>7或根+3〈一2,

得帆>6或根<-5,

所以m的取值范圍為{帆帆<-5或〃z>6}.

4.(22-23高二下?遼寧葫蘆島?階段練習(xí))已知集合4="|尤<一3或x>7},B={x|m+l<x<2m-l}.

(1)若(解)U3=RA,求實數(shù)，"的取值范圍；

(2)若&A)n8={x|a4x4b},且6—a21,求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】⑴{刈mW4}

(2){m|3</n<5}

【分析】(D根據(jù)并集結(jié)果可得BU(aA),分別討論3=0和3X0的情況即可求得結(jié)果；

(2)由交集結(jié)果可知3/0,分別討論2〃-1<7、…和心+1>7,根據(jù)6-a21可構(gòu)造不等式求得

[m+l<7

結(jié)果.

【詳解】(1)由題意知：4A={X134XW7}；

因為(額)U3=RA,故3

①當(dāng)3=0,即〃Z+1>2〃L1時，滿足3=&A),此時機<2；

m+1<2m-1

②當(dāng)若8三附4),則<“7+12-3,解得2W:〃V4；

2m-1<7

綜上所述：m的取值范圍為{加機K4}

(2)因為(4A)r|5={x|aKxK〃},S.b-a>lf故即機+1<2加一1,

解得機N2,貝(|根+123,2m—1>3；

①當(dāng)2加一147,即機W4時，(4人)口5=3={%|m+14工42加一1}；

故2機一1一(機+1)21,解得3WmW4；

_,f2m—1>7、(、八、

②當(dāng)加十]<7，即4<機46時，(4人)口6=6={(劃m+1〈元47}；

故7—(根+1)21,解得4〈機<5；

③當(dāng)加+1>7,即m>6時，([4)15=0,不合題意；

綜上所述，m的取值范圍為{m|3K相<5}.

2

5.(22-23高一上?江蘇常州?階段練習(xí))已知集合4={(羽y)lV—x—1=0},B={(x9y)\4x+2x-2y+5=0],

C={(x,y)|y=kx+b,k,b

⑴若左=b=i,求An。；

(2)是否存在自然數(shù)上b,使得(AU2)nc=0?若存在，求出鼠6的值；若不存在，說明理由.

【答案】⑴AcC={(-l,0),(0,l)}

(2)存在，k=l,b=2

jy=x+

【分析】(1)根據(jù)題意得到2/7解得答案。

(2)題目轉(zhuǎn)化為AcC=0且3AC=0,聯(lián)立方程，考慮左=0和左>。兩種情況，計算A<0,得到

4廿-4次+1<0,再聯(lián)立方程得到k2一2Z+助-19<0,考慮兩個不等式有解的情況，計算得到答案。

[y=x+l?fx=—1fx=0

【詳解】⑴當(dāng)k=)=l時，y=x+i,聯(lián)立方程得:z解得八或1；

口_尤一1=0[y=°[y=i

故AcC={(T0),(0,l)}.

(2)(AUB)nc=0,故AcC=0且Bnc=0,

fV2—Y—1—0

聯(lián)立方程得.；,，消去y得，k2x2+(2kb-l)x+b2-l=0,

[y=kx+b

由AcC=0知，

當(dāng)上=0時，方程公f+(2妨_1■+/_1=0有解，故不符合題意；

當(dāng)人>0時，々=(2尿一1)2-4/(。2_1)<0,即4F一4必+1<0；

聯(lián)立方程得八十2二2y：5=0,消去丫得，4+(2-2幻x+(5-26)=0,

y=kx+b

BQC=0,4=(2-2左)2-16(5—22)<0,即嚴(yán)-2左+8)一19<0;

若4左2一464+1<0有解，貝(1(-46)2-16>0,即/>i；

若/一24+8。一19<0有解，貝(](一2)2—4(86—19)>0,即b<g；

1一+]且此N,

4/_8左+1<0r.

&eN,6=2,代入得k2-2k-3<0,且％eN，故，

-1<^<3?

故左=1;

綜上所述，當(dāng)左=1,8=2時，（AoB）nC=0.

