數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1。向量數(shù)乘的定義及其運(yùn)算律【例1】在平行四邊形ABCD中，=a，=b,求、.思路分析：由平面幾何的知識(shí)可知，對(duì)角線相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量;也可用所求向量表示已知向量。聯(lián)立方程組，求得所求向量.解：如右圖，利用平行四邊形的性質(zhì)，得==a，==b?！?+=—，∴=a-b.又∵=+，=，∴=a+b。友情提示把向量的加減同數(shù)乘結(jié)合起來，用來解決分向量的加減問題.各個(gè)擊破類題演練1若O為平行四邊形ABCD的中心,=4e1，=6e2,則3e2—2e1=_______.解析:3e2=,2e1=，∴3e2-2e1=—=(—）=(+)=。答案:變式提升1化簡［(4a—3b)+b-（6a-7b）］=___________________.解析：原式=（4a-3b+b-a+b）=［（4-）a+(-3++）b］=(a—b)=a—b。答案：a—b2。對(duì)向量數(shù)乘運(yùn)算律的應(yīng)用【例2】設(shè)x是未知向量,解方程2（x—a）—(b—3x+c)+b=0。思路分析：向量方程與實(shí)數(shù)方程類似，我們可用和實(shí)數(shù)方程類似的方法來求解。解：原方程化為2x—a-b+x—c+b=0，x—a+b-c=0，x=a-b+c，∴x=a—b+c.友情提示向量的加、減、數(shù)乘混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的加、減、乘混合運(yùn)算十分類似，運(yùn)算時(shí)完全可以按照實(shí)數(shù)運(yùn)算的思路進(jìn)行。類題演練2設(shè)x為未知向量，解方程x+3a-b=0.解析：原方程化為x+（3a-b)=0.所以x=0—（3a-b)，x=—3a+b。所以x=-9a+b.變式提升2如右圖所示,已知ABCD的邊BC、CD上的中點(diǎn)分別為K，L，且=e1,=e2，試用e1，e2表示，。解析:設(shè)=x，則=x，=e1-x,=e1-x，又=x，由+=，得x+e1-x=e2,解方程，得x=e2-e1即=e2-e1。由=—，=e1-x，得=e1+e2.3。向量共線的應(yīng)用【例3】已知兩個(gè)非零向量e1和e2不共線，且ke1+e2和e1+ke2共線，求實(shí)數(shù)k的值.思路分析：因?yàn)閗e1+e2和e1+ke2共線，所以一定存在實(shí)數(shù)λ,使得ke1+e2=λ（e1+ke2）.解：∵ke1+e2和e1+ke2共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得ke1+e2=λ（e1+ke2)?！啵╧-λ）e1=（λk—1)e2.∵e1和e2不共線，∴∴k=±1。友情提示本題從正反兩方面運(yùn)用了向量數(shù)乘的幾何意義，利用共線得到關(guān)于k的方程，用待定系數(shù)法解決問題.類題演練3a=e1+2e2,b=3e1—4e2，且e1、e2共線，則a與b(）A。共線B.不共線C.可能共線,也可能不共線D.不能確定解析:∵e1與e2共線，則存在實(shí)數(shù)e1=λe2，∴a=e1+2e2=（λ+2)e2，b=3e1—4e2=（3λ-4）e2，當(dāng)3λ-4≠0時(shí)，a=b,故a與b共線.當(dāng)3λ-4=0時(shí)，b=0，a與b也共線。答案：A變式提升3設(shè)e1、e2是不共線的向量，已知向量=2e1+ke2，=e1+3e2,=2e1—e2,若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值。解析：=-=（2e1-e2）-（e1+3e2）=e1-4e2,由題設(shè)A、B、D三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,所以2e1+ke2=λ（e1—4e2),解得所以k=-8.【例4】如右圖所示，在平行四邊形ABCD中，=a，AB=b,M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BD上一點(diǎn)，｜BN｜=｜BD|.求證：M、N、C三點(diǎn)共線.思路分析：本題主要考查運(yùn)用向量知識(shí)解決平面幾何問題。要證三點(diǎn)共線（M、N、C)，不妨證、具有一定的倍數(shù)關(guān)系。只要用已知條件a，b表示出，，問題就可以解決.證明：∵=a,=b,∴=—=a—b。∴=+=b+=b+（a-b)=a+b=（2a+b）。又∵=+=b+a=(2a+b)，∴=3。又與有共同起點(diǎn)，∴M、N、C三點(diǎn)共線。友情提示幾何中證明三點(diǎn)共線，可先在三點(diǎn)中選取起點(diǎn)和終點(diǎn)確定兩個(gè)向量，看能否找到唯一的實(shí)數(shù)λ使兩向量具有一定的倍數(shù)關(guān)系。類題演練4已知兩個(gè)非零向量e1和e2不共線，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2.求證:A、B、D三點(diǎn)共線.證明：∵=++=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2）=6.∴向量與向量共線.又∵與有共同的起點(diǎn)A,∴A、B、D三點(diǎn)共線.變式提升4如右圖，