《線性代數(shù)（第六版）》 課件趙樹嫄 第1、2章 行列式、矩陣

線性代數(shù)音樂《線性代數(shù)》主編趙樹嫄（第六版）中國人民大學(xué)出版社教材：2第一章

行列式3第一節(jié)二階、三階行列式(一)二階行列式4方程組有唯一解5引入記號定義稱為二階行列式.主對角線對角線法則二階行列式的計算6記對于二元線性方程組稱系數(shù)行列式則方程組有唯一解---克萊姆法則7例1解例28例解9(二)三階行列式三元線性方程組10引入記號定義稱為三階行列式。11對角線法則說明：

1、三階行列式包括3!項，每一項都是位于不同行，不同列的三個元素的乘積，其中三項為正，三項為負(fù).2、對角線法則只適用于二階與三階行列式．12如果三元線性方程組的系數(shù)行列式利用三階行列式求解三元線性方程組—克萊姆法則記則該方程組的解為13例

解按對角線法則，有14

解例按對角線法則，有15例316例解17例4解即為所求充分必要條件。18例5解方程左端19例解線性方程組解20故方程組的解為21例解設(shè)所求的二次多項式為由題意得得故所求多項式為插值問題22

二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對角線法則二階與三階行列式的計算小結(jié)：23第二節(jié)n

階行列式(一)排列與逆序

由n個不同數(shù)碼1,2,…,n

組成的有序數(shù)組i1i2…in,稱為一個n級排列.定義

在一個n級排列i1i2…in中,如果有較大的數(shù)it排在較小的數(shù)is前面(is<it),則稱it與is構(gòu)成一個逆序.一個n級排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù),記為

N(i1i2…in).n級排列共有n!個.

如果排列i1i2…in的逆序數(shù)N(i1i2…in)是奇數(shù),則稱為奇排列,是偶數(shù)或0則稱為偶排列.24例1

排列326145中，326145N(326145)=6，例偶排列n元自然序排列，偶排列例當(dāng)n=4k

或

4k+1時，n

(n-1)…2

1是偶排列；當(dāng)n=4k+2

或

4k+3時，n

(n-1)…21是奇排列.25排列逆序逆序數(shù)奇偶性123無0偶排列132321奇排列213211奇排列23121,312偶排列31231,322偶排列32121,31,323奇排列3級排列共有3

!=6種.其排列情況見下表：26

在一個排列i1…is…it…in中，如果僅將它的兩個數(shù)碼is與it對調(diào)，其它數(shù)碼不變，得到另一個排列,這樣的變換，稱為一個對換。定理任一排列經(jīng)過一次對換后改變奇偶性。定理

n個數(shù)碼(n>1)共有n!個n級排列，其中奇偶排列各占一半。27(二)n

階行列式(1)三階行列式共有3!

=6項．(2)每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．(3)每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列的三個元素的下標(biāo)排列．例如列標(biāo)排列312是偶排列,列標(biāo)排列132是奇排列,2829定義用n2個元素aij(i,j=1,2,…,n)組成的記號定義為determinantn階行列式是n!項的代數(shù)和,不同列的n個元素的乘積.每項都是位于不同行、30所表示的代數(shù)和中有4

!=24項.例如，四階行列式例如,a11a22a33a44項取號,a11a24a33a44不是D的項.a14a23a31a42項取號,+-31

D中各項中不為零的項只有a11a22…ann，其他項均為零，由于N(12…n)=0，因此這一項取正號，得例2

計算上三角行列式解32同理可得下三角行列式33特殊情況：這種行列式稱為對角行列式。34例2計算行列式解練習(xí)：推廣到

n

階情況。3536例設(shè)含的項有兩項，即解37第三節(jié)行列式的性質(zhì)說明行列式中行與列的地位是對等的,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式稱為行列式D

的轉(zhuǎn)置行列式。記證略38性質(zhì)2交換行列式的兩行(列),行列式的值變號。例如證略推論如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零。證明互換相同的兩行，有39性質(zhì)3

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)

k，等于用數(shù)

k

乘此行列式,即證略說明

行列式的某一行(列)中所有元素若有公因子,可以提到行列式符號的外面。推論

如果行列式有兩行(列)的對應(yīng)元素成比例,則行列式的值等于零。40性質(zhì)4

若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和，則D等于下列兩個行列式之和：例如注意：一次只能拆一行或一列。證略41例證明由性質(zhì)4，