題型4F

L集合的新定義問題▼

一、單選題

1.（24-25高一上?上海?開學(xué)考試）非空數(shù)集A=R,同時滿足如下兩個性質(zhì)：（1）若。則必eA；

（2）若aeA,則工eA.則稱A為一個“封閉集”，以下敘述：

a

①若A為一個“封閉集”，貝也eA；

②若A為一個“封閉集”且a,6?4,則feA；

b

③若A,B都是“封閉集”，則Ac3是“封閉集”的充要條件是A=8或3=A；

④若AB都是“封閉集，，，則AUB是“封閉集”的充要條件是A屋3或B=A.

正確的是（）

A.①③④B.①②③④C.①②③D.①②④

【答案】D

【分析】由封閉集的定義，逐項判斷即可，同時③用舉例，④用反證法即可.

【詳解】對于①，因為A為一個“封閉集”，由定義可知aeA則那么。x，=1eA,正確；

aa

對于②，因為A為一個“封閉集，a,b^A,所以。eA,所以feA,正確；

bb

對于③，A={1,1,2},B={1,1,3},AcB={l}都是封閉集，顯然4屋8或8屋4不成立，錯誤

對于④，充分性：A3都是“封閉集”，若4屋8或3=4,易知AU3是“封閉集”，

必要性：若AU5是“封閉集”，令A(yù)UB=C,

假設(shè)AUB且BaA.

貝［|存在a￡e5,Z?￡5,beA,同時asC,bwC,

因為A1^=（^是“封閉集”，

所以必eg4eC,分兩類情況討論

ab

若必eA,又awA,則工eA,所以必x'=beA,這與假設(shè)矛盾；

aa

若必任A,又北8,則屋民所以處!="68,這與假設(shè)矛盾；

bb

故假設(shè)不成立，原結(jié)論AU3是“封閉集”則4=3或3=4.必要性成立，故正確;

故選：D

二、多選題

2.（24-25高一上?吉林?階段練習(xí)）對任意A,5aR,記人十臺二任以?A「臺}，并稱A十B為集合

4,8的對稱差.例如：若4={1,2,3},8={2,3,4},則A十3={1,4}.下列命題中，為真命題的是（）

A.若=R且A十3=3,則A=0B.若且A十3=0,則A=B

C.若ABgR且A十3=則A=3D.存在AB=R,使得A十83幟十*

【答案】AB

【分析】A選項，根據(jù)題意得到Au3且8中元素不能出現(xiàn)在AcB中，故A=0；B選項，AU^與Ac3

是相同的，所以A=8；C選項，推出3屋4；D選項，表達出楙十￡/B={X|XG>4<JvB,x^Ar>〃同，

結(jié)合枷U枷nuB=5（AUB），得至!］桐十/={x|xeAu3,x走Ac!?},故

A十2=枷十UB.

【詳解】A選項，A,31R且A十3=3,則2={x|xeAuB,x^AcB},

故4屋3,且8中元素不能出現(xiàn)在Ac3中，故A=0,A正確；

B選項，A8=R且A十3=0,則0={XxwAuB,xeAcB},

即AU3與AcB是相同的，所以A=3,B正確；

C選項，因為A十B=所以{HxeAu8,xeAc3}aA,故BqA,C錯誤；

D選項，噌A十/={小€物2a'》任噌Ac心},

其中枷U枷口yB=^（AUS）,

故十/={尤|彳€皆（Ac3）,x任〃（Au3）}={尤|尤eAuB,xeAcB},

而A?>B={x|xeAUB，x走AP|B}，

故A十2=根十泗,D錯誤.

故選：AB

三、填空題

3.（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）集合M,N,S都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運算：MQNQS=

{尤|xe（AfcN）u（NcS）u（ScAf）且尤任McNcS}.假設(shè)集合4=國?！从?lt;耳，B=[x\c<x<d\,

C=[x\e<x<f],其中實數(shù)a,b,c,d,e,/滿足：a<c<e<O<b<d<f.if>

AQBQC=.

【答案】{x\c<x<e^ib<x<d]

【分析】由題設(shè)條件。，b,c,d,e,7的大小關(guān)系，根據(jù)集合運算新定義求AQBQC即可.

【詳解】因為a<c<e<O<b<d</,

所以ACB={HC<x<Z?1,BcC={x|e<xvd},CA=^x\e<x<b^,

Ar>Br\C=\^x\e<x<b^,

I丁

-UJ）---（!>L——j）~~—<）（>—>

aceObdfx

故A。50。={x\c<x<e^b<x<d}.

