直角三角形存在性問題專題攻略

課題內(nèi)容直角三角形存在性問題一、專題攻略1、解直角三角形的存在性問題，一般分三個步驟第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根。2、解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起。3、一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程。4、在平面直角坐標系中，兩點間的距離公式常常用得到。5、有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便。二、典型例題例、如圖，在直角坐標平面內(nèi)，O為原點，二次函數(shù)y=-x2十2x+3的圖象與，軸交于點A，與y軸交于點B,頂點為P.如果點Q是x軸上一點，以點A、P、Q為頂點的三角形是直角三角形，求點Q的坐標三、針對訓(xùn)練1．如圖，已知A、B是線段MN上的兩點，MN=4，MA=1，MB＞1．以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N，使M、N兩點重合成一點C，構(gòu)成△ABC．設(shè)AB=x，若△ABC為直角三角形，求x的值．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理的逆定理．【專題】分類討論．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，即可得到關(guān)于x的不等式組，求出x的取值范圍，再根據(jù)勾股定理，即可列方程求解．【解答】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3﹣x．∴，解得1＜x＜2；①若AC為斜邊，則1=x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4=0，無解，②若AB為斜邊，則x2=（3﹣x）2+1，解得x=，滿足1＜x＜2，③若BC為斜邊，則（3﹣x）2=1+x2，解得x=，滿足1＜x＜2，故x的值為：或．故答案為：或．【點評】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系以及勾股定理，正確理解分類討論是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣2，0），點B是點A關(guān)于原點的對稱點，P是函數(shù)圖象上的一點，且△ABP是直角三角形．（1）求點P的坐標；（2）如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、P三點，求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果第（2）小題中求得的二次函數(shù)圖象與y軸交于點C，過該函數(shù)圖象上的點C，點P的直線與x軸交于點D，試比較∠BPD與∠BAP的大小，并說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題．【分析】（1）先求得B點坐標，再分析△ABP滿足是直角三角形時P點的情況，可分為AB為直角邊和AB為斜邊兩種情況作答．（2）對（1）求得的P點坐標分別討論是否滿足二次函數(shù)拋物線，求得二次函數(shù)的解析式．（3）由點的坐標可證得△PBD∽△APD，則∠BPD與∠BAP滿足相等．【解答】解：（1）由題意，得點B的坐標為（2，0）．設(shè)點P的坐標為（x，y），由題意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．（i）當∠ABP=90°時，x=2，y=1，∴點P坐標是（2，1）；（ii）當∠APB=90°時，PA2+PB2=AB2，即（x+2）2+y2+（x﹣2）2+y2=16①．又由，可得y2=，代入①解得：（負值不合題意，舍去）．當時，．∴點P點坐標是（，）．綜上所述，點P坐標是（2，1）或（，）．（2）設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），（i）當點P的坐標為（2，1）時，點A、B、P不可能在同一個二次函數(shù)圖象上；（ii）當點P的坐標為（，）時，代入A、B、P三點的坐標，解得：∴所求的二次函數(shù)解析式為．（3）∠BPD=∠BAP．證明如下：∵點C坐標為（0，），∴直線PC的表達式為．∴點D坐標為（，0）．∴PD=2，BD=，AD=．，∴．∵∠PDB=∠ADP，∴△PBD∽△APD．∴∠BPD=∠BAP．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，重點是求解函數(shù)的解析式．3．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于兩點A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線是否存在一點P，使得△BDP是以BD為斜邊的直角三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，過M作MN⊥x軸于點N，使以A、M、N為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，則求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）過P作x軸的平行線交Y軸于E點，過B點作X軸的垂線交EP的延長線于F點，利用三角形相似得出P點的坐標；（3）利用△AMN∽△CDB，當N在A點左邊時，當N在A點右邊時，當N在A點右邊時，當N在A點左邊時分別得出即可．