證上式左邊

42由性質(zhì)2推論，第二、第三個行列式的值為0；

再由性質(zhì)4，把第一、第四個行列式分別拆成兩個行列式之和并化簡后，

上式43性質(zhì)5

把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)k后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變。例如列column行row44例4計算下列行列式45例546例6計算n階行列式解將第2,3,…,n

列都加到第1列得“全加法”4748所求行列式是n+1階行列式，從第二行開始，逐行加它的上一列，例7解49上三角50從第2行開始，每行減去第一行，

例8解5152第四節(jié)行列式按行(列)展開(一)余子式與代數(shù)余子式例如53例如5455行列式的每個元素分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式。56(二)行列式展開定理n

階行列式

D

=

|aij

|等于它的任意一行(列)的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和，即或按第i行展開按第j列展開證略推論：若行列式某行(列)的元素全為零，則行列式的值為零。57例設(shè)58定理行列式某一行的元素乘另一行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零,即這是因為第i行第j行按第j行展開59同樣，行列式對列展開,也有則有60計算行列式的基本方法：利用性質(zhì)5將某行(列)化出較多的零，再利用展開定理按該行(列)展開。例6162例

計算行列式解63例3解64例4解從第一行開始，逐行減去下一行，6566再從第一行開始，逐行減去下一行67例5計算行列式遞推法解按第一行展開，遞推得68每行元素的和都相等,把第2、3、4列都加到第1列,

練習(xí)計算行列式解“全加法”6970按第一列展開,并由上、下三角形行列式得

練習(xí)計算n階行列式解71證用數(shù)學(xué)歸納法，例6證明范德蒙(Vandermonde)行列式7273n–

1階范德蒙行列式74證畢.75例如,76第五節(jié)克萊姆法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即那么線性方程組(1)有解，并且解是唯一的，解可以表為77證略其中Dj是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式，即78例用克萊姆法則解方程組解79所以方程組有唯一解,808182例1解83所以方程組的解為例2解“全加法”85為齊次線性方程組.稱方程組(2)顯然是(2)的一個解,稱為零解.

推論如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式,則(2)只有零解.以后證明：如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式D

=

0,則(2)必有非零解。87例3解所以方程組僅有零解。88例4解89有非零解？練習(xí)問

取何值時，齊次線性方程組解“全加法”90ENDEND91習(xí)題選解92P32，13、(4)計算行列式“全加法”93P34，23、計算行列式94“全加法”P34，24、計算行列式95P38，45、若齊次線性方程組解有非零解，求

k的值。96第2章矩陣97第一節(jié)矩陣的概念例1

設(shè)有線性方程組系數(shù)和常數(shù)項構(gòu)成一個矩形陣列98第一節(jié)矩陣的概念例24種產(chǎn)品4個季度產(chǎn)值99第一節(jié)矩陣的概念定義100為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n,可用Am

n表示,一般情形下,用大寫黑體字母A,B,C等表示矩陣.或記作101例如是一個矩陣,是一個矩陣。是一個矩陣,是一個矩陣。102同型矩陣與矩陣相等的概念1、兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時,稱為同型矩陣。例如為同型矩陣.2、兩個矩陣為同型矩陣，并且對應(yīng)元素相等，即則稱矩陣相等,記作103例

設(shè)解104元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作

或

O。注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相等的。例如105第二節(jié)矩陣的運算(一)矩陣的加法、矩陣的數(shù)乘定義注：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運算。106例1107矩陣加法的運算規(guī)律：顯然有定義矩陣的減法：108說明：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行減法運算。例如109矩陣的數(shù)量乘法：定義數(shù)k與矩陣A的乘積記作kA，規(guī)定110例2

3個產(chǎn)地和4個銷地的里程矩陣表為每噸貨物的運費為1.5元/公里，則每噸貨物的運費為111數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律：加法和數(shù)乘合稱為矩陣的線性運算。（設(shè)為矩陣，為數(shù)）112例3解113求2A-B.練習(xí)已知解114例4

已知且A

+

2X

=

B，求X。解115(二)矩陣的乘法并把此乘積記作定義116117注意

只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例如，有意義，無意義。而118例例119例解單價可用矩陣表示為購買貨物甲、乙的單價分別為300元/噸和200元/噸，試用矩陣乘法求出公司應(yīng)該付給各地的費用。則費用矩陣為120例7解121例8解122(其中k為數(shù));注意：交換律不成立。首先，AB有意義，BA不一定有意義；例如，矩陣乘法滿足結(jié)合律！分配律矩陣乘法的運算規(guī)律：123例如，124例9結(jié)論：矩陣乘法交換律不成立，一般若稱A、B可交換，(前提是A、B為同階方陣).但仍不一定有125例10解126例解則127例11解128129130從前例還可看出，矩陣乘法不滿足消去律：或左消去律不成立；同理沒有右消去律：131例13線性方程組的矩陣形式記系數(shù)矩陣則上述方程組可寫為132例14解由題意，133(三)矩陣的轉(zhuǎn)置定義