故答案為：{%|c<%We或Z??x<d}.

四、解答題

4.（24-25高一上?黑龍江牡丹江?開學(xué)考試）（1）含有三個實數(shù)的集合可表示為卜,\1卜也可表示為{。2,“+40},

求/25+/026的值.

（2）設(shè)數(shù)集c滿足：lec,又若實數(shù)加是數(shù)集c中的一個元素，則廣匚一定也是數(shù)集c中的一個元素，

1-m

求證：

①若21C,則集合C中還有其他兩個元素；

②集合C不可能是單元素集合.

【答案】（1）-1;（2）①證明見解析；②證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，利用集合相等的定義，列出方程組，即可求解；

（2）①由2iC,根據(jù)題意，結(jié)合；eC,準(zhǔn)確運算，即可求解；

1-m

②假設(shè)集合C中只有1個元素〃，結(jié)合題意，得到方程"=一一，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，即可得證.

【詳解】解：因為集合可表示為卜21],也可表示為{/,。+40},即0,士1]={。2,"+6,0}

b=0

則滿足</=l,且解得。=—1,)=0,所以々2025+62026=(—1)2025=—].

〃W1

(2)①若2iC,則乙=-leC；若—leC,則^47；=!eC

1—21—(—1)Z

若［eC,則尸二2'C,所以當(dāng)2iC時，集合C中必含有另兩個元素-1和2;

21一52

②假設(shè)集合C中只有1個元素〃(〃eR),

由題意可知J—eC,因為集合C為單元素集合，所以〃=J一,即/一〃+1=0,

1-n1-n

又由A=1一4=-3<0,則此方程無實數(shù)解，所以假設(shè)不成立,

所以集合C不可能是單元素集合.

5.(24-25高一上?云南紅河?階段練習(xí))已知有限集人=1%,華,…,a“｝(〃22,〃eN),若

q+%+…+%=。x…X%,則稱A為“完全集”.

(1)判斷集合卜1，-加，忘-1，2應(yīng)+2｝是否為“完全集”，并說明理由;

(2)若A為“完全集"，且A=N*,用列舉法表示集合A(不需要說明理由);

(3)若集合｛。,可為“完全集”，且均大于0,證明：。,心中至少有一個大于2.

【答案】(1)卜L-忘，虎-1,2虎+2｝是“完全集，，，理由見解析;

⑵｛123｝；

⑶證明見解析;

【分析】(1)由“完全集”的定義判斷即可；

(2)設(shè)％<%<…<%，得到a?！?T<"，分類討論求解即可.

(3)由“完全集”的定義，結(jié)合集合的運算，以及一元二次方程的性質(zhì)進行求解即可;

【詳解】(1)集合卜1,-應(yīng)，應(yīng)-1,2及+2｝,由完全集的定義：

-1+(-V2)+>/2-1+2A/2+2=2A/2,-lx卜匈x(0_l)x(20+2)=2也

所以集合11,-忘，夜-1,2應(yīng)+2｝為“完全集”.

(2)不妨設(shè)4<%<一</，由于…％…

所以〃必2…?！ㄒ?<〃，當(dāng)〃=2時，即有％<2,又為為正整數(shù)，所以。1=1,

于是1+%=1X%,則〃2無解，即不存在滿足條件的“完全集”;

當(dāng)〃=3時，4%<3,故只能〃1=1,%=2,求得%=3,

于是“完全集”A只有一個，為｛1,2,3｝；

當(dāng)時，由01aj…a,T\lx2x…x(w-l),

即有〃>lx2x…x(“一l),而77-(??-l)(n-2)=-M*12+4/Z-2=-(M-2)2+2<0,

又("-1)(〃一2)Wlx2x…X(ZI—1),

因此〃<lx2x…x(〃-1),故矛盾，

所以當(dāng)〃N4時不存在“完全集”A,

綜上：“完全集"A為｛1,2,3｝.

(3)證明：若6是兩個不同的正數(shù)，且｛。，可是完全集，

設(shè)4+>=°2=/>0,根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系知，匕相當(dāng)于尤2Tx+仁0的兩個根，

由A=r-4t>0,解得f>4或/<0(舍)，

所以。/>4,又因為6都是正數(shù)，若都不大于2,a,b<4,矛盾，

所以6中至少有一個大于2.