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于兩點A（1，0）、B（3，0），∴0=a+b﹣3，0=9a+3b﹣3，解得：a=﹣1，b=4，∴y=﹣x2+4x﹣3；（2）如圖1，過P作x軸的平行線交Y軸于E點，過B點作X軸的垂線交EP的延長線于F點，設(shè)P（t，﹣t2+4t﹣3），當P點在第一象限時，則DE=﹣t2+4t，PF=3﹣t，PE=t，BF=﹣t2+4t﹣3，可證△DEP∽△PFB，，，可求得，所以P（，），同理，當P點在第四象限時，可求得P（，）；（3）如圖2，設(shè)N（m，0）則M（m，﹣m2+4m﹣3），MN=m2﹣4m+3若△AMN∽△CDB，，當N在A點左邊時AN=1﹣m，，m=0或m=1（舍），所以M（0，﹣3），當N在A點右邊時AN=m﹣1，，m=6或m=1（舍），所以M（6，﹣15），若△MAN∽△CDB，，當N在A點左邊時AN=1﹣m，，m=（舍）或m=1（舍），所以此時M不存在，當N在A點右邊時AN=m﹣1，，m=或m=1（舍），所以M（，），綜上M1（0，﹣3）M2（6，﹣15）M3（，）．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，（2）（3）小題中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．四、三年真題4．（15宜賓24）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別相交于點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C，頂點為點P．（1）求拋物線的解析式；（2）動點M、N從點O同時出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別在線段OB、OC上向點B、C方向運動，過點M作x軸的垂線交BC于點F，交拋物線于點H．①當四邊形OMHN為矩形時，求點H的坐標；②是否存在這樣的點F，使△PFB為直角三角形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入拋物線y=﹣x2+bx+c，求出b、c即可；（2）①表示出ON、MH，運用ON=MH，列方程求解即可；②存在，先求出BC的解析式，根據(jù)互相垂直的直線一次項系數(shù)積等于﹣1，直線經(jīng)過點P，待定系數(shù)法求出直線PF的解析式，求直線BC與直線PF的交點坐標即可．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入拋物線y=﹣x2+bx+c得：解得：b=1，c=4，∴y=﹣x2+x+4；（2）點C的坐標為（0，4），B（4，0）∴直線BC的解析式為y=﹣x+4，①根據(jù)題意，ON=OM=t，MH=﹣t2+t+4∵ON∥MH∴當ON=MH時，四邊形OMHN為矩形，即t=﹣t2+t+4解得：t=2或t=﹣2（不合題意舍去）把t=2代入y=﹣t2+t+4得：y=2∴H（2，2）；②存在，當PF⊥BC時，∵直線BC的解析式為y=﹣x+4，∴設(shè)PF的解析式為y=x+b，又點P（1，）代入求得b=，∴根據(jù)題意列方程組：解得：∴F（，）當PF⊥BP時，∵點P（1，），B（4，0），∴直線BP的解析式為：y=﹣x+6，∴設(shè)PF的解析式為y=x+b，又點P（1，）代入求得b=，∴根據(jù)題意列方程組：解得：∴F（，），綜上所述：△PFB為直角三角形時，點F的坐標為（，）或（，）．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求直線和拋物線解析式，求頂點坐標，矩形的判定與性質(zhì)以及兩直線互相垂直的性質(zhì)，本題有一定的綜合性，難度不大，關(guān)鍵是掌握兩直線互相垂直的性質(zhì)．5．（16白銀張掖28）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點．（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；（2）如圖①，動點E從O點出發(fā)，沿著OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，同時，動點F從A點出發(fā)，沿著AB方向以個單位/秒的速度向終點B勻速運動，當E，F(xiàn)中任意一點到達終點時另一點也隨之停止運動，連接EF，設(shè)運動時間為t秒，當t為何值時，△AEF為直角三角形？（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P與A，B兩點構(gòu)成無數(shù)個三角形，在這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點P的坐標；如果不存在，請簡要說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線，直線解析式；（2）分兩種情況進行計算即可；（3）確定出面積達到最大時，直線PC和拋物線相交于唯一點，從而確定出直線PC解析式為y=﹣x+，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD，計算即可．【解答】解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點，∴，∴，∴y=﹣x2+2x+3，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，∴，∴，∴y=﹣x+3；（2）由運動得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF為直角三角形，∴①△AOB∽△AEF，∴，∴，∴t=，②△AOB∽△AFE，∴，∴，∴t=1；（3）如圖，存在，過點P作PC∥AB交y軸于C，∵直線AB解析式為y=﹣x+3，∴設(shè)直線PC解析式為y=﹣x+b，聯(lián)立，∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3=0∴△=9﹣4（b﹣3）=0∴b=，∴BC=﹣3=，x=，∴P（，）．過點B作BD⊥PC，∴直線BD解析式為y=x+3，∴BD=，∴BD=，∵AB=3S最大=AB×BD=×3×=．