把矩陣A的行列互換得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例134轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)：(4)可推廣到多個矩陣:135第三節(jié)n階方陣，方陣的行列式如果矩陣A=(aij)的行數(shù)與列數(shù)都等于n，則稱A為n階矩陣(或稱n階方陣)。主對角線(一)n

階方陣136(二)方陣的冪定義設(shè)A為n階方陣，則A的方冪定義為再規(guī)定

規(guī)律：其中k，l為任意非負(fù)整數(shù)。注意

由于沒有交換律，一般因此，一般137138例設(shè)139例解所以140A是一個

n階方陣，定義矩陣多項式為是一個多項式，例如，141(三)方陣的行列式定義

由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作|

A

|或det

A.142注意矩陣與行列式有本質(zhì)區(qū)別：行列式是一個算式,一個數(shù)字行列式表示一個數(shù)值,而矩陣是一個數(shù)表,它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.

對于方陣A,雖有行列式|A|,但A和|A|是不同的概念,不能混為一談。143運算性質(zhì)：推廣：特別：注意！(n

為A的階數(shù))144例1解145例解兩邊取行列式，例設(shè)A為3階矩陣，且|A|=16，則注：146第四節(jié)幾種特殊的矩陣(一)對角矩陣即形如的方陣,稱為對角矩陣，可記作diagonalmatrix147例148(二)數(shù)量矩陣，單位矩陣即形如的方陣，稱為數(shù)量矩陣，當(dāng)對角矩陣的主對角上的元都相同時，149例150(三)三角形矩陣即形如的方陣，稱為上三角形矩陣，類似地，下三角形矩陣。151(四)對稱矩陣定義對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等。說明

設(shè)A為n階方陣，如果滿足，即那末A稱為對稱陣。152反對稱陣的對角元全為零。說明那末A稱為反對稱陣。

設(shè)A為n階方陣，如果滿足，即(四)對稱矩陣定義153例證因為BTB是n階方陣，且同理可證，BBT是m階對稱矩陣。所以BTB是對稱矩陣；154若A、B為同階對稱陣(反對稱陣)，則仍為對稱陣(反對稱陣)。A、B為同階對稱陣，AB未必對稱；只有A、B可交換，AB才對稱。(證明留作練習(xí))

設(shè)A是n階反對稱矩陣,B是n階對稱矩陣,則AB+BA是反對稱矩陣.練習(xí)(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B(-A)+(-A)B=-(AB+BA).證155練習(xí)C解反對稱；156第五節(jié)分塊矩陣對于規(guī)模較大，零較多或局部比較特殊的矩陣，為了簡化運算，經(jīng)常采用分塊法，把大矩陣分割成小矩陣。在運算時，把這些小矩陣當(dāng)作元素一樣來處理。

具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。157例158例159分塊矩陣的運算規(guī)則(1)分塊矩陣A與B的行數(shù)相同,列數(shù)相同,采用相同的分塊法,有160由于矩陣的加法與數(shù)乘比較簡單，一般不需用分塊計算。

161分塊矩陣轉(zhuǎn)置時，先按塊轉(zhuǎn)置，再將各子塊內(nèi)部轉(zhuǎn)置。

162163例

設(shè)解則164又于是165形如的分塊矩陣,稱為準(zhǔn)上三角陣,類似有準(zhǔn)下三角陣.準(zhǔn)下三角陣幾種特殊分塊矩陣的行列式166(2)準(zhǔn)三角矩陣有如下性質(zhì)：(1)設(shè)A、B兩個同類型的準(zhǔn)三角矩陣，則均為同類型的準(zhǔn)三角矩陣。167特別,稱為準(zhǔn)對角矩陣.168準(zhǔn)對角矩陣除了具有準(zhǔn)三角陣的性質(zhì)以外,還有：特別，169例設(shè)解170解例設(shè)171第六節(jié)逆矩陣則矩陣B稱為A的逆矩陣。在數(shù)的運算中，當(dāng)數(shù)時，有其中為a的倒數(shù)；單位陣