【點睛】方法點睛：新定義有關(guān)的問題的求解策略：

①通過給出一個新的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理

解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的；

②遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，

逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決.

充分、必要條件及參數(shù)問題▼

一、單選題

1.(23-24高三上?天津?期末)已知尤,yeR,則“x>0”是“國+國>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】由x>0,得江1>0,必有|x|+|y|>0,

而當(dāng)|尤|+|了|>0時,x可以是負數(shù),如|-l|+|y|>0成立,卻有-1<0,

所以“無>0”是“I尤I+1y1>?！钡某浞植槐匾獥l件.

故選：A.

2.(23-24高一上?山東棗莊?階段練習(xí))^p-.a>\>b,q\ab+\<a+b,貝！是P的()

A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也

不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)充分，必要條件的定義求解即可.

【詳解】因為。%+l<a+6可得：ab+l-a—b<0,BP（l-a）（l-Z?）<0,

所以a>l>b或b>l>a,

所以能推出ab+\<a+b,但+1<“+人推不出a>l>b,

所以q是。的必要不充分條件

故選：c.

二、多選題

3.（24-25高一上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）命題"Vxe{x|lVx43},3d-心0”為真命題的一個必要不充分條

件是（）

A.a<4B.a<2C.a>3D.a<5

【答案】AD

【分析】先根據(jù)題意化簡：命題"Vxe{x|lVxW3},3寸-/0”為真命題；為aM3,然后利用充分性和必

要性的判斷方式來判斷即可.

【詳解】若命題"Vre{x|lVxW3},3d-.20”為真命題，

則當(dāng)Vxe{x|14x43}時,恒成立，

即。4（3尤2）=3,

\/min

故該題可以轉(zhuǎn)變?yōu)椤癮43”的一個必要不充分條件，

由必要不充分條件的判斷可知，

“a43”的一個必要不充分條件是“a<m,m>3^

所以AD符合題意.

故選：AD

三、解答題

4.（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）設(shè)集合A={x|f-3x+2=0},B=|x|x2+2（a+l）x+a2-5=0}.

（1）若從仆3={2},求實數(shù)。的值；

⑵若“xeA”是“xe3”的必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）-1或-3

⑵y,一刃

【分析】（1）根據(jù)集合交集的性質(zhì)進行求解即可.

(2)根據(jù)集合并集的運算性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】(1)由三一3尤+2=0="-18—2)=0,所以尤=1或x=2,故集合A={1,2}.

因為4口8={2},所以2e3,將x=2代入8中的方程,

得。。+4。+3=0,解得a=-1或。=-3,

當(dāng)a=—l時，8={x|尤2_4=0}={-2,2},滿足條件；

當(dāng)a=—3時，8={尤|f_4尤+4=0}={2},滿足條件，

綜上，實數(shù)。的值為T或-3.

(2)因為“xeA”是“xeB”的必要條件，所以5=4.

對于集合B,A=4（?+l）2-4（a2-5）=8（a+3）.

當(dāng)A<0,即a<-3時，B=0,此時BqA；

當(dāng)A=0,即a=—3時，3={2},此時8e4；

當(dāng)△>(),即a>—3時，要想有8屋4,須有3=A={1,2},

一:該方程組無解.

此時:

a*-5=2

綜上，實數(shù)。的取值范圍是(―,-3].

5.（23-24高一下.湖南株洲.期末）已知集合4={尤|2"+1<X<34+5},8={x|x4—2或尤35}.

⑴若a=l,求AUB;

(2)若“xe8”是“xeA”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1){X|XV-2或x?3}

（2）f-oo,-jU[2,+8）

【分析】(1)根據(jù)集合的并運算法則進行運算即可；

(2)依題得AB,分A=0和4W0兩種情況談?wù)摚鶕?jù)條件列出不等式，解出即可.

【詳解】(1)因為a=l,A={x|2a+l〈x〈3a+5}

所以A={x|34x48}

因為3={x|xW-2或彳35)

所以AU8={X|34X48}U{X|XV—2或x35}

={》|》4-2或了?3}.

(2)因為“xeB”是“xeA”的必要不充分條件，所以AB,

所以①若A=0,貝！|2a+l>3a+5,即。<-4,滿足題意；

②若Aw0,

2〃+lW3a+5j2〃+l<3〃+5

則2a+l>5或13A+5<-2

a>-4

即/2或

a」

3

7

所以-或心2

綜合①②知，實數(shù)。的取值范圍為1-8，-gU[2,+8）.

題型6N

k全稱量詞命題和存在量詞命題及參數(shù)問題▼

一、單選題

1.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）下列命題中真命題的個數(shù)是（）

①土eZ,?<2023;

②存在四邊形不是菱形；

③存在一對整數(shù)x,九使得2x-4y=2024.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根據(jù)特稱命題判斷各個小題的真假即可判斷.

【詳解】因為TeZ,且（-1）3=-1<2023,所以①是真命題；

四邊形可以為梯形，所以②是真命題；

取x=1012,y=0時，2x1012-4x0=2024,所以③是真命題.

故真命題的個數(shù)是3個.

故選：D.

2.（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）定義集合運算A-3={x|xe出走2}；將AAB=（A—3）U伊-A）稱為集

合A與集合8的對稱差，命題甲：An（BAC）=（AnS）A（AnC）;命題乙：AU（BAC）=（AU8）A（AUC）則

下列說法正確的是（）

A.甲乙都是真命題B.只有甲是真命題

C.只有乙是真命題D.甲乙都不是真命題

【答案】B

【分析】根據(jù)對稱差集合的定義和集合的運算將Ac（BAC）變形即可判斷命題甲；對于乙，畫出Au（BAC）

和（Au3）A（AuC）的圖示即可判斷.

【詳解】對于甲，An（fiAC）=An（BuC-SnC）=An（SuC）-An（BnC）

=（AnJB）u（AnC）-（AnB）n（AnC）=（Anfi）A（AnC）,故命題甲正確;

對于乙，如圖所示：

所以，Au（BAC）^（AuB）A（AuC）,故命題乙不正確.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于集合新定義問題，關(guān)鍵是理解新定義，利用韋恩圖結(jié)合集合的運算，利用數(shù)形

結(jié)合判斷.

2,,

3.（23-24高一上.廣東深圳?期中）已知命題p為“*x+2ax-3a>0.若p為假命題，則實數(shù)。

的取值范圍是（）

44

A.B.6/>1C.—<〃<1D.—VaWl

77

【答案】B

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為命題”“▼無￡[-2,1],f+26_3a<0”為真命題，令〃力=尤2+2依-3即利用二次

函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】解：因為命題p“玉:￡[—2,1],f+2依-3aNO”為假命題，

所以命題「P66VXG[-2,1],X2+2ax-3a<0”為真命題，

令/（x）=f+2依-3々，其對稱軸為％=-〃，

當(dāng)-14-2,即時，/（l）=l+2a-3d!<0,解得a>l,此時〃22；

當(dāng)一a'l,即04—1時，/（-2）=4-4a-3o<0,解得a>；,此時無解；

[/⑴=1+2。-3。<0a>l

當(dāng)一2<—a<l,即一7<。<2時，。八，即4,此時l<a<2,

[f（-2）=4-4〃-3〃<0a>~

綜上：實數(shù)a的取值范圍是。>1,

故選：B

二、解答題

2

4.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知命題°:Vxe{x|44尤49},x<a+4；命題qJxeR,x<a+4.

（1）若力為真命題，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若命題P和命題4至少有一個真命題，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴{麗<5}

⑵

【分析】(D由-TP為真命題，構(gòu)造不等式即可求解；

(2)分別由P為真命題，4為真命題和。應(yīng)同時為假命題求。的范圍即可求解.

【詳解】(1)由題意得，^：3xe{x|4<x<9},x>?+4,為真命題，

貝！|9*+4,即。45,故M為真命題時，。的取值范圍為{布〈5}.

(2)當(dāng)P為真命題時，。+4>9,即。>5,所以P為假命題時，a<5；

當(dāng)4為真命題時，。+4>0,即a>T,所以4為假命題時，a<-4；

若P應(yīng)同時為假命題，則。W-4,

所以若P，4至少有一個真命題時，a>Y.

5.(23-24高一上.廣東深圳?期中)(1)已知命題0:天€凡丘2+丘-220,當(dāng)命題。為假命題時，求實數(shù)k

的取值范圍；

(2)已知。，b是實數(shù)，求證："一六一2廿=1成立的充要條件是/一/=i.

【答案】(1)-8<^<0；(2)證明見解析

【分析】(1)由題設(shè)\/%€艮丘2