即：存在面積最大，最大是，此時點P（，）．【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的解析式的確定方法，互相垂直的直線解析式的確定方法，解本題的關(guān)鍵是確定出△PAB面積最大時點P的特點．6．（16重慶B卷26）如圖1，二次函數(shù)y=x2﹣2x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為（0，1），點B在第一象限內(nèi)，點C是二次函數(shù)圖象的頂點，點M是一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸的交點，過點B作軸的垂線，垂足為N，且S△AMO：S四邊形AONB=1：48．（1）求直線AB和直線BC的解析式；（2）點P是線段AB上一點，點D是線段BC上一點，PD∥x軸，射線PD與拋物線交于點G，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥BC于點F．當PF與PE的乘積最大時，在線段AB上找一點H（不與點A，點B重合），使GH+BH的值最小，求點H的坐標和GH+BH的最小值；（3）如圖2，直線AB上有一點K（3，4），將二次函數(shù)y=x2﹣2x+1沿直線BC平移，平移的距離是t（t≥0），平移后拋物線上點A，點C的對應(yīng)點分別為點A′，點C′；當△A′C′K是直角三角形時，求t的值．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)S△AMO：S四邊形AONB=1：48，求出三角形相似的相似比為1：7，從而求出BN，繼而求出點B的坐標，用待定系數(shù)法求出直線解析式．（2）先判斷出PE×PF最大時，PE×PD也最大，再求出PE×PF最大時G（5，），再簡單的計算即可；（3）由平移的特點及坐標系中，兩點間的距離公式得A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，最后分三種情況計算即可．【解答】解：（1）∵點C是二次函數(shù)y=x2﹣2x+1圖象的頂點，∴C（2，﹣1），∵PE⊥x軸，BN⊥x軸，∴△MAO∽△MBN，∵S△AMO：S四邊形AONB=1：48，∴S△AMO：S△BMN=1：49，∴OA：BN=1：7，∵OA=1∴BN=7，把y=7代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x2﹣2x+1中，可得7=x2﹣2x+1，∴x1=﹣2（舍），x2=6∴B（6，7），∵A的坐標為（0，1），∴直線AB解析式為y=x+1，∵C（2，﹣1），B（6，7），∴直線BC解析式為y=2x﹣5．（2）如圖1，設(shè)點P（x0，x0+1），∴D（，x0+1），∴PE=x0+1，PD=3﹣x0，∵∠DPF固定不變，∴PF：PD的值固定，∴PE×PF最大時，PE×PD也最大，PE×PD=（x0+1）（3﹣x0）=﹣x02+x0+3，∴當x0=時，PE×PD最大，即：PE×PF最大．此時G（5，）∵△MNB是等腰直角三角形，過B作x軸的平行線，∴BH=B1H，GH+BH的最小值轉(zhuǎn)化為求GH+HB1的最小值，∴當GH和HB1在一條直線上時，GH+HB1的值最小，此時H（5，6），最小值為7﹣=（3）令直線BC與x軸交于點I，∴I（，0）∴IN=，IN：BN=1：2，∴沿直線BC平移時，橫坐標平移m時，縱坐標則平移2m，平移后A′（m，1+2m），C′（2+m，﹣1+2m），∴A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，當∠A′KC′=90°時，A′K2+KC′2=A′C′2，解得m=，此時t=m=2±；當∠KC′A′=90°時，KC′2+A′C′2=A′K2，解得m=4，此時t=m=4；當∠KA′C′=90°時，A′C′2+A′K2=KC′2，解得m=0，此時t=0．【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，解本題的關(guān)鍵是相似三角形的性質(zhì)的運用．7．（14年福州21）如圖1，點O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿射線OC做勻速運動，設(shè)運動時間為t秒．（1）當t=秒時，則OP=，S△ABP=；（2）當△ABP是直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ?BP=3．【考點】相似形綜合題．【專題】幾何動點問題；壓軸題．【分析】（1）如答圖1所示，作輔助線，利用三角函數(shù)或勾股定理求解；（2）當△ABP是直角三角形時，有三種情形，需要分類討論；（3）如答圖4所示，作輔助線，構(gòu)造一對相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似關(guān)系證明結(jié)論．【解答】（1）解：當t=秒時，OP=2t=2×=1．如答圖1，過點P作PD⊥AB于點D．在Rt△POD中，PD=OP?sin60°=1×=，∴S△ABP=AB?PD=×（2+1）×=．（2）解：當△ABP是直角三角形時，①若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此種情形不存在；②若∠B=90°，如答圖2所示：∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；③若∠APB=90°，如答圖3所示：過點P作PD⊥AB于點D，則OD=OP?sin30°=t，PD=OP?sin60°=t，∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，即[（2+t）2+（t）2]+[（1﹣t）2+（t）2]=32解方程得：t=或t=（負值舍去），∴t=．綜上所述，當△ABP是直角三角形時，t=1或t=．（3）證明：如答圖4，過點O作OE∥AP，交PB于點E，則有，∴PE=PB．∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；∴△OAQ∽△PEO，∴，即，化簡得：AQ?PB=3．【點評】本題是運動型綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多個知識點．第（2）問中，解題關(guān)鍵在于分類討論思想的運用；第（3）問中，解題關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，本問有多種解法，可探究嘗試．五、兩年模擬8．（2015年曲靖麒麟?yún)^(qū)中考模擬第24題）如圖，過點C（0，2）的拋物線與直線AD交于A（﹣1，0），D（3，2）兩點．（1）求直線AD和拋物線的解析式；（2）點M為拋物線對稱軸上一點，求MA+MC最小時點M的坐標；（3）在y軸上是否存在點P使△PAD是直角三形？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）設(shè)出一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式分別為y=kx+b，y=ax2+bx+c，將函數(shù)圖象上的點代入，即可求函數(shù)解析式；（2）連接BC，與對稱軸交于M，此時MA+MC最?。蟪鯞C解析式，將M點橫坐標代入即可求出其縱坐標；（3）分四種情況討論：①當∠AP1D=90°時，△DCP1∽△P1OA；②∠AP2D=90°時，△AOP2∽△P2CD；③設(shè)AP3解析式為y=﹣2x+s，將A（﹣1，0）分別代入解析式，求出s的值；④設(shè)AP4解析式為y=﹣2x+t，將A（3，2）分別代入解析式得，t=8．【解答】解：（1）設(shè)AD的解析式為y=kx+b，將A（﹣1，0），D（3，2）分別代入解析式得，，解得，∴AD的解析式為y=x+．設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將A（﹣1，0），C（0，2），D（3，2）分別代入解析式得，解得，，函數(shù)解析式為y=﹣x2+x+2．（2）如圖1，連接BC，與對稱軸交于M，此時MA+MC最?。O(shè)BC解析式為y=ax+b，把B（4，0），C（0，2）代入解析式得，，解得，則y=﹣x+2，當x=﹣=時，y=﹣×+2=，∴M（，）．（3）①當∠AP1D=90°時，△DCP1∽△P1OA，∴=，即=，∴P1C2+2P1C=3，解得，P1C=1，P1C=﹣3（舍去）．∴P1O=3，∴P1（0，3）．②∠AP2D=90°時，△AOP2∽△P2CD，∴=，即=，∴P2O2+2P2O=3，解得，P2O=1，P2O=﹣3（舍去）．∴P2O=3，∴P2（0，﹣3）．③如圖3，∵AP3⊥AD，DP4⊥AD，且AD解析式為y=x+，設(shè)AP3解析式為y=﹣2x+s，將A（﹣1，0）分別代入解析式得，s=﹣2，解析式為y=﹣2x﹣2，當x=0時，y=﹣2，則得P3（0，﹣2），④設(shè)AP4解析式為y=﹣2x+t，將A（3，2）分別代入解析式得，t=8，解析式為y=﹣2x+8，當x=0時，y=8，則得P4（0，8）．【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式、軸對稱最短路徑問題、存在性問題和相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大．9．（2016年汕頭潮陽區(qū)中考模擬第25題）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，Rt△AOB的直角邊OB，OA分別在x軸上和y軸上，其中OA=2，OB=4，現(xiàn)將Rt△AOB繞著直角頂點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，已知一拋物線經(jīng)過C、D、B三點．（1）該拋物線的解析式為；（2）設(shè)點E是拋物線上位于第一象限的動點，過點E作EF⊥x軸于點F，并交直線AB于N，過點E再作EM⊥AB于點M，求△EMN周長的最大值；（3）當△EMN的周長最大時，在直線EF上是否存在點Q，使得△QCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．由線段OA、OB的長度可得出點A、B的坐標，再由旋轉(zhuǎn)的特性可得出點C、D的坐標，由點B、C、D三點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）在Rt△AOB中，找出∠ABO的正弦余弦值，再根據(jù)相似三角形的判定定理找出△EMN∽△BFN，從而得出∠MEN=∠FBN，用EN的長度來表示出EM和MN的長度，由點A、B的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)解析式，設(shè)出點E的坐標為（t，﹣+t+4）（0＜t＜4），即可找出點N的坐標為（t，﹣t+2），從而得出線段EN的長度，將EN、MN、EM相加即可得出△EMN的周長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出EN的最大值，由此即可得出結(jié)論；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論可知直線EF的解析式為x=，分∠QDC=90°和∠DCQ=90°兩種情況來考慮，利用相似三角形的性質(zhì)找出相似邊的比例關(guān)系來找出線段的長度，再根據(jù)點與點間的數(shù)量關(guān)系即可找出點Q的坐標．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．∵OA=2，OB=4，∴點A（0，2），點B（4，0），由旋轉(zhuǎn)的特性可知：點C（﹣2，0），點D（0，4）．將點B（4，0）、點C（﹣2，0）、點D（0，4）代入到拋物線解析式得：，解得：．∴該拋物線的解析式為y=﹣+x+4．故答案為：y=﹣+x+4．（2）依照