E

類似于1在數(shù)的乘法運算中的地位。那么，對于矩陣A，如果存在一個矩陣B，使得對任何方陣A，

有AE

=

EA

=

A,(一)逆矩陣的概念172則稱A為可逆矩陣,而B稱為A的逆矩陣,記為定義例設(shè)設(shè)

A

是n階方陣,如果存在n階方陣B,使得解得證。173例解所以174定理

若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣必唯一。證設(shè)B和C都是A的逆矩陣，則結(jié)合律問題:(1)什么條件下A才可逆？175(二)矩陣可逆的條件上式兩邊取行列式,若則稱矩陣A是非奇異的(或滿秩的)；

否則稱A為奇異的(或降秩的)。下面說明這個條件也是充分的。定理定義176伴隨矩陣：定義稱為A的伴隨矩陣。代數(shù)余子式,矩陣177例1解178性質(zhì)證明回憶行列式按行展開公式：類似地，按列展開公式可得179定理

矩陣A是可逆的充分必要條件是A非奇異；證充分性：必要性：已證；所以A可逆，且有當(dāng)A非奇異時，有180推論證由定義知，定理

矩陣A是可逆的充分必要條件是A非奇異；當(dāng)A非奇異時，有即A可逆，181求方陣的逆矩陣.例逆矩陣的求法—伴隨矩陣法解所以A

可逆；182同理可求得對于3階及以上的矩陣，用伴隨矩陣法求逆矩陣較麻煩，以后將給出另一種求法--初等變換法。

183例2解所以A可逆，且逆矩陣為184例故A可逆的充分必要條件是且例如，對角元換位，非對角元變號。185例3對角陣可逆的充分必要條件是且例如，186證(三)逆矩陣的運算性質(zhì)注意A,B可逆，A+B不一定可逆，即使可逆,一般187推論：可逆陣A若對稱(反對稱),則也對稱(反對稱).對稱；反對稱。對于可逆矩陣而言，矩陣乘法的消去律成立。證證188例證兩邊取行列式，得所以可以證明，去掉A可逆這個條件，上述結(jié)論仍然成立。189例6證190例解191例7解192193類似有特別，另外，194一般地，有195例設(shè)解196解例利用矩陣分塊的方法，求下列矩陣的逆矩陣：所以197第七節(jié)矩陣的初等變換定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．198初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換定義由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換，得到的矩陣稱為初等矩陣。初等矩陣有下列3種：199(1)對E施以第(1)種初等變換得到的矩陣.i行i列j行j列200(2)對E施以第(2)種初等變換得到的矩陣.i

行i

列201(3)對E施以第(3)種初等變換得到的矩陣.202初等矩陣的逆矩陣還是同類型的初等矩陣：203(2)對A施以某種初等列變換,相當(dāng)于用同種的n階初等矩陣右乘A.(1)對A施以某種初等行變換,相當(dāng)于用同種的m階初等矩陣左乘A.定理

設(shè)A為階矩陣，證略。例204矩陣等價：等價關(guān)系的性質(zhì)：如果矩陣B可以由矩陣A經(jīng)過有限次初等變換得到，則稱矩陣A和B為等價的，記作

定義205定理任意一個矩陣

A

經(jīng)過有限次初等變換，的矩陣，稱之為A的等價標(biāo)準(zhǔn)形。

證略?？偪梢曰癁樾稳?/p>

206例將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形：解207208例1將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形：解209例2將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形：解210對矩陣A施以初等行變換,相當(dāng)于左乘一個初等矩陣；對矩陣A施以初等列變換,相當(dāng)于右乘一個初等矩陣。任意一個矩陣

A總可以經(jīng)過有限次初等變換，化為標(biāo)準(zhǔn)形推論1211推論1推論2212推論2若A為n階可逆矩陣，推論3213若方陣A可逆，則它的等價標(biāo)準(zhǔn)形必為單位矩陣。初等陣是可逆的，且其逆陣仍為初等陣，于是其中均為初等矩陣，定理n

階方陣

A可逆的充分必要條件是

A可以表示成一些初等矩陣的乘積。214用初等變換求逆矩陣：其中均為初等矩陣，或其中均為初等矩陣，設(shè)A可逆，則可逆陣可經(jīng)過若干次初等行變換化為單位矩陣。表明：表明：如果用一系列初等行變換把可逆矩陣A化為單位矩陣E，那么同樣地用這些初等行變換就把單位矩陣E化為215利用初等變換求逆陣的方法：如果用一系列初等行變換把可逆矩陣A化為單位矩陣E，那么同樣地用這些初等行變換就把